I0506 会求等差数列前n项和的最值

解法二：∵a1=10,公差d=－2， ∴{an}是递减数列，且an=a1＋(n-1)d=10＋(n-1)×(－2)=－2n+12 令－2n+12>0得n<6 令－2n+12＝0得n＝6 令－2n+12<0得n>6 ∴当n=5或6时取得最大值
根据Sn
na1
n(n 1) 2
d得S6
S5
10 5
5 4 (2) 2
等差数列前n项 和的最值
例题讲解
例1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=－2,则Sn是否存在 最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说 明理由.
分析：Sn是关于n的没有常数项的一元二次函数， 这样，就把求Sn的最大值转化为求二次函数得最 大值.
所以当n＝6时，Sn取最小值．
解法二： 由an＝2n－13知，n≤6时，an<0；n≥7时，an>0，故S6最小．
感悟提升
求等差数列前n项和的最值的2种方法 (1)通项公式法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项．即求使 an≥0(或an≤0)成立的最大n值，即得Sn的最值． (2)二次函数法 利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，运用配 方法，借助函数的单调性及数形结合求最值． 此种方法需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件，若对称轴取不 到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n∈N*)．
30
例题讲解
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn 取最小值时，n等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
解法一：
设该数列的公差为d，
则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，
所以Sn＝－11n＋
n(n 2
1)
2
=n2－12n＝(n－6
根据Sn
na1
n(n 1) 2
d得Sn
10n
n(n 1) 2
(2)
即Sn=－n2+11n,
∵f(x)=－x2+11x在x=5.5时取得最大值
∴当n=5或6时取得最大值，最大值为30
例题讲解
例1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=－2,则Sn是否存在 最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说 明理由.