(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案理新人教A版

第1讲 直线与圆
[做真题]
题型一 圆的方程
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－4
3
B ．－34
C ． 3
D ．2
解析：选A ．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得
|a ＋4－1|a 2
＋1
＝1，解得a ＝－4
3. 2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 2
4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半
轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2
＋y 2
＝r 2
(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩
⎪⎨⎪⎧m 2
＋4＝r 2
，
(4－m )2
＝r 2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2
＝254.
所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝25
4
.
答案：(x －32)2＋y 2＝254
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线
l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.
(1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0. Δ＝16k 2
＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2
＋4k
2.
所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2
＋4
k
2.
由题设知4k 2
＋4
k
2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即
y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则
⎩
⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2
＝(y 0－x 0＋1)2
2＋16， 解得⎩⎪⎨
⎪⎧x 0＝3，y 0＝2
或⎩⎪⎨
⎪
⎧x 0＝11，y 0＝－6.
因此所求圆的方程为(x －3)2
＋(y －2)2
＝16或(x －11)2
＋(y ＋6)2
＝144. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2
＋y 2
＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2，6]
B ．[4，8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解析：选A ．圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1
∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝1
2|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP
面积的取值范围是[2，6]．
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
解析：选C ．设圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则⎩⎪⎨⎪
⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0. 解得⎩⎪⎨⎪
⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.
所以圆的方程为x 2
＋y 2
－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，
所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |
＝46，故选C ．
3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．
解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2
＝23，得d ＝3，即
||
3m －3m 2＋1
＝3，解得m ＝－
3
3
，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |
cos 30°
＝4.
答案：4
[明考情]
1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
直线的方程 [考法全练]
1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2
)，C (3，a 3
)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0
C ．2±5
2
D ．2＋52
或0
解析：选A ．因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2
)，C (3，a 3
)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a
2－1
＝
a 3＋a
3－1
，即a (a 2
－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A ．
2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0
D ．4
解析：选B ．因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B ．
3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m
的取值范围是( )。