【解析版】泉州市泉港区中考数学模拟试卷(5月份)

福建省泉州市泉港区中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．（3分）﹣2的相反数是（）
A．2B．﹣2 C．±2 D．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．x3÷x=x3B．x2•x3=x6C．（x3）2=x5D．（2x）3=8x3 3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图是五个相同的正方体组成的一个几何体，则其俯视图是（）
A．B．C．D．
5．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3．则下列四个数可作为第三条边长的是（）
A．3B．4C．7D．7或3
6．（3分）设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，四边形OABC是菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（）
A．（﹣2，2+）B．（2，2+）C．（，2+）D．（，2+）
二、填空题（每题4分，共40分）．
8．（4分）比较大小：3（填写“＜”或“＞”）
9．（4分）分解因式：a2﹣25=．
10．（4分）据报道：截至4月17日我区南山片区共收获4个项目的投产，总约为2320000000元．请将“2 320 000 000”这个数据用科学记数法表示：．
11．（4分）计算：=．
12．（4分）一组数据3，2，﹣3，x，0，3，2的众数是3，则x=．
13．（4分）如图，一块含有60°三角板的顶点O在直线AB上，CD∥AB．则∠α=度．14．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长是12cm，则DE的长是．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，若DE=6，S△DEF：S△BCF=4：25，则AE=．
16．（4分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径等于．
17．（4分）如图，直线l与半径为6的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于B点，连结AO并延长交⊙O于C点，连结PA、
PC．①∠APC=度；②设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是．
三、解答题（共89分）．
18．（9分）计算：0+|﹣2|+÷+（）﹣1．
19．（9分）先化简，再求值：（x+3）2﹣x（x+2），其中x=﹣2．
20．（9分）如图，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：BD=CE．
21．（9分）在一个黑色的布口袋里装着白、红两种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2个、红球1个，球在袋中进行搅匀．
（1）若随机地从袋中摸出1个球，则摸出红球的概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1个球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
22．（9分）如图，在每格为1个单位的正方形网格中建立直角坐标系，反比例函数y=
的图象经过格点A．
（1）请写出点A的坐标、反比例函数y=的解析式；
（2）若点B（m，y1）、C（n，y2）（2＜m＜n）都在函数y=的图象上，试比较y1与y2的大小．
23．（9分）已知商场1～5月的商品销售总额一共是410万元．图①表示的是某综合商场今年1～5月的商品各月销售总额的情况，图②表示的是商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问题：
（1）请你根据这一信息将统计图补充完整；
（2）试求出商场服装部5月份的销售额；
（3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了．他的看法正确吗？请说明理由．
24．（9分）已知点P（x0，y0）和直线kx﹣y+b=0（由y=kx+b变形而得），则点P到直线kx﹣y+b=0的距离d可用公式d=计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线
y=x+1的距离．解：由直线y=x+1可得x﹣y+1=0，k=1，b=1．则点P到直线y=x+1的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：
（1）请求出点P（1，1）到直线y=3x﹣12的距离；
（2）已知互相平行的直线y=x﹣2与y=x+b之间的距离是3，试求b的值．
25．（13分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使A点落在四边形对角线BD上的P点处，EP的延长线交直线BC于点F．设AD=a，AB=b，BC=c．
（1）若∠ABE=30°，AE=3．请写出BE的长度；
（2）求证：△ABP∽△BFE；
（3）当四边形EFCD为平行四边形时．试求出a、b、c的数量之间的关系式．
26．（13分）如图，在平面直角坐标中，过点A（4，0）的抛物线y=﹣x2+bx与直线y=﹣x+b交于另一点B．过抛物线y=﹣x2+bx的顶点E作EF⊥x轴于F点，点M（t，d）为抛物线y=﹣x2+bx在x轴上方的动点．
（1）填空：b=；
（2）连结ME．当∠MEF=30°时，请求出t的值；
（3）当t=3时，过点M作MC⊥x轴于C点，交AB于点N，连接ON．点Q为线段BN 上一动点，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR．当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．
