2021-2022年八年级数学上期末第一次模拟试卷及答案

一、选择题
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A ．3的平方根是3
B ．5是无理数
C ．1的立方根是1
D ．全等三角形的周长相等
2．如图，已知ACF DBE?△≌△，下列结论：① AC DB =；② AB DC =；
③ DCF ABE ∠∠=；④AF//DE ；⑤ACF DBE
S S =△△；⑥BC AF =；⑦CF //BE ．其中正确的有（ ）
A ．4?个
B ．5?个
C ．6?个
D ．7个
3．已知四边形ABCD 是长方形，点,E F 分别为线段BC ，AD 上的两点，将四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，若40BEC '∠=︒，则EFD ∠等于（ ）
A ．50︒
B ．65︒
C ．60︒
D ．70︒
4．如图，一次函数162
y x =-+的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，与正比例函数y x =的图象交于第一象限内的点C ，则OBC 的面积为（ ）
A ．12
B ．24
C ．27
D ．48
5．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ）
A ．632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．623 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．63213x y x y +=⎧⎨+=⎩
6．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,1)B ，(2,2)C ，当直线3y kx =+与ABC ∆有交点时，k 的取值范围是（ ）
A ．2132k -≤≤-
B ．223k -≤≤-
C ．223k -<<-
D ．122k -≤≤- 7．已知点()()()1232,,1,,1,y y y -- 都在直线y=-3x+m 上，则 123,,y y y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．231y y y >>
D ．321y y y >> 8．一次函数y kx b =+的图象如图所示，则下列说法：①0kb >；②若点(2,)A m -与(3,)B n 都在直线y kx b =+上，则m n >；③当0x >时，y b >．其中正确的说法是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③ 9．解为12x y =⎧⎨=⎩
的方程组是（ ） A ．135x y x y -=⎧⎨+=⎩ B ．135x y x y -=-⎧⎨+=-⎩ C ．331x y x y -=⎧⎨-=⎩ D ．2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩
10．在平面直角坐标系中，点（－1，3）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 1116 ）
A ．4
B ．4±
C ．2±
D ．-2 12．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A ．5、6、7
B ．6、8、10
C ．1.5、2、2.5
D 327 二、填空题
13．已知直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为___________．
14．如图，//AB CD ，AC AD ⊥，50ACD ∠=，则BAD ∠的度数为__________．
15．某车间有660名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应安排______________人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．
16．若,x y 为实数，且满足26||220x y x y --++-=，则2021x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是________．
17．正方形1111A B C O ，2222A B C C ，3333A B C C ，...按如图的方式放置，点1A ，2A ，3A ，..和点1C ，2C ，3C ，...分别在直线1y x =+和x 轴上则点4B 的坐标是__________．
18．已知点M （3，－2），它与点N （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且MN ＝4，那么点N 的坐标是______．
19．若二次根式26a +与33-是同类二次根式，则整数a 可以等于___________．（写出一个即可）
20．如图，一架长2.5m 的梯子斜靠在垂直的墙AO 上，这时AO 为2m .如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子的底端B 向外移动_________m .
三、解答题
21．已知AB ∥CD ，CF 平分∠ECD ．
（1）如图1，若∠DCF =25°，∠E =20°，求∠ABE 的度数．
（2）如图2，若∠EBF =2∠ABF ，∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，求∠ABE 的度
数．
22．春节将至，某公司准备购买A 、B 两种纪念品，已知购买2个A 种纪念品与5个B 种纪念品共需200元，购买1个A 种纪念品比1个B 种纪念品少花5元．
（1）求A 、B 两种纪念品的单价；
（2）结合员工们的需求，公司决定购买A 、B 两种纪念品共100个（其中A 种纪念品不超过50个）．春节期间某商店有两种优惠活动，如表所示，请根据以上信息回答：购买A 种纪念品多少个时，选择活动一和活动二购买所需的费用相同． 春节期间优惠活动：
活动一：“疯狂打折”，A 种纪念品7折，B 种纪念品5
折．
活动二：购买一个A 种纪念品送一个B 种纪念品．
23．如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段PA 绕点P 逆时针旋转90°能得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“旋垂点”．
（1）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1S -关于原点O 的“旋垂点”是 ；
