石家庄市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析

石家庄市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()()g x f x 2x =+是定义R 在上的偶函数，且()()x
F x f x 2=+，若()f 11=，则()F 1(-=
)
A ．12
-
B ．
32
C ．
72
D ．
112
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性求出()1g 和()1f -的值即可得到结论． 【详解】
()()2g x f x x =+是定义R 在上的偶函数，
()()112123g f ∴=+=+=，()()()11213g f g -=--==，
即()15f -=， 则()()1
111
112522
F f --=-+=+
=，故选D ． 【点睛】
本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
2．设(){},|0,01A x y x m y =
<<<<，
s 为()1n
e +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =
,
若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ） A ．
2
e
B ．
1e
C ．
1
e e
- D ．
2
e e
- 【答案】D 【解析】
分析：由已知求得m ，画出A 表示的平面区域和满足ab ＞1表示的平面区域，求出对应的面积比即可得答案．
详解: 由题意，s=0n n
n C e e =，
∴e =，则A={（x ，y ）|0＜x ＜m ，0＜y ＜1}={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}， 画出A={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}表示的平面区域， 任取（a ，b ）∈A ，则满足ab ＞1的平面区域为图中阴影部分， 如图所示：计算阴影部分的面积为
S阴影=
1
1 (1)
e
dx
x
-
⎰=（x﹣lnx）1|e=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣1．
所求的概率为P=
e-2
=
S
S e
阴影
矩形
，
故答案为：D．
点睛：（1）本题主要考查几何概型，考查定积分和二项式定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本题的关键是利用定积分求阴影部分的面积.
3．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上，他们分别有以下要求，
甲：我不坐座位号为1和2的座位；
乙：我不坐座位号为1和4的座位；
丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位.
那么坐在座位号为3的座位上的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断。

【详解】
当甲坐座位号为3时，
因为乙不坐座位号为1和4的座位
所以乙只能坐座位号为2，这时只剩下座位号为1和4
又丙的要求和乙一样，矛盾，故甲不能坐座位号3.
当甲坐座位号为4时，
因为乙不坐座位号为1和4的座位，丙的要求和乙一样：
所以丁只能坐座位号1，
又如果乙不坐座位号为2的座位，丁就不坐座位号为1的座位.
所以乙只能坐座位号2，这时只剩下座位号3给丙。

所以坐在座位号为3的座位上的是丙. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了逻辑推理能力，考查了分类思想，属于中档题。

4．直线0x y m -+=与圆()2
212x y -+=有两个不同交点的充要条件是（ ） A ．31m -<< B ．42m -<< C ．01m << D ．1m <
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果 【详解】
圆()2
212x y -+=，圆心10（，）到直线0x y m -+=，
<
31m ∴-<<，
故选A 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．
5．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．240种
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．
解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生． 当选到的是两个男生，两个女生时共有C 52C 42=60种结果， 当选到的是三个男生，一个女生时共有C 53C 41=40种结果，
根据分类计数原理知共有60+40=100种结果， 故选B ．
6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =（ ） A ．e - B ．e
C ．2
D ．-2
【答案】D 【解析】
试题分析：题中的条件()2(1)ln f x xf x +'=乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了．对()f x 进行求导：()f x '=，所以(1)f '=
，(1)f '=-1.
考点：本题考查导数的基本概念及求导公式．
点评：在做本题时，遇到的主要问题是①想不到对函数()f x 进行求导；②的导数不知道是什么．实
际上
是一个常数，常数的导数是0.
7．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为 A ．1 B 3C ．2
D 5
【答案】C 【解析】 试题分析：
,,,60,0,0AC l BD l AC BD AC BA AB BD ⊥⊥∴=⋅=⋅=CD CA AB BD ∴=++
(
)
2
22211222cos1202CD CA AB BD
∴=
++=+++⋅=
考点：点、线、面间的距离计算 8．若一圆柱的侧面积等于其表面积的2
3
，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A ．1：1 B ．2：1
C ．3：1
D ．4：1
【答案】B 【解析】 【分析】
设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ，根据已知条件列等式，化简可得答案. 【详解】
设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ， 则22
2(22)3
r l r l r πππ⋅=
⋅+，
化简得2l r =，即21
l r =， 故选：B 【点睛】
本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.
9．设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ） A ．()1!n +种 B ．()1!n n ⋅+种 C ．
()1
1!2n +种 D ．
()1
1!2
n n ⋅+种 【答案】D 【解析】 【分析】
要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列． 【详解】
将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得2
1!(1)!2
n n
C n n +=+ 选
D 【点睛】
将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n =1,只有一种放法，排除AB ，令n =2有6中放法，选D
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13515a a a ++=，416S =，则4(a = ) A ．9 B ．8
C ．7
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，求得1a 和d 的值，即可求出． 【详解】
由13513615a a a a d ++=+=，125a d ∴+=，
4143
4162
S a d ⨯=+
⨯=， 解得11a =，2d =，则4137a a d =+=，故选C ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用。

