上海市吴淞中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

当0
£
x
< 1 时，则
f
( x)
=
x 1-
x
=
1 1-
x
-1，
因为 y = 1- x 在[0,1) 上单调递减，且 x +1 < 0 恒成立，所以 f (x) 在[0,1) 上单调递增，
可得 f (x) 的函数图象如下：
方程 f ( x) = kx + b(k ¹ 0) 根的个数即为函数 y = f ( x) 与 y = kx + b (k ¹ 0) 的交点个数，
B．幂函数的图象都经过 (0, 0) ， (1,1) 两点
C．幂函数 y = xm 图象不可能在第四象限内 D．若幂函数 y = xm 为奇函数，则 y = xm 是定义域内的严格增函数
14．若 tan α=2 6 ，π<α< 3π ，则 cos a 等于（ ）
2
2
A． -
15 5
B． 15 5
C． -
12．
é êë
1 2
,
2ùúû
【分析】由题意可得，对 "x1 ， x 2 ， x3 Î R ，总有 f ( x1 ) + f ( x2 ) > f ( x3 ) 恒成立，转化为
答案第51 页，共22 页
2 f ( x)min > f ( x)max ，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对 "x1 ， x 2 ， x3 Î R ，总有 f ( x1 ) + f ( x2 ) > f ( x3 ) 恒成立，只需
³
1 a
(2
+
2
y-2 x
×
y
x -
2
)
+
2
=
4 a
+ 2 ，当且仅当
y-2 x
=
x y-2
，即 x
=
y
- 2 时取等号，
依题意，
4 a
+
2
=
4
，解得
a
=
2
，由
ìx
ï í
1
ïî x
= +
y-2 1
y-2
=
2
，解得
x
=
1,
y
=
3
，
所以当 x = 1, y = 3 时， x + y 有最小值为 4，实数 a 的值为 2. 故答案为：2 11．①③
试卷第31 页，共33 页
18．已知a
Î
æ çè
0,
π 2
ö ÷ø
,
b
Î ( 0,π
)
， sina
=
1 3
, cos
b
=
-
1 3
.
(1)求 sin (a + b ) 的值；
(2)求sin2 (a + b ) 的值.
19．三角形
ABC
的内角 A
，
B
，C
的对边分别为
a
，b
c ，
，已知 a cos
B 2
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为 sinq sin q
+ cosq - cosq
=
4
所以
tan q tanq
+1 -1
=
4
，解得
tanθ
=53
故答案为： 5 3
6．充分不必要 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】由于
ìx íî x
> >
4 2
Þ Þ
x x
> >
则 umin = 3 - 2a ，
由 y = loga (3 - ax) 在[0, 2] 上是关于 x 的减函数，得函数 y = loga u 在 (0, +¥) 上单调递增，且
3 - 2a > 0 ，
答案第31 页，共22 页
因此
ìa íî3
>1 - 2a
>
0
，解得1
<
a
<
3 2
，
所以实数
a
的取值范围是1
21．设 a，b，c，d 不全为 0，给定函数 f (x) = bx2 + cx + d ， g(x) = ax3 + bx2 + cx + d .若
f (x) ， g(x) 满足① f (x) 有零点；② f (x) 的零点均为 g ( f (x)) 的零点：③ g ( f (x)) 的零
点均为 f (x) 的零点，则称 f (x) ， g(x) 为一对“K 函数”. （1）当 a=c=d=1，b=0 时，验证 f (x) ， g(x) 是否为一对“K 函致”，并说明理由； （2）若 a=1， f (1) = 0 ，且 f (x) ， g(x) 为一对“K 函数”，求实数 c 的取值范围.
试卷第51 页，共33 页
参考答案： 1．0 或 -3 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可.
【详解】因为 3Î A ，则 a2 + 3a + 3 = 3 ，解得 a = 0 或 -3 .
故答案为：0 或 -3 .
2．(-¥, -1) U (2, +¥)
【分析】根据对数型函数真数大于 0 即可得到不等式，解出即可.
10 5
D． 10 5
15．已知函数 f (x) = (a -1) loga x + b （ a > 0 ，且 a ¹ 1,b 为实数），下列说法正确的是 （）
A．函数 f ( x) 的单调性只与 a 有关，与 b 无关 B．函数 f ( x) 的单调性只与 b 有关，
与 a 无关
C．函数 f ( x) 的单调性与 a、b 都有关 D．函数 f ( x) 的单调性与 a、b 都无关
é5 êë 3
,
+¥
ö ÷ø
故答案为：
( -¥,
-2]
U
é êë
5 3
,
+¥
ö ø÷
.
9．1 < a < 3 2
【分析】利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出 a 的范围.
【详解】由 y = loga (3 - ax) ，得 a > 0 且 a ¹ 1，因此函数 u = 3 - ax 单调递减，而 x Î[0, 2]，
=
a3+
3 4
15
=a4 ，
15
故答案为： a 4
4．25 【分析】由扇形的弧长公式及面积公式即可求得.
【详解】设扇形的半径为 r ，圆心角为a ，面积为S ，
则S
=
1 2
a
r2
=
1 2
´
2
´
52
=
25 ，所以该扇形的面积为 25 .
答案第11 页，共22 页
故答案为： 25 .
5．
5 3
/1
2 3
x-2 x +1
的定义域为
．
3．用有理数指数幂的形式表示 a3 × 4 a3 （其中 a > 0 ）
.
4．已知一扇形的圆心角为 2 弧度，半径为 5 ，则此扇形的面积为 .
