矩阵乘法的定义

矩陣乘法的定義
1.
矩陣乘積的定義：若A 是一個m n ⨯階矩陣﹐
B 是一個n p ⨯階矩陣﹐則A 和B 的乘積AB
C =是一個m p ⨯階矩陣﹐而且C 中的每個(),i j 元都等於A 的第i 列中各元（共有n 個元）與B 的第j 行中各對應元（也有n 個元）之乘積的和﹐
即a
b A c
d e
f ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，g h i B j k l ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
則ag bi ah bk
ai bl AB cg dj ch dk
ci dl eg fj eh fk ei fl +++⎡⎤
⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦
類1、已知矩陣3122A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐123456B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
﹒ (1)求AB ﹒ (2)判斷BA 是否存在﹒71115666⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
;(2)不存在
矩陣乘法的性質與單位矩陣
1. (1) 矩陣的乘法並不滿足交換律﹐即AB ≠
BA
例如：1256192234784350⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
﹐但5612233478343146⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
﹒ (2) 當矩陣A 與B 都不是零矩陣時﹐其乘積AB 卻有可能
是零矩陣﹒
例如：1224A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐2412B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦不是零矩陣﹐但0000AB O ⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦
﹒ (3) 矩陣的乘法並不滿足消去律﹐即當AB AC =﹐且
A O ≠時﹐也不能斷定
B
C =一定成立﹒
2. 若r 為實數﹐A ﹐B 為矩陣﹐且下列各矩陣運算都有意義﹐
則 (1)()A B C AB AC +=+﹒
(2)()A B C AC BC +=+﹒ (3)()()()r AB rA B A rB ==﹒
(4)()()AB C A BC =﹒
3. 單位矩陣： 21001I ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐3100010001I ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
﹒ 這n I 在矩陣的乘法中﹐就相當於實數乘法中的1﹒
類1、已知矩陣1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐4132B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
﹐求AB 與BA ﹒ 1372010⎡⎤⎢
⎥
⎣⎦﹐616717⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
類2、已知6231A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐1339B -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
﹐求矩陣AB 與BA ﹒ 0000AB
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
﹐3193BA ⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
類3、已知210134A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐303112B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
﹐求矩陣AB 與BA ﹒ 911611AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐630764478BA ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
類4、設1234A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦﹐231k B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
﹐且AB BA =﹐求實數k 的值﹒ 2-
類5、已知123456A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐101212B ⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
﹐求(1)T AB =____________﹐(2)T BA =____________﹒
261025-⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦;(2)210625-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
類1、已知矩陣3210A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐1321B -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦﹐21C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
﹐求()AB C 與()A BC ﹒91-⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦﹐91-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
類2、已知矩陣124320A ⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦﹐211121B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
﹐121122C ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐求矩陣 (1)AB ﹒ (2)()A B C +﹒8745-⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
;(2)119513-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
;
類1、已知矩陣5423A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐4422B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐8976C ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
﹐求矩陣AC BC +﹒8976⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
類2、已知132213431A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦﹐649351728B -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
﹐649351727C --⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦﹐求矩陣BA CA +﹒ 000000431⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
類3、已知矩陣212103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐110122B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦﹐111201011C -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
﹐求矩陣 (1)()A B C +﹒ (2)AC BC +﹒
511613⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦;(2)511613⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
類4、已知120110140A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦﹐123111111B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐123111222C ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
﹐求矩陣AB AC -﹒000000000⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