福建省泉州市泉港区中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．（3分）﹣2的相反数是（）
A．2B．﹣2 C．±2 D．
考点：相反数．
分析：根据相反数的定义进行解答即可．
解答：解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．
故选A．
点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．x3÷x=x3B．x2•x3=x6C．（x3）2=x5D．（2x）3=8x3
考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据同底数幂的乘除法和幂的乘方计算即可．
解答：解：A、x3÷x=x2，错误；
B、x2•x3=x5，错误；
C、（x3）2=x6，错误；
D、（2x）3=8x3，正确；
故选D．
点评：此题考查同底数幂的乘除法和幂的乘方，关键是根据法则进行计算．3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）
A． B．
C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
专题：探究型．
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：，由①得，x＞1；由②得，x≥2，
故此不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上表示为：
故选A．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
4．（3分）如图是五个相同的正方体组成的一个几何体，则其俯视图是（）
A．B．C．D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答：解：从上面看易得下面第一层有3个正方形，上面第二层最右边有一个正方形．故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3．则下列四个数可作为第三条边长的是（）
A．3B．4C．7D．7或3
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：因为腰长与底边不确定，所以分①7为腰长，3为底边，②7为底边，3为腰长两种情况，再根据“三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行讨论．
解答：解：分两种情况讨论：
①当7为腰长，3为底边时，三边为7、7、3，能组成三角形，故第三边的长为7，
②当3为腰长，7为底边时，三边为7、3、3，3+3=6＜7，所以不能组成三角形．
因此第三边的长为7．
故选C．
点评：此题考查等腰三角形的性质，关键是本题利用三角形三边的关系求解，需要熟练掌握．
6．（3分）设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象．
分析：设从泉港到福州的路程为k千米，根据路程=速度×时间，可得vt=k，即v=（v＞
0，t＞0），故图象为反比例函数图象在第一象限的部分．
解答：解：设从泉港到福州的路程为k千米，依题意，得vt=k，
所以v=（v＞0，t＞0），
则函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数的实际应用．关键是建立函数关系式，明确自变量的取值范围．
7．（3分）如图，四边形OABC是菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（）
A．（﹣2，2+）B．（2，2+）C．（，2+）D．（，
2+）
考点：菱形的性质；坐标与图形性质．
分析：作BF⊥y轴于F，则∠BFC=90°，由菱形的性质得出OC=OA=CB=2，BC∥OA，得出∠BCF=∠AOC=45°，△BCF是等腰直角三角形，根据三角函数求出BF=CF，得出OF，即可得出B点坐标．
解答：解：作BF⊥y轴于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=CB=2，BC∥OA，
∴∠BCF=∠AOC=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF=CF=BC×=，
∴OF=2+，
∴B点的坐标是：（﹣，2+）；
故选：C．
点评：本题考查了菱形的性质、坐标与图形特征、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，共40分）．
8．（4分）比较大小：3＞（填写“＜”或“＞”）
考点：实数大小比较．
分析：将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．
解答：解：∵3=，且9＞7，
∴3＞，
故答案为：＞．
点评：此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
9．（4分）分解因式：a2﹣25=（a﹣5）（a+5）．
考点：因式分解-运用公式法．
分析：利用平方差公式分解即可求得答案．
解答：解：a2﹣25=（a﹣5）（a+5）．
故答案为：（a﹣5）（a+5）．
点评：本题考查了利用平方差公式分解因式的方法．题目比较简单，解题需细心．
10．（4分）据报道：截至4月17日我区南山片区共收获4个项目的投产，总约为2320000000元．请将“2 320 000 000”这个数据用科学记数法表示：2.32×109．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：2 320 000 000=2.32×109，
