相似三角形的证明

上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
∴ A' D A' E A' B' A'C'
B'
C'
又 AB AC , A' D AB A' B' A'C'
∴ A' E AC A'C' A'C'
∴ A' E AC 又A A'.
AD= 25 . 4
探究3 知识要点
三边对应成比例，两三角形相似.
如果
AB AB
BC BC
AC , AC
那么，△ABC∽△A′B′C′.
B′
边S
√ 边 S
边S A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
B'
C'
又 AB BC AC , A' D AB， ∴ A' E AC .
A'B' B'C' A'C '
A'C' A'C '
∴ A' E AC. 同理 DE BC.
∴ A' DE ABC. ∴ ABC ∽ A' B'C '.
小结
一、相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似. 2.三边对应成比例,两三角形相似. 3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
相似三角形判定定理的证明
回顾与复习
相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似.
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形 相似.
探究1 知识要点
两角对应相等，两三角形相似.
√ 角 A
角A
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC .
求证: △ ABC ∽△ A' B'C'.
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
A'B'
A
B'C' A'C'
A'
上）截取A' D AB，过点D再作
DE ∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽A' B'C '.
∴ A' D DE A' E . A'B' B'C' A'C'
A
A′
你能证明吗？仔细哟！
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取 AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
∴ A' DE ABC ∴ ABC ∽A' B'C'
思考
对于ABC和A' B'C'，如果
AB A' B'
AC , A'C'
B B'，这两个三角形一定会相似吗？
不会
应用
解：（1） AB 7 , AC 14 7 ,
A' B' 3 A'C' 6 3
AB AC . A'B' A'C'
两个三角形的相似比是多少？
如果∠B
=∠B1
， AB
A1B1
BC B1C1
k,
B1
那么，△ABC∽△A1B1C1.
边S 角A
√ 边 S
A1
C1
A
你能证明吗？ 可要仔细哟！
B
C
已知：在ABC和A' B'C'中，AB AC ,A A'
求证: △ ABC∽△ A' B'C' A' BA' A'C' A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
探究2 知识要点
两边对应成比例，且夹 角相等，两三角形相似.
二、相似三角形判定定理的应用
又A A'，
ABC ∽ A' B'C '.
应用
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，
BC=4，AC=5，CD= 7 1 ，求AD的长.
解:
2
AB=6，BC=4，AC=5，CD=
7
1，
AB CD .
2
BC AC
又∠B=∠ACD，
△ABC∽△DCA，
BC AC ，
AC AD