吉林省博文中学2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题

吉林省博文中学 2018-2019 学年高一数学放学期第一次月考试题
本试卷分选择题和非选择题两部分共
22 题，共 150 分，共 2 页。

考试时间为
120 分钟。

考
试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题
5 分，共
60 分）
1．以下说法中正确的选项是（ ）
A ．两个长度相等的向量必定相等
B ．相等的向量起点必然同样
C ． AB 与 C
D 共线，则 A, B,C , D 四点必在同向来线上 D . 相等的向量必定是平行向量 2．在△ ABC 中，已知 a ＝ 8，B ＝60°， C ＝75°，则 b 等于
(
)
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6
D .
32
3
3．已知向量 a
(3,4), b (sin ,cos ), 且 a // b , 则 tan =（ ） .
A ．
3
B ．
3 C ．
4
D .
4
4
4
3
3
4．在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 中点， AB
a ， AD
b ，则 BE 等于（
）
．
1
．
1
1
1
A
- a - b
- a + b
．
a - b
D.
a + b
C
2 2
2
2
5. 在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝7， AC ＝ 8，则 BA BC 的值为（
）
A ． 5
B ．－ 5
C ． 15
D . －15
6. 已知 a 、 b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么 a + 3b =（
）.
． 7
． 10
C ． 13
.4
A
B
D
7. 若 a (x 4， x
3) ， b (3 x
9， 3) ，且 a ⊥ b ，则 x 值为（
）
A ． 3
B ． 5
C ．3或5
D .3或5
8．在△ 中，已知 sin 2
＋ sin 2
－ sin sin ＝ sin
2
，且知足 ab ＝ 4，则该三角形的面积为 ()
ABC
A
B
A B C
A ． 1
B ． 2
C ． 2
D . 3
9. 已知
ABC 的三个极点 A 、B 、C 及平面内一点 P 知足： PA PB PC
0 ，若实数
满
足： AB ACAP ，则 的值为（ ）
A ．
2
B ．
3
C ． 2
D . 3
3
2 A, B, C 的对边，若 c a cosB
2( a b)cos
A
ABC
10．在 ABC 中，a, b, c 分别是三内角 ，则 的形状是（
）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D . 等腰或直角三角形
11. 在
ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若 c 2 （ a
2
，
b ） 3 ，且 C
ABC 的面积 S
3
则
（ ）
A ． 3
B ．
3 3
C ． 3
D .3 3
4
4
12. 在
ABC 中，a,b, c
分别是三内角
A, B, C
的对边，若
a
3, A
，则 b
c 的最大值为
3
（
）
A ． 4
B ．3 3
C ．2 3
D . 2
第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每题
5 分，共 20 分）
13. 与向 量 a
(1, 3) 共线的单位 向量坐标为.
14. 在
ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，若 3a 2cnsi
A ，c
7 且 ABC
的面积 3 3
b .
S
，则 a
2
15. 已知 a (2,3), b ( 3, 4) ，，则 a b 在 a+b 上的投影等于.
16. 若 a, b 是两个非零向量，且
a
b
a b ,
3
,1 ，则 b 与 a
b 的夹角的取值
3
范围.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. （本小题 10 分） 已知 a 4 , b 3 , 2a - b a + b 17 ．
（1）求a与b的夹角；在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°，距离为8 3 nmile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东 120°，求：
（2）当k取何值时，向量ka b 与 a2b 垂直
(1)A 处与 D 处的距离；
(2) 灯塔 C与 D处的距离．18. （本小题 12 分）在平面直角坐标系中，已知A(1, 2)， B(2,3) ， C( 2, 1) 。

（1）求以线段AB, AC
21. （本小题12 分）已知a (1,sin x 1), b (sin x sin x cos x, sin x), f (x) a b (x R) ，为邻边的平行四边形两条对角线的长；
求：
（2）设实数t知足( AB tOC ) / /OB ，求t的值。

（ 1）函数f ( x)的最大值和相应的x的取值会合；
（ 2）若a b 1 ，求a2的取值范围。

19. （本小题 12分）锐角三角形ABC 中，边a, b是方程x2 2 3x 20 的两根，角 A, B 满22. （本小题12 分）已知ABC的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a ,b, c ,向量足 2sin (A＋ B) －3＝ 0. 求：m (2,1) ，n(2cos 2A ,cos 2A1) ，且 m n9.
22
(1)角 C 的度数；
（ 1）求角A的大小；（2）若a 3 ，试求ABC 面积的最大值及此时ABC 的形状. (2) 边 c 的长度及ABC 的面积．
答案
一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分）
20. （本小题12 分）如右图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东75°，距离为 12 6 nmile，1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D9. D 10.D11. B 12. C
二、填空 （本大 共
4 小 ，每小
5 分，共 20 分）
2k
2x
2k
3 , k
Z
(1 ,
3
)，( 1
,
3 )
13. 14. 5
4
4
4
2 2
2
2
k
x
k
, k Z
﹍﹍8 分
15.
6 2
16
、 [
2
,
5
]
4
2
2
3
6
2 sin x 1 或
1 sin x
﹍﹍10 分
三、解答 （本大 共
6 小 ，共 70 分）
2
2
1,
5
5
17. （本小 10 分）．
又 a
2
sin x 1
2
1 ， a
2
的取 范 是
2
2,5 ﹍﹍12分
（1） 120 ；
2
2
（2） k
3
2 分）
22.（本小
12 分）（ 1）由 m n
4 cos 2 A
cos 2 A 1
9
， 4
1
cos
A (2 cos 2A 1)
7 ， 18. （本小 12 分）（注：有不加箭 或坐 不加等号 象扣
2
2
2
2
AB (3,5)
AC
( 1,1)
因此 2 cos
2
A 2 cos A
1
解：（ 1）由 意知
， 。

0 ，故有 cos A 1 ， A
.⋯⋯（6分）
AB AC (2,6) ， AB AC (4,4) 。

因此 | AB
AC | 2 10，|AB AC| 4 2。

故所
2
a 2
b 2
c 2
2 3 b 2 c 2
求两条 角 分 2 10，
4 2 。

（ 2）因 a
3 ， 由余弦定理 2bc cos A 知： 3
bc ，再利用基
本不等式，可得 bc
3 ，当且 当 b c
3 等号建立，
（2）由 意知 OC (
2, 1) ， AB
t OC (3 2t,5 t ) 。

1
1
3
3 3
由 3(3
2t ) 2(5 t)
解得 t
1
此
( S ABC )max (bc)max sin A
3
，
2 2 4。

2
4
19. （本小 12 分） (1)
60 (2) c 6, S
3 ． 2
20. （本小 12 分）：
(1)24(2)
8 3
21. （本小 12 分）
（1） f (x) a b sin x sin xcos x sin 2
x sin x
1
sin 2x 1 1 cos2x 2 2
2
sin 2x
4
1
﹍﹍2分
2
2
当 sin
2x
1 ， f ( x) 获得最大
1
2 ﹍﹍4分
4
2
此 x 的取 会合 x x
k
3 ,k
Z
﹍﹍6分
8
（ 2）由
2
sin 2x
1 1 得 sin 2x 4
2 ，
2
4
2 2。