故答案为：2.32×109．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（4分）计算：=1．
考点：分式的加减法．
专题：计算题．
分析：根据同分母的分式加减法则进行计算即可．
解答：解：原式==1．
故答案为：1．
点评：本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．
12．（4分）一组数据3，2，﹣3，x，0，3，2的众数是3，则x=3．
考点：众数．
分析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
解答：解：∵数据3，2，﹣3，x，0，3，2的众数是3，众数指一组数据中出现次数最多的数据，
∴x=3．
故答案为3．
点评：主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
13．（4分）如图，一块含有60°三角板的顶点O在直线AB上，CD∥AB．则∠α=60度．
考点：平行线的性质．
分析：先根据三角板的特点求出∠D的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠α的度数．
解答：解：∵CD∥AB，
∴∠D=∠α，
∵∠D=180°﹣∠C﹣90°=60°，
∴∠α=60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
14．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长是12cm，则DE的长是6cm．
考点：三角形中位线定理．
分析：根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，即可得出答案．
解答：解：∵DE是△ABC的中位线，BC的长是12cm，
∴DE=BC=6cm．
故答案为：6cm．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，解答本题的关键是掌握三角形的中位线定理．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，若DE=6，S△DEF：S△BCF=4：25，则AE=9．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：由四边形ABCD为平行四边形，利用相似三角形的判定易得△DEF∽△BCF，由相似三角形的性质得，AE=x，则BC=AD=x+6，求得结果．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△DEF∽△BCF，
∵S△DEF：S△BCF=4：25，
∴=，
∴，
设AE=x，BC=AD=x+6，
，
解得：x=9，
故答案为：9．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质：面积比是相似比的平方是解答此题的关键．
16．（4分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径等于4．
考点：圆锥的计算．
分析：根据圆锥的底面周长等于展开图的扇形的弧长，根据圆周长的计算公式即可求解．解答：解：圆锥的底面周长是8π，
设圆锥的底面半径是r，则
2πr=8π，
解得：r=4．
故答案是：4．
点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．（4分）如图，直线l与半径为6的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于B点，连结AO并延长交⊙O于C点，连结PA、
PC．①∠APC=90°度；②设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是3．
考点：切线的性质．
分析：①由圆周角定理可得，AC为直径，∠CPA=90°；
②得出△APC∽△PBA，利用，得出x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣6）
2+3，所以x﹣y的最大值是3．
解答：解：①∵AC为直径，
∴∠CPA=90°，
故答案为：90°；
②∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∵∠CPA=90°，
∴△APC∽△PBA，
∴，
∵PA=x，PB=y，半径为6，
∴=，
∴y=x2，
∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣6）2+3，
∴x﹣y的最大值是3．
故答案为3．
点评：此题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
三、解答题（共89分）．
18．（9分）计算：0+|﹣2|+÷+（）﹣1．
考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．
解答：解：0+|﹣2|+÷+（）﹣1．
=1+3
=（1+2+3）
=6+0
=6
点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．
（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a ﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义
计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．
19．（9分）先化简，再求值：（x+3）2﹣x（x+2），其中x=﹣2．
考点：整式的混合运算—化简求值．
分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解答：解：（x+3）2﹣x（x+2）
=x2+6x+9﹣x2﹣2x
=4x+9，
