怎样钻研教材

对于要讲解的教材，应该深入钻研。

怎样钻研教材，我从教学实践中得出四句话：仔细揣摩，透彻理解；反复琢磨，问个究竟。

老师们都会有这样的经验，如果在课前对于教材内容钻研得比较深入，准备得比较充分的话，课上才可能做到运用自如，浅显易懂。

简单地说：只有钻得深，才有可能讲得浅。

对于教材的探讨，如果能够达到一定的深度和广度的话，才可以使教师心里有底，在讲课中遇到的问题，该肯定的敢于肯定，该否定的敢于否定（当然一些有争议的问题，现在还不便于肯定或否定者除外）。

总之，做好充分准备，讲课时才可以做到：得心应手，干脆利落。

钻研教材，可以有几种不同的形式。

其一，运用系统论的观点，从整体上进行分析研究。

这样做，以便全面了解系统教材的内容，掌握来龙去脉，可以明确其中各个部分教材与整体的关系，讲课时可以做到前后呼应，前边可以做好孕伏工作，后边可以做到逐步整理，使已学的知识得以再现。

便于学生形成认知结构。

其二，搞好单元教材的研究。

了解单元教材内容；明确单元教学的目的要求；掌握教学重点及教学难点；以便在每一节课里针对全单元的要求使任务得到落实。

其三，仔细揣摩每一节课的教材。

下面按照三种形式分别举例说明：
一、运用第一种方法对整数的认识
与整数四则计算教材进行探讨
（一）关于整数的认识
为了使学生认识整数并且掌握多位数的读法和写法，到底需要哪些基础知识呢？在探讨这个问题时，我是从认识整数的系统教材来考虑的。

根据国家教育委员会制订的《全日制小学数学教学大纲》对于教学内容的安排所指出的：把整数划分成“二十以内”、“百以内”、“万以内”、“多位数”四个阶段。

并且指出“这样有利于学生逐步建立数的概念，提高计算能力”。

在各年级教学内容方面把整数的读法、写法由易到难地安排了五、六个学期（五年制小学安排在五个学期里，六年制小学安排在六个学期里）。

我们应该怎样使学生建立明确的整数概念呢？怎样使学生掌握多位数的读法和写法呢？我是怎样分析的呢？从应该使学生掌握的基础知识入手。

比如，有两批物品（每100件为1包），让小学生清点（让学完整数读、写法的四年级小学生来清点），清点完了之后，要报告出总数来，还要在报告单上用阿拉伯数字写出来。

清点完毕，第一批物品是三千二百四十五包，合三十二万四千五百件，用阿拉伯数字写出来就是3245包或324500件。

第二批物品是一万四千七百零六包，合一百四十七万零六百件。

用阿拉伯数字写出来就是14706包或1470600件。

我根据整数读法、写法的规律，反复琢磨，小学生能够读出相当大的数，能够写出相当大的数，需要哪些基础知识呢？我考虑到的基础知识如下：
（1）最初的10个自然数的名称、顺序和写法；
（2）计数单位的名称和顺序（即个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿等）；
（3）阿拉伯记数法的位值原则及用“○”占位的方法；
（4）计数法的十进位制度；
（5）四位一级的读数法；
（6）三位一节的分节法。

通过这样分析，我明确了：要使小学生掌握多位数的读法和写法，必须具备以上六点基础知识。

考虑到小学学生年龄段的特点，考虑到他们的接受能力，采取分段认数，逐步扩大数的范围的办法是比较好的。

我弄清了认识整数的教学过程的完整体系，知道了必须具备的基础知识，当我教一年级、二年级或是三年级的时候，就可以针对总的要求，逐项完成基础知识教学任务。

心中有全局，就可以居高临下地看到各个认数教学段落与总目标的关系，可以做好孕伏工作，为下一个阶段的学习打好基础。

（二）关于整数四则计算
与整数的认识相配合，安排着整数的四则计算。

一般情况下是这样安排的：
（1）认识二十以内的数，主要学习二十以内的进位加法和退位减法；
（2）认识百以内的数，主要学习两位数加、减法的笔算，表内乘法及表内除法；
（3）认识万、亿等较大的数，学习比较复杂的加、减、乘、除四则计算法则。

对于整数四则计算法则，我也是运用系统论的观点，进行整体研究。

研究计算加、减、乘、除法所需要的基础知识，并着重分析口算与笔算的关系。

我先计算两道多位数加、减法的题目，探讨计算多位数加、减法所需要的基础知识。

加法例题：
所需基础知识
①4+5=9（10以内的加法口算）
⑤十进位制，进位法则。

⑥整数加法竖式格式。

减法例题：
所需基础知识
①9-4=5（10以内的减法口算）
⑤十进位制退位法则。

⑥整数减法竖式格式。

总之，计算多位数的加、减法所需要的基础知识有：
①10以内数加、减法的口算；
②20以内数进位加法、退位减法的口算；
③十进位制，进位、退位法则；
④加法、减法的竖式格式。

再计算两道多位数乘，除法的题目，探讨计算多位数乘、除法所需要的基础知识。

乘法例题
口算情况
在计算这道乘法题的过程中，共用口算24次。

其中乘法口诀9次，加法口算15次。

除法例题：
口算情况
在计算这道除法题的过程中，共用口算28次。

其中乘法口诀9次，加法口算6次，减法口算13次。

通过以上两个例题的计算，可以看出，所需要的基础知识有：
①乘法口诀；
②两个一位数相乘再加一位数的口算；
③10以内数加、减法的口算；
④20以内数进位加法、退位减法的口算；
⑤乘法计算过程中，各“部分积”的对位问题；
⑥除法计算过程中，试商的问题；
⑦乘法、除法的竖式格式。