5．已知 sinq sin q
+ cosq - cosq
=
4 ，则 tana
=
．
6．“ x > 4 ”是“ x > 2 ”的
条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、
2 f ( x)min > f ( x)max ，
f
(x)
=
2x + m 2x +1
=1+
m 2x
-1 +1
，
①当 m = 1时， f ( x) = 1 ，满足题意；
-x -x -1 =
x ，则 f ( x) 为偶函数，即其图象关于 y 轴
x -1
答案第41 页，共22 页
对称，故①正确；
对③，当
x
>
1 时，则
f
(x)
=
x
x -1
=1+
1 x -1
，
因为 y = x -1 在 (1, +¥) 上单调递增，且 x +1 > 0 恒成立，所以 f (x) 在 (1, +¥) 上单调递减，
【详解】由题意得
x-2 x
-
2) ( x
+1)
>
0
，解得
x
>
2
或
x
<
-1，
则其定义域为 (-¥ , -1) È (2, +¥ ) ， 故答案为： (-¥ , -1) È (2, +¥ ) .
15
3． a 4
【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解.
【详解】 a3 × 4
a3
3
= a3 ×a4
<
a
<
3 2
.
故答案为：1 < a < 3 2
10．2 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由
x
>
0,
y
>
2
，且
1 x
+
y
1 -
2
=
a
，知
a
>
0
，
因此
x
+
y
=
x
+
(y
-
2)
+
2
=
1 a
(
1 x
+
y
1 -
2 )[ x
+
(y
-
2)] +
2
=
1 a
(2
+
y
x
2
+
y
x -
2)
+
2
④存在无数个实数 x ，使得 D (-x) = -D ( x) ；
⑤若存在三个点 A( x1, D ( x1 )) 、 B ( x2, D ( x2 )) 、 C ( x3, D ( x3 )) ，使得 VABC 为等边三角形，
则 D ( x1 ) + D ( x2 ) + D ( x3 ) = 1
x
>
0
，
y
>
2
，且
1 x
+
y
1 -
2
=
a
，若
x
+
y
的最小值为
4，则实数
a
的值为
.
11．关于函数 f ( x) =
x ，给出下列结论： x -1
①函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称；
②如果方程 f ( x) = m （ m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数.
试卷第11 页，共33 页
③方程 f ( x) = kx + b (k ¹ 0) 一定有实数解；
由图象可得：当 k > 0 时，函数 y = f (x) 与函数 y = kx + b 的图象一定有交点，
由对称性可知，当 k < 0 时，函数 y = f (x) 与函数 y = kx + b 的图象也一定有交点，故③正确；
对于②：当 m = 0 时，方程 f (x) = m 只有 1 个解 x = 0 ，故②错误； 故答案为：①③. 【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正 误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.
2 4
，所以“
x
>
4
”是“
x
>
2
”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
7．
-
1 7
【分析】根据同角三角函数基本关系和诱导公式即可.
a 【详解】因为
为锐角， sina
=
43 7
，所以
cosa
=
1
-
æ ççè
4
3 7
ö2 ÷÷ø
=
1 7
所以 cosπ(co+sa ) = -
a
=
-
1 7
，
故答案为：
-
1 7
上海市吴淞中学 2023-2024 学年高一上学期期末考试数学
试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
{ } 1．已知集合 A = 2, a2 + 3a + 3 ，且 3Î A ，则实数 a 的值为
.
2．函数
y
=
log2
其中真命题的序号为（ ） A．①③④⑤ B．①③④
C．①②④⑤
D．①②④
三、解答题
17．已知关于 x 的不等式 ( x - a)( x +1) £ 0 的解集为 A，不等式 x -1 < 1 的解集为 B.
(1)若 a = 4 ，求集合 A； (2)若 A È B = A ，求正数 a 的取值范围.
“充要”、“非充分非必要”）.
7．若a
为锐角， sina
=
43 7
，则
cosπ(
+a) =
.
8．设 xÎ R ，则方程 3x - 5 + x + 2 = 4x - 3 的解集为
9．已知 y = loga (3 - ax) 在[0, 2] 上是关于 x 的减函数，则实数 a 的取值范围是 .
10．已知
【分析】由函数解析式可推出 y = f (x) 是偶函数，在[0,1) 上单调递增，在 (1, +¥) 上单调递
减，结合图形判断各项的正误.
【详解】对①，令 x -1 ¹ 0 ，解得 x ¹ ±1 ，可知 f (x) 的定义域为 (-¥ , -1) È (-1,1) È (1, +¥ ) ，
定义域关于原点对称，且 f (-x) =
.
答案第21 页，共22 页
8．
( -¥,
-2]
U
é êë
5 3
,
+¥
ö ø÷
【分析】分
x
£
-2
，
-2
<
x
<
3 4
，
3 4
£
x
£
5 3
，
x
>
5 3
讨论去绝对值来解方程.
【详解】当 x £ -2 时，方程为 -(3x - 5) - ( x + 2) = - (4x - 3) ，解得 x £ -2 ；
=
b sin
A.
(1) 求 B ； (2) 若 VABC 为锐角三角形，且 c = 1，求 VABC 面积的取值范围.
20．设 f (x) = 2x + a × 2-x ，其中 a Î R ．
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(1)若函数 y = f (x) 的图像关于原点成中心对称图形，求实数 a 的值； (2)若函数 y = f (x) 在 R 上是严格增函数，求实数 a 的取值范围．
以上结论正确的是
12．已知