当x=﹣2时，原式=4×+9=4+1．
点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
20．（9分）如图，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：BD=CE．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：先由∠1=∠2得到∠BAD=∠CAE，然后根据“SAS”可判断△BAD≌△CAE，再根据全等的性质即可得到结论．
解答：解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
21．（9分）在一个黑色的布口袋里装着白、红两种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2个、红球1个，球在袋中进行搅匀．
（1）若随机地从袋中摸出1个球，则摸出红球的概率是多少？
（2）随机地从袋中摸出1个球，放回搅匀再摸出第二个球．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
分析：（1）让红球的个数除以球的总数即可；
（2）列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
解答：解：（1）∵共3个球，有1个红球，
P（摸出红球）=．
（2）列树形图得：
摸出两个白球的概率为．
点评：考查了列表与树状图法及概率的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（9分）如图，在每格为1个单位的正方形网格中建立直角坐标系，反比例函数y=
的图象经过格点A．
（1）请写出点A的坐标、反比例函数y=的解析式；
（2）若点B（m，y1）、C（n，y2）（2＜m＜n）都在函数y=的图象上，试比较y1与y2的大小．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：（1）由图可得点A的坐标为：（﹣5，1），又由反比例函数y=经过A点，利用
待定系数法即可求得反比例函数解析式；
（2）由反比例函数的性质：k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大，因为2＜m＜n，所以B，C都在第四象限，所以y1＜y2．
解答：解：（1）由表得知A（﹣5，1），
∵反比例函数y=的图象经过格点A．
∴k=﹣5，
∴反比例函数y=的解析式为：y=﹣；
（2）∵k=﹣5＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵2＜m＜n，
∴y1＜y2．
点评：此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23．（9分）已知商场1～5月的商品销售总额一共是410万元．图①表示的是某综合商场今年1～5月的商品各月销售总额的情况，图②表示的是商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问题：
（1）请你根据这一信息将统计图补充完整；
（2）试求出商场服装部5月份的销售额；
（3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了．他的看法正确吗？请说明理由．
考点：折线统计图；条形统计图．
分析：（1）根据图①可得1、2、3、5月份的销售总额，再用总的销售总额410万元分别减去1、2、3、5月的销售总额，得到4月的销售总额，即可将统计图补充完整；
（2）由图可知用第5月的销售总额乘以16%即可；
（3）分别计算出4月和5月份商场服装部的销售额，比较即可得出答案．
解答：解：（1）410﹣（100+90+65+80）=410﹣335=75（万元）；
如图：
（2）商场服装部5月份的销售额是80万元×16%=12.8（万元）；
（3）4月和5月的销售额分别是75万元和80万元，
服装销售额各占当月的17%和16%，则为75×17%=12.75（万元），
80×16%=12.8（万元）．
故小刚的说法是错误的．
点评：本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
24．（9分）已知点P（x0，y0）和直线kx﹣y+b=0（由y=kx+b变形而得），则点P到直线kx﹣y+b=0的距离d可用公式d=计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离．解：由直线y=x+1可得x﹣y+1=0，k=1，b=1．则点P到直线y=x+1的距离为d==．根据以上材料，解决下列问
题：
（1）请求出点P（1，1）到直线y=3x﹣12的距离；
（2）已知互相平行的直线y=x﹣2与y=x+b之间的距离是3，试求b的值．
考点：两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：新定义．
分析：（1）直接根据新定义求解；
（2）直线y=x﹣2与y=x+b之间的距离为3，可转化为直线y=x﹣2上一点到直线
y=x+b的距离为3，于是可取（0，﹣2），则根据新定义，利用点（0，﹣2）到直线x ﹣y+b=0的距离是3得到=3，然后解绝对值方程即可．
解答：解：（1）由直线y=3x﹣12得3x﹣y﹣12=0，
则k=3，b=﹣12，
所以点P（1，1）到直线y=3x﹣12的距离==；
（2）当x=0时，y=x﹣2=﹣2，
则点（0，﹣2）到直线x﹣y+b=0的距离是3，
所以=3，
解得b=4或b=﹣8．
点评：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．对于（2），要把两平行线的距离问题转化为点到直线的距离问题．
25．（13分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使A点落在四边形对角线BD上的P点处，EP的延长线交直线BC于点F．设AD=a，AB=b，BC=c．
