2019-2020学年高中数学《1.3弧度制》导学案 新人教版必修4.doc

2019-2020学年高中数学《1.3弧度制》导学案 新人教版必修4
【学习目标】
1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】
弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空
（1）角度制规定，将一个圆周分成 360 份，每一份叫做 1 度，故一周等于
360 度，平角等于
180 度，直角等于
90度.
（2）所有与角终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=S
{}Z k k ∈⋅+=,360
αβ .
【教材助读】
1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？ (4)规定：周角
360
1 为1度的角； π21 叫做1弧度的角.
(5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度=
π
180 （度）；1度=
180π
（弧度） (6)弧长公式： r r
n l ⋅==
απ180
(7)扇形面积公式： lr r r n S 2
1
2136022=⋅==
απ 【预习自测】
1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制
2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．1度的角是周角的
360
1，1弧度的角是周角的π21
C ．根据弧度的定义， 180一定等于π弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为2，圆心角为2所对应的弧长和扇形的面积。

【我的疑惑】
二、课堂互动探究
【例1】1.把下列各角从度化为弧度：
（1） 0
30 （2）075 （3）0210- （4）︒-135 （5）0'
2230
解：(1)0
306180π
π
=
⨯
(2)12
518075ππ
=
⨯
(3)67180210ππ-=⨯-
(4)47180315ππ=⨯- (5)8
1803022'
ππ=⨯- 2.把下列各角从弧度化为角度： （1）
12π （2）25π （3）5.3 （4）12π- （5）10
3π
解：（1）
1518012
=⨯
π
π
（2）
7218052=⨯ππ （3）
π
π6301805.3=
⨯ （4）
216018012-=⨯
-π
π （5）
54180103=⨯π
π
【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限．
319)
1(π
； 631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 而
67π是第三象限的角,319π
∴是第三象限角. (2) 6
31,656631π
πππ-
∴+-=- 是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴，y 轴上的角的集合。

【例3】在平面直角坐标系中，3
2π
α-=，角β的终边与角α的终边分别有如下关系时，求角β.
（1）若α，β两角的终边关于x 轴对称； 3
2πβ=
（2）若α，β两角的终边关于y 轴对称； 3
π
β-=
（3）若α，β两角的终边关于原点对称； 3
π
β=
（4）若α，β两角的终边关于0=+y x 对称； 6
5πβ-= 【例4】（1）已知半径为mm 120的圆上，有一条弧的长为mm 144,求该弧所对的圆心角的
弧度数的绝对值。

（2）知扇形的周长为cm 8，圆心角α为rad 2，，求该扇形的面积。

解：（1）5
6
120144===
r l α（弧度） （2）由题意有：82=⋅+r r α即)(2822cm r r r =∴=+ 则：)(4222
1
21222cm r S =⨯⨯=⋅=α
【我的收获】
三、课后知能检测
1.
5
3π
弧度化为角度是( C ) A ．110° B ．160° C ．108° D ．218° 2. －105°转化为弧度数为( B ) A.712π B ．－712π C ．－76π D ．－73
π 3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( B ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π
4.若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也增加到原来的2倍，则( B ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变
C ．扇形的面积增加到原来的2倍
D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍 5.半径为1 cm ，中心角为150°的角所对的弧长为( D ) A.23cm B.2π3cm C.56cm D.5π6cm 6.在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．若α＝3，则角α的终边所在的象限为__第二象限______．
8．若角α的终边在如右图所示的阴影部分，则用弧度制表示角α的取值范围是_{α|2k π
＋2π3≤α≤2k π＋7π
6
，k ∈Z } 9．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是___－5π
6_____．
10.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝|α|·r ＝6×2
3
π＝4π，
∴AB 的长为4π.
(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2
×4π×6＝12π，
如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，
于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝1
2
×2×6cos 30°×3＝
9 3.
∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.
∴弓形的面积是12π－9 3. 11.已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈(－π2，π
2)．
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14
9
π.
∴α＝－800°＝14
9
π＋(－3)×2π.
∵角α与14
9
π终边相同，∴角α是第四象限角．
（2）∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14
9π，k ∈Z 的形式，
由γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π
9
，k ∈Z .
又∵γ∈(－π2，π2)，∴－π2<2k π＋14π9<π
2，k ∈Z ，解得k ＝－1，
∴γ＝－2π＋14π9＝－4π
9
.
12.已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .
∵l ＝20－2r
∴S ＝12lr ＝12
(20－2r )· r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2
＋25(0＜r ＜10)．
∴当半径r ＝5 cm 时，，扇形的面积最大，为25 cm 2
.
此时α＝l r ＝20－2×5
5
＝2(rad)．
∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2
.
13. 如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于A 点，P ，Q 是圆上的两个动点，它
们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动．OP 逆时针方向每秒转π3，OQ 顺时针方向每秒转π
6
.
试求P ，Q 出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长．
解：易知，动点P ，Q 由第k 次相遇到第k ＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于 圆的一个周长R π2，因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为R π10.
设动点P ，Q 自A 点出发到第五次相遇走过的时间为t 秒，走过的弧长分别为1l ，
2l ，则1l ＝π3tR ，l 2＝|－π6|·tR ＝π
6
tR .
因此1l ＋2l ＝π3tR ＋π
6tR ＝R π10，
所以t ＝10πR
π3＋π6
R ＝20(秒)，
1l ＝203R π，2l ＝10
3
R π.
由此可知，P 转过的弧度数为20π3，Q 转过的弧度数为10π3，P ，Q 走过的弧长分别为
20π
3
R 和10π3R .。