11．设2i
z i
=+，则||z =（ ）
A B C ．
15
D ．
125
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数除法运算得到12
55
z i =+，根据复数模长定义可求得结果. 【详解】
()
()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，5z ∴==.
故选：A . 【点睛】
本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
12．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足
()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以
()()g x g x -=-，应选答案D ．
二、填空题：本题共4小题
13．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为______. 【答案】240. 【解析】 【分析】
先把5本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的三个元素分给四个同学，相当于在四个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果. 【详解】
从5本书中取出两本看做一个元素共有2
510C =种不同的取法，
这一元素与其他三个元素分给四个同学共有4
424A =种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，共有24
54240C A ⋅=种不同的分法.
故答案为：240 【点睛】
本题主要考查了排列组合的综合应用，分步乘法计数原理，属于中档题.
14．抛物线24x y =-上的点()21-，
到准线的距离为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】
先求出抛物线的准线方程，再求点(2,-1)到准线的距离得解. 【详解】
由题得抛物线的准线方程为1y =，
所以点()21-，
到准线的距离为1(1)2--=. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
15．已知函数22log ? ,? 1()1?
,? 1x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，若函数1
()()12g x f x a =--有三个零点，则实数a 的取值
范围是____． 【答案】1
(2,)2
- 【解析】 【分析】
根据题意，可得函数f （x ）的图象与直线y ＝1
2
a +1有三个不同的交点，画出f （x ）的图象，结合图象求出实数a 的取值范围即可． 【详解】
根据题意可得函数f （x ）的图象与直线y ＝1
2
a +1有三个不同的交点， 当x≤1时，函数f （x ）max ＝f （﹣
12
）＝5
4，如图所示：
则0＜12a +1＜5
4，所以实数a 的取值范围是﹣2＜a ＜12．
故答案为（﹣2，1
2
）．
【点睛】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 16．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，1．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x ﹣y|的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】
利用平均数、方差的概念列出关于,x y 的方程组，解方程即可得到答案． 【详解】
由题意可得：()()2
2
20,10108x y x y +=-+-=， 设10x t =+，10y t =-，则228t =，解得2t =±， ∴24x y t -== 故答案为2． 【点睛】
本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论． 【答案】
82
3
；证明见解析 【解析】 【分析】
根据三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A ）3,3；（B ）5,5；（C ）4，5；（D ）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2的棱为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I ）（A ）与（B ），（II ）（A ）与（C ）；（III ）（B ）与（C ），于是问题转化为对棱长分别为（I ）（II ）（III ）的四面体来计算体积的最大值（或估计）.
【详解】
由三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A ）3,3；（B ）5,5；（C ）4，5；（D ）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I ）（A ）与（B ），（II ）（A ）与（C ）；（III ）（B ）与（C ）.
对情形（I ）（A ）与（B ），四边形ABCD 沿AB 折叠后使4CD =，则由222345+=得
,CD AC CD BC ⊥⊥，即CD 是四面体以ABC 为底面的高，
∴体积为1182
33
ABC V S CD ∆=
⋅=
；
对情形（II ）（A ）与（C ）四边形ABCD 沿AB 折叠后使5CD =，有两种情形，它们体积相等，记为2V ，∵222245+<，∴ABD ∠为钝角，BD 与平面ABC 斜交， ∴2114
33
ABC ABC V S BD S V ∆∆<
⋅==；
对情形（III ），（B ）与（C ），这样的四面体也有两个，体积也相等，记为3V ，
311182332ABD ABD V CD S S AD AB V ∆∆≤⋅=≤⋅=<=.
∴最大体积为82
3
. 【点睛】
本题考查四面体的体积，解题关键是找到以棱长为2的棱为突破点，分析以它为边的两个三角形的边长可能有哪些情形，然后一一求出它们的体积（可估计体积大小），再比较.难度较大. 18．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为
()2,1,
2,11,2, 1.
x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧
⎫⎨⎬⎩⎭；
(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时
11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<
，所以2
1a
≥，故02a <≤．
综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
19．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03)-，，(03)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？
【答案】（Ⅰ）曲线C 的方程为22
1
4y x +=．（Ⅱ）12k =±时OA ⊥OB ，465
17
AB =． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(03)(03)-，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b =
-=，
故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=．
（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
2
1{4 1.
y x y kx +==+， 消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=， 故121222
23
44
k x x x x k k +=-
=-++，． OA OB ⊥，即
．
而2
121212()1y y k x x k x x =+++，