（1）若∠ABE=30°，AE=3．请写出BE的长度；
（2）求证：△ABP∽△BFE；
（3）当四边形EFCD为平行四边形时．试求出a、b、c的数量之间的关系式．
考点：相似形综合题．
专题：综合题．
分析：（1）由AD与BC平行，且AB垂直于BC，得到BA垂直于AD，在直角三角形ABE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到BE=2AE，即可求出BE的长；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出
∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出
∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
（3）根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
解答：（1）解：∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴BA⊥AD，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AE=3，
∴BE=2AE=6；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EPB，
∴∠AEB=∠BEP，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形，
∵∠ABP+∠PBF=90°，∠PBF+∠EFB=90°，
∴∠ABP=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAP=（180°﹣∠ABP），∠FBE=（180°﹣∠EFB），∴∠BAP=∠FBE，
∴△ABP∽△BFE；
（3）解：∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
∴∠EFB=∠C，∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠EFB，
∴∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴=，即=，
∴a2+b2=ac．
点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
26．（13分）如图，在平面直角坐标中，过点A（4，0）的抛物线y=﹣x2+bx与直线y=﹣x+b交于另一点B．过抛物线y=﹣x2+bx的顶点E作EF⊥x轴于F点，点M（t，d）为抛物线y=﹣x2+bx在x轴上方的动点．
（1）填空：b=4；
（2）连结ME．当∠MEF=30°时，请求出t的值；
（3）当t=3时，过点M作MC⊥x轴于C点，交AB于点N，连接ON．点Q为线段BN 上一动点，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR．当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据题意，将A点坐标代入直线y=﹣x+b，即可求出b的值是多少．
（2）首先把b的值代入抛物线y=﹣x2+bx，求出抛物线的解析式，进一步得到顶点E的坐标；然后根据∠MEF=30°，可得EG=MG，再分类讨论，求出t的值是多少即可．（3）首先作NH⊥QR于点H，MP∥OB交AB于点P，分别求出NC、OC的值各是多少，然后设HR=p，则HN=3p，RN=p，QN=3p，再根据相似三角形判定的方法，
判断出△PMQ∽△NBR，即可推得，据此求出p的值，以及点R的坐标是多少即
可．
解答：解：（1）∵直线y=﹣x+b过点A（4，0），
∴﹣4+b=0，
解得b=4．
（2）①如图1，作MG⊥EF于点G，
，
∵b=4，
∴y=﹣x2+4x，
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点E的坐标是（2，4），
∵∠MEF=30°，
∴EG=MG，
∴4﹣（﹣t2+4t）=（2﹣t），
整理，可得
t2﹣（4）t+4﹣2=0
解得t=2﹣或t=2（舍去）．
②如图2，作MG⊥EF于点G，
，
∵b=4，
∴y=﹣x2+4x，
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点E的坐标是（2，4），
∵∠MEF=30°，
∴EG=MG，
∴4﹣（﹣t2+4t）=（t﹣2），
整理，可得
t2﹣（4+）t+4+2=0，
解得t=2+或t=2（舍去）．
综上，可得
当∠MEF=30°时，t=2﹣或t=2+．
（3）如图3，作NH⊥QR于点H，MP∥OB交AB于点P，
，
∵t=3，
∴点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，1），
∴NC=1，OC=3，
联立
可得x=4或x=1，
∴点B的坐标是（1，3），
∴OB=，
∵QR∥MN，
∴∠MNH=∠RHN=90°，
∴∠RQN=∠QNM=45°，
∴∠MNH=∠NCO，
∴NH∥OC，
∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，
即，
设HR=p，则HN=3p，RN=p，QN=3p，
∴PQ=QN﹣PN=3p﹣，
∵ON=，OB=，
∴ON=OB，
∴∠OBN=∠BNO，
∵MP∥OB，
∴∠OBN=∠MPB，
∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQN+45°，
∴∠MQN=∠BRN，
在△PMQ和△NBR中，
∴△PMQ∽△NBR，
∴，
∴
解得p=，
∴点R的坐标是（）．
故答案为：4．
点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式的方法，要熟练掌握．。