最新北师大版九年级数学上册精品课件2.5 一元二次方程的根与系数的关系

x1 + x2 =
3 2
, x1 x2 = -1 .
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例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个
根及k的值.
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解：设• 第方二程级的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
• 第三级
所以：• x第1四•·级第x五2=级2x2=
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第二章
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• 第二级
• 第三级
一元二次方程
• 第四级 • 第五级
2.5 一元二次方程的根 与系数的关系
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学习目标
• 单击此处编辑母版文本样式 1.探索• 第一二元级二次方程的根与系数的关系.（难点）
• 第三级
2.不解方程• 利第四用级 一元二次方程的根与系数的关系解决
• 第四级
所以(x1•+第1五)(级x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
k
1 2

(k
)
k 1. 2
1 4,
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以 x1 x2 7, x1x2 4.
则：
(x1 x2 )2 (x1 x2)2 4x1x2 72 4 (4) 65.
x•1单 x击2 此处编b 辑 母2b版a2 文本4a样c式 b
•
第二级2
2
b b • 第三级
4a •
第四级 • 第五级
2
4ac
b2 4ac 2a
4ac 4a2
c. a
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归纳总结
一• 单元击二此次处方编程辑的母根版与文系本数样的式关系 （韦达定理）
设另一个根为x1,则：
∴x1
=
16 . 3
1×
x1 =
c a
16 . 3
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4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且
（x1+1)(x2+1)=4；
•（单1•击）第此求二处级k的编值辑；母版（文2本）样求式(x1-x2)2的值.
解：(1)根• 第据三根级与系数的关系 x1 x2 k, x1x2
• 第五级
(x1 x2 )2 2x1x2 ; x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
归纳 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的
(3)
x12

x 2• 2
第五级
14
,
(4) (x1 x2 )2 12 .
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例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，
且x12 +x22 =4，求k的值.
解•：单即由•击第方-•此二8程第k处级三+有编级4两辑≥个0母.实版数文根k本，样1得式Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
• 第五级
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
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• 第三级
看出x1,x2与• p第,q四•之级第五间级 的关系吗？ (x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1
·x2=q.
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
x• 1第•二x第2级三级
3, 2
x1

x2


1. 2
1
∵
x1
•

第x四2• 级第2 五级x12
2x1x2
x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2



3 2
2


2



1 2


13 4
;
2
1 x1
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5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之
间的关系,求下列各式的值.
•(1单)•击第(x此二1 +处级1编)(x辑2 +母1版);文本样式(2)
x2 x1

x1 x2
.
解:根据根• 第与三系级数的关系得：
• 第四级
•x1第五x级2
如• 第果•二第级a三x级2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1， x2，那么
x1
•
+
第四级
x = • 第五级 2
b a
x1 gx2

c a
注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0.
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知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例•1：单利击用此根处与编系辑数母的版关文系本，样求式下列方程的两根之和、 两•根第之二积级. （1）• 第x•三2 第+级四7级x + 6 = 0;


b a


4 3
,
x1

x2

c a

1.
（1）(x1
+
1)(x2
+
1)
=
x1
x2
+
x1
+
x2
+
1=

4 3

(-1)
1

4 3
;
（2） x2 x1 x12 x22 ( x1 x2 )2 2x1 x2 34 .
x1 x2
x1 x2
x1 x2
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拓展提升
6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解• 单：•击设第此二方处级程编两辑根母分版别文为本x1,样x2式(x1>x2)，则x1-x2=1.
由• 根第三与级系数的关系，得 • 第四级
x1

x2
•

第k五,级 2
x1

x2

1 2
,
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
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单总结击常此见的处求编值: 母版标题样式
1.•x1单1 击x1此2 处编x1x辑1x2x母2 ;版2文. x1本2 样x22式 (x1 x2 )2 2x1x2;
3.
x1 x2
•第xx•二12第级•三第级x四12级x1x2x22
由根与•系第四数• 级第的五级关系得
2
x1 + x2 = 2(k -1) ,
x1
x2
=k
2 .
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .

1 x2

x1 x2 x1 x2



3 2




1 2


3.
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练一练
• 设单x击1,此x2处为编方辑程母x2-版4x文+1本=0样的式两个根，则:
（1•）第x•二1第+级x三2级= 4 , (2)x1·x2= 1 ,
• 第四级
• 第五级
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
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知识点1 探索一元二次方程的根与系数的关系
• 第五级
问题.（重点）
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复习引入
1.一元二次方程的求根公式是什么？x b • 单击此处编辑母版文本样式
b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
2.如何• 第用二判级别式b2 - 4ac来判断一元二次方程根的情况？
• 第三级
对一元• 第二四级次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
和 1 ，则：p = 1 , q= -2 .
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3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一
个根• 单及击m的此值处.编辑母版文本样式
解：将• 第x 二= 级1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
• 第三级
解得 • 第m四级= 16, • 第五级
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证一证：
• 单x1 击 x此2 处编b辑 母2ba版2 文4a本c样 式b
b2 4ac 2a
• 第二级
•第•三b第级四级 b2 4ac b b2 4ac
• 第五级
2a
2b 2a
b . a
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算•一单算击此解处下编列辑方母程版并文完本成样填式空：
（1）•x2第+•3二第x级-三4=级0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
• 第四级
• 第五级 两 根 一元二次方程
x1
x2
关系
x2+3x-4=0 -4 1 x1+x2=-3 x1 ·x2=-4
x2-5x+6=0
2
3 x1+x2=5 x1 ·x2=6
所以：• 第x四•1级+第五x级2=1+x2=6，
即：x2=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ .
由于x1·x2=1×5=
m, 3
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
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例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、 倒数和.
解•：单根击据此根处与编系辑数母的版关文系本可样知式：
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解• ：单•这击第里此二处级a =编2辑, b母=版-文3 ,本c 样= -式2. Δ=• 第b•三2 第级-四级4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
• 第五级
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
6 5
,
即：x2=

3 5
.
由于x1+x2=2+ (
3) 5
=k ,
5
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 3 ，k=－7.
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变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它
的•另单一击个此根处及编m辑的母值版. 文本样式 解：•设第•方二第级程三级的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
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猜一猜
• 单（击2）此通处过编上辑表母猜版想文，本如样果式一元二次方程 ax2+•bx第+二c=级0(a≠0)的两个根分别是x1， x2，那么，你 可以发现• 第什•三么第级四结级 论？
• 第五级
x1

x2


b a
c x1gx2 a
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x22 x2+33xx+11=00 1
22
2
-1
x1

x2


3 2
x1 gx2

1 2
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猜单一猜击此处编母版标题样式
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,
且•x单-x2击=0此,那处么编方辑程母（版x文-x本1)(样x-式x2)=0(x1,x2为已知数） 的两根• 第是二什级么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能

k
2


4

1

1,
2
2

k
2


3,
2
k 2 3.
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7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（• 2单）击若此方处程编两辑根母x1版,x2文满本足样∣式x1-x2∣= 1 求m的值.
解：• 第(1二)方级程有实数根，
• 第三级
b2 • 4第a四c级
• 第五级

2m2 4 m m 2
(2)∵方程有实数根x1,x2，
x1

x2

2,
x1

x2

m m
2
.
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，
4m2 4m2 8m 8m 0
22 4 m 2 1. m
解得m=8.
∴m的取值范围为m＞0.
经检验m=8是原方程
的解．
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课堂小结
• 单击此处编辑母版文本如样果式一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)
代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
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单击此处编随母堂版练标习 题样式
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个 根•是单•_击32_第_此二，处级m编=_辑-_3_母_.版文本样式
• 第三级
2.已知一元• 二第四次• 级第方五级程x2+px+q=0的两根分别为-2