于是22212122222
33241
14444
k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以1
2k =±时，
，故OA OB ⊥．
当1
2
k =±时，12417x x +=
，121217
x x =-． 2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-，
而22
212112()()4x x x x x x -=+-
2322
443413
4171717
⨯⨯=+⨯=， 所以465
17
AB =． 【详解】 请在此输入详解！
20．已知函数()()3f x x x a a R =++-∈. (Ⅰ)当1a =-时,解不等式()6f x >;
(Ⅱ)若0a >,对任意(],,x y a ∈-∞都有()2
242a a f y x ⎛⎫
≥-- ⎪⎝⎭
恒成立,求实数a 的取值范围.
【答案】 (Ⅰ) (−∞,−5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6] 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题知当a=−1时,不等式()6f x >等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义能求出不等式
()6f x >的解集．
(Ⅱ) 由0a >,对任意(],,x y a ∈-∞都有()2
242a a f y x ⎛⎫
≥-- ⎪⎝⎭，只需f(x)的最小值大于等于
2
242a a y ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
的最大值即可，转化成函数最值问题建立不等关系式，由此能求出a 的取值范围． 【详解】
(Ⅰ)∵函数()()3f x x x a a R =++-∈，
∴当a=−1时,不等式()6f x >等价于|x+3|+|x+1|>6， 根据绝对值的几何意义：
|x+3|+|x+1|>6可以看作数轴上的点x 到点−3和点−1的距离之和大于6， 则点x 到点−3和点−1的中点O 的距离大于3即可， ∴点x 在−5或其左边及1或其右边， 即x<−5或x>1.
∴不等式()6f x >的解集为(−∞,−5)∪（1,+∞).
(Ⅱ) ∵0a >,对任意(],,x y a ∈-∞都有()2
242a a f y x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭
，
只需f(x)的最小值大于等于2
242a a y ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
的最大值即可.
由()()30f x x x a a =++->可得，
()min 33f x a a =+=+，
设2
2()42a a g y y ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，根据二次函数性质，
2
max
()()24
a a g g y ==
， ∴2
4
3a a +≥，
解得26a -≤≤， 又0a >， ∴06a <≤
∴a 的取值范围是(0,6]. 【点睛】
本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法：(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义[即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和]求解.(2)分类讨论:利用“零点分段法”求解.(3)构造函数:利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.本题属于中等题.
21．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l 个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 【答案】（1）183
1024
P =（2）方案二更为划算 【解析】 【分析】
（1）设事件A 为“顾客获得半价”，可以求出()P A ，然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率，
然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半价的概率；
（2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额X元的可能取值，求出EX，最后进行比较得出结论.
【详解】
（1）设事件A为“顾客获得半价”，则
3213 ()
44432
P A=⋅⋅=，
所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：
2
29183
1
321024 P
⎛⎫
=-=
⎪
⎝⎭
．
（2）若选择方案一，则付款金额为32050270
-=．
若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为160,224,256,320．
3
(160)
32
P X==，
32332111213
(224)
44444444432
P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，
323123121113
(256)
444444444432
P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=，
1233
(320)
44432
P X==⋅⋅=，
∴
313133
160224256320240
32323232
EX=⨯+⨯+⨯+⨯=．
所以方案二更为划算．
【点睛】
本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.
22．为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共100名进行调查，调查结果如下：
（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关；（2）现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取5人，从抽取的5人中再随机地抽取3人赠送小礼品，记这3人中持“支持”态度的有ξ人，求ξ的分布列与数学期望.
参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
【答案】（1）没有90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关；（2）分布列见解析，期望为9
5
． 【解析】
分析：（1）根据公式计算2K 的观测值k ，再根据表格即可得出结论； （2）ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相对应的概率即可.
详解：（1）()2
210035203015 1.1 2.70665355050
K ⨯⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯，
∴没有90%的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关.
（2）依题意可知，抽取的5名女户主中，持“支持”态度的有3人，持反对态度的有2人，ξ的所有可能取值为1，2，3，
()1232353110C C P C ξ===，()213235632105C C P C ξ====，()30
323
51
310
C C P C ξ===， ∴
ξ的分布列为：
∴123105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯=. 点睛：解决独立性检验应用问题的方法
解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a ，b ，c ，d ，n 的值，然后根据统计量K 2的计算公式确定K 2的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联．。