類1、已知矩陣1473521A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹐33115522B -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
﹐求矩陣AB ﹒
770077⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
類1、已知矩陣1111A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦﹐1001I ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
﹐求矩陣 (1)2A ﹒ (2)3A ﹒ (3)()
3
I A +﹒
2222-⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦;(2)4444-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(3)14131314-⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
類2、已知矩陣123456789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐142536B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
﹐求矩陣(1)3AI ﹐
(2)3I A ﹐(3)2BI ﹐(4)3I B ﹒A ;(2)A ;(3)B ;(4)B
類3、設100030005A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐3230030000a A A I b c ⎡⎤
⎢⎥-+=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
﹐求a b c ++=____________﹒
類1、. 設00i A i ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦﹐求86
A =____________1001-⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦
類2、設1111M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
﹐求12
M =_________640064-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
類3、. (1)若1110A -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦﹐則1000
A =？ (2)若1101A -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
﹐則1000A =？(1)1110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;(2)1100001-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
類4、設100010001I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐333333333A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦﹒試將方陣()3I A +化為 aI bA +的形式（a ﹐b 為實數）﹐並求出a ﹐b 的值﹒
故1a =﹐111b =﹒
類5、若100010001I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐123012001A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐且A I B =+﹐則 (1) 求矩陣B ﹐2B 及3B ﹒ (2)利用(1)及A I B =+﹐求10A ﹒
(1) 2004000000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦﹐3
000000000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
﹒ (2) 1202100120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
﹒
類1、.設121014459A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦﹐若049x A y z ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
﹐求數對(),,x y z =____________﹒()29,16,3
類2、.設矩陣A 滿足3010200010A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦﹐010*******A ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
﹐求0110A ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
﹒132231⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎣⎦
轉移矩陣
1. 轉移矩陣：當方陣A 具有下列兩個特性：
(1) A 的每一個元都是0大於或等於的實數﹒
(2) A 的每一行的各元之和都等於1﹒ 我們稱A 為轉移矩陣﹒
2. 馬可夫的定理：設A 是一個n 階轉移矩陣﹐且A 或A 的某
一次方之所有元都是正實數﹐則對於任意一個所有元都是非負的實數﹐且各元的和是1的1n ⨯階矩陣0X ﹐當k 趨向無限大時﹐0k k X A X =會趨近唯一的矩陣X ﹐而且這個矩陣X 就是滿足 (1) AX X =﹔ (2) X 中各元的和為1﹐
的1n ⨯階矩陣﹒
類1、某籃球選手經常作罰球線投籃練習﹒依據過去經驗﹐當他前一球投進時﹐下一球的命中率為80%﹔當他前一球投不進時﹐下一球的命中率為60%﹒ (1)寫出此選手投籃的轉移矩陣A ﹒ (2)在暖身球投進之後﹐分別求接下來投進第1球﹐第2球及第3球的機率﹒
(3)長期而言此選手的投籃命中率為何﹖
4355125
5⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
;(2)80%﹐76%﹐75.2%;(3)75%
類2、學校餐廳的午餐有麵食與飯食兩種主食供同學選用﹒根據統
計﹕選用麵食的人第二天有一半的人仍選用麵食﹐其餘一半選用飯食﹔而選用飯食的人第二天有25%仍選用飯食﹐其餘75%選用麵食﹒試問﹕長期而言每天選用麵食與飯食的人各占多少比例﹖
3
5
﹐
25
類3、某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況﹐依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類﹒統計發現﹕高收入的人口中﹐每年有2
成會轉變為低收入﹔低收入的人口中﹐每年有1成會轉變為高收入﹒已知目前全國國民有3成為高收入﹐7成為低收入﹒
(1)兩年後低收入人口占全國國民多少比例﹖
(2)長期而言﹐高收入人口與低收入人口各占多少比例﹖
1
3﹐
2
3
類1、某人遊走於甲﹑乙﹑丙三城鎮﹐此三城鎮彼此間皆有道路相
通﹒當此人夜宿於某城鎮時﹐翌日早晨醒來﹐選擇留在該城鎮的機
率為
1
2
﹐前往其他城鎮的機率均為
1
4
﹒假設此人某日夜宿於甲鎮﹐
試求此人三日後﹐遊走至甲鎮的機率﹒
11
32
類1、某一推銷員的推銷區包括甲﹑乙﹑丙三鎮﹐他絕對不連
續兩天在同一市鎮推銷﹒若某一天在甲鎮推銷﹐則第二天必到
乙鎮推銷﹒若某一天在乙鎮推銷﹐則第二天在甲鎮推銷的機率
為在丙鎮推銷的兩倍﹒若某一天在丙鎮推銷﹐則第二天在甲鎮
推銷的機率為在乙鎮推銷的兩倍﹒長期而言﹐此一推銷員在甲﹑
乙﹑丙三鎮售貨的機率各為多少？
故長期而言﹐在甲﹑乙﹑丙三鎮售貨的機率分別為
2
5
﹐
9
20
﹐
3
20
﹒
類2、某工廠有甲﹑乙二條生產線﹐共有700位工人﹒工作一週後﹐
依轉調規定﹕甲生產線保留
1
3
的工人﹐另
2
3
的工人轉調到乙生產
線﹔乙生產線保留
1
2
的工人﹐另
1
2
的工人轉調到甲生產線﹒雖然每
週都這樣作輪調﹐但是每條生產線上的工人總數總是不變﹒求乙生
產線的工人數﹒（人）
類3、小明從家裡到學校有甲﹑乙兩條路線可以走﹐他每天依下述方法決定上學的路線﹕若某一天走乙路線上學﹐則次日一定走甲路線﹔若某一天走甲路線上學﹐則次日丟一枚公正硬幣﹐出現正面就走甲路線﹐反面就走乙路線上學﹒
(1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣﹒
(2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線﹐則他在星期三走甲路線上學的機率為何﹖
(3)長期而言﹐小明走甲路線上學的機率為多少﹖
1
1
2
1
2
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
;(2)
5
8;(3)
2
3
類1、設A﹑B兩箱中﹐A箱內有一黑一白兩球﹐B箱內有一白球﹒
甲乙二人輪流取球﹐每次先由甲自A箱內任取一球﹐放入B箱內﹐
再由乙自B箱內任取一球﹐放入A箱內﹐這樣稱為一局﹒(1)當第
一局結束時﹐A箱內兩球為一黑一白的機率為____________﹒(2)
當第三局結束時﹐A箱內兩球為一黑一白的機率為____________﹒
3
4
;(2)
43
64
(1)。