还可以看出：口算和笔算比较，口算是基础。

实践说明，口算熟练的，笔算的正确率高而且速度快；反之，笔算的正确率低而且速度慢。

在笔算过程中，如果有一处的口算出了差错，那么整个题目就错了。

因此，可以说，口算的熟练程度制约着笔算能力的高低。

在四则计算教学中，应该重视口算能力的培养。

搞好整体教材的分析，可以使得长远目标同近期的训练结合起来，为了培养学生整数四则的计算能力，使学生计算得正确、迅速，方法合理而灵活，如果掌握整套教材的体系，可以更有针对性地抓好各项基础知识的教学工作。

二、运用第二种方法对分数除
法单元教材进行探讨
分数除法单元教材，主要解决两方面的问题。

一是分数除法的计算法则，二是用分数除法解答的应用题。

列表如下：
在教材里，分数除法的教学思路是：除法的计算法则与解答应用题同时进行。

（一）关于分数除以整数
在这一层先提出一些容易理解的应用题，着眼点放在“分数除以整数”的计算法则上。

出法则：
这道题的被除数的分子恰好能被2整除，商的分子可以是整数。

假如遇
为了使分数除法的计算得以顺利进行，并且能够得到准确的商，于是，从另一个角度来分析。

因为把一个数平均分成2份，取
按照（2）式的方法计算是切合题意的，而按照（1）式的方法计算也是切合题意的。

于是我们可以在这两个算式之间划上“=”号。

即
仿照这样的题意再举出一、两个相类似的题目，归纳出分数除以整数的法则：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

（二）关于一个数除以分数
除数是分数的题目要比除数是整数的分数除法题难得多。

难点之一是为什么用除法算；难点之二是怎样进行计算。

而这两个难点要同时解决，确实需要我们仔细揣摩了。

初学这类题目的时候，宜于分两步进行。

第一步先研究怎样列式，也就是先研究用什么方法算；第二步再研究怎样计算。

第一步，关于列式：
先回忆已经学过的数量关系式。

即
速度×时间=路程
也就是：（1小时走的路程）×时间=路程
根据这个公式同这道题联系起来，可以写成如下的关系式：
也就是：路程÷时间=速度。

第二步，关于计算方法：
的。

到底应该怎样进行计算呢？因为是分数，还要根据分数自身的特点来分
义推导出来的。

一个是根据公式，一个是根据分数的意义，因此，我们可以在这两个算式之间划上“=”号，得出计算法则。

教学时，还可以再举出一、二个类似的题目，归纳出“一个数除以分数”的法则：一个数除以分数，等于这个数乘以原分数的倒数。

把“分数除以整数”的法则与“一个数除以分数”的法则概括成统一的分数除法的法则：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘以乙数的倒数。

至此，使学生学会了分数除法的计算法则。

下一步，可以集中精力研究关于“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题。

积是多少亩？
这类题目，为什么用除法来解呢，确实是个难点。

早年的算术教材，曾设计过各种办法讲解这类题目。

比如，有的从“整数倍”讲到“分数倍”；有的从分数乘法引入，看来，从分数乘法引入是比较好的办法。

如果学过简易方程知识，可以用方程解。

解法如下：
解：设全村耕地面积为x亩。

列出方程
答：全村耕地面积是270亩。

计算熟练之后，如果不列方程，可以直接写出除法算式，用除法计算。

即已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。

我花了一定的时间，反复琢磨着这个单元的教材，摸清了教材的脉络，明确了教学目的要求，安排好讲课的层次，使得每一节课登上一级台阶，一步一步顺利到达峰顶。

三、运用第三种方法对数的
整除概念课进行探讨
我反复推敲着数的整除定义。

在小学数学教材里对于“整除”的定义是这样写的：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。

在讲解这一节课时，我准备和学生讨论以下几个问题。

第一，在这个定义里，条件是什么，结论是什么？条件是：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数。

结论是：a能被b整除。

第二，在定义里所说的数a、数b，是什么数呢？在小学数学教材里特地说明：在讲“数的整除”时，我们所说的数，都是自然数，不包括0。

这就是说，被除数和除数都是自然数。

第三，商是什么数呢？教材里已明确指出数a、数b都是自然数，也就是说，被除数和除数都是自然数，在定义里说除得的商正好是整数而没有余数，当然就是余数为0。

在这种情况下，商肯定也是自然数。

第四，怎样非常有把握地判断甲数是不是能被乙数整除呢？简单而明确的归结为三点：①被除数是自然数，②除数是自然数，③商也是自然数而没有余数（余数为0）。

如果学生掌握住这三点，就可以准确无误地判断甲数是不是能被乙数整除了。

例如：①48÷6=8（整除）
②1÷1=1（整除）
③4.8÷6=0.8（不符合整除定义）
④4.8÷0.6=8（不符合整除定义）
第五，0÷6=0。

“能不能说0能被6整除呢？”假如学生提出这个问题，就引导学生讨论讨论；如果学生没有提出这个问题，就不在课上讲了。

在《算术基础理论》里的“整除定义是：如果整数a除以自然数b能得到整数的商，那么就说b能整除a，或者说a能被b整除。

因此，0除以6等于0，可以说0能被6整除。

第六，“整除”指的是两个数之间的关系。

为了使学生明确“整除”的概念，可以引导学生进一步讨论，整除指的是两个数之间的关系，可以说，甲数能被乙数整除，或者说，乙数能整除甲数。

不能说，这个除法算式是整除。