（2）如图2，90AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，将直角三角板的直角顶点P 放在OC 上，两直角边分别交OA 、OB 于点M 、N ，试说明：点N 是点M 关于点P 的“旋垂点”；
（3）如图3，直线3y kx =+与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，点Q 关于点P 的“旋垂点”记为点(),T m n ，若点P 在x 轴上，且03OP <<，点T 的横坐标m 满足21m -<≤-，求k 的取值范围．
24．在如图所示的平面直角坐标系中，完成下列任务．
（1）描出点(1,1)A ，(3,1)B ，(3,2)C -，(1,2)D -，并依次连接A ，B ，C ，D ； （2）画出四边形ABCD 关于y 轴对称的四边形1111D C B A ，并写出顶点1A ，1C 的坐标． 25．（1）计算：92﹣1
2＋8﹣|2﹣32|；
（2）计算：45÷33×3
5．
26．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt ABC △纸片（90B ∠=︒，6AB =，8BC =）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将Rt ABC △纸片沿DE 折叠，使点C 落在ABC 外部的'C 处 ①若140∠=︒，37C ∠=︒，则2∠的度数为 ．
②1∠，2∠，C ∠之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将ABC 沿DE 折叠，使点C 与点A 重合，求BD 的长； （3）如图4，“雄鹰”小组将ABC 沿AD 折叠，使点B 落在点E 处，连接CE ，当CDE △为直角三角形时，求BD 的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】
A 3的逆命题是：3的平方根，是假命题；
B
C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
故选：C ．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．
2．C
解析：C
【分析】
利用ACF DBE △≌△得到对应边和对应角相等可以推出①③，根据对应角相等、对应边相等可推出②④⑦，再根据全等三角形面积相等可推出⑤，正确；根据已知条件不能推出⑥．
【详解】
解：①∵ACF DBE △≌△
∴ AC DB =故①正确；
②∵ AC DB =
∴ AC-BC DB-BC =即： AB DC =，故②正确；
③∵ACF DBE △≌△
∴ ACF DBE ∠∠=；
∴ 180-ACF 180-DBE ︒∠=︒∠即： DCF ABE ∠∠=，故③正确；
④∵ACF DBE △≌△
∴ A D ∠=∠；
∴AF//DE ，故④正确；
⑤∵ACF DBE △≌△
∴ACF DBE
S S =△△，故⑤正确； ⑥根据已知条件不能证得BC AF =，故⑥错误；
⑦∵ACF DBE △≌△
∴ EBD FCA ∠=∠；
∴CF //BE ，故⑦正确；
故①②③④⑤⑦，正确的6个．
故选C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解答此题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
先根据平行线的性质的得出40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，结合折叠的性质得出∠DFE=∠MFE ，即可得出结论
【详解】
解：∵四边形ABCD 是长方形，
∴AD//BC ，//''D F C E
∴40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，
∵四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，
∴∠DFE=∠MFE ，
MFE MEF ∴∠=∠
∴∠EFD=∠MFE=()118040702
⨯-=， 故选D ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
4．A
解析：A
【分析】 因直线162
y x =-+交y 轴于点B ，故可求得点B 的坐标，从而可得OB 的长，又直线162
y x =-+与直线y x =相交，故可求得点C 的坐标，从而可得△OBC 的边OB 上的高，因此可求得△OBC 的面积．
【详解】 对于直线162
y x =-
+，令0x =，得：6y = ∴6OB = 解方程组162y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，得：44x y =⎧⎨=⎩ 即点C 的坐标为(4,4)
∴点C 到y 轴的距离为4 ∴14122
OBC S
OB =⨯⨯= 故选：A
【点睛】 本题主要考查了求两直线交点坐标、平面直角坐标系中求直线围成的三角形面积，关键分别求得点B 、点C 的坐标，而求两直线的交点坐标体现了数形结合的思想．
5．C
解析：C
【分析】
根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组.
【详解】
由题意得：新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元，
∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元，
∴0.6x y ，
又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元，
∴32 1.3x y +=，
∴可列方程组为：0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.
6．B
解析：B
【分析】
把A 点和B 点坐标分别代入y=kx+3中求出对应的的值，即可求得直线y=kx+3与△ABC 有交点时k 的临界值，然后再确定k 的取值范围．
【详解】
解：把A （1,1）代入y=kx+3得1=k+3，解得k=-2
把B （3,1）代入y=kx+3得1=3k+3，解得：k=23
- 所以当直线y=kx+3与△ABC 有交点时，k 的取值范围是223
k -≤≤-
． 故答案为B ．
【点睛】 本题考查了一次函数与系数的关系,将A 、B 点坐标代入解析式确定k 的边界点是解答本题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据在y=-3x+m 中，-3＜0，则y 随x 的增大而减小，然后根据一次函数的增减性解答即可．
【详解】
∵直线3y x m =-+ 中30-< ，
∴ y 随 x 的增大而减小，
又∵点 ()()()1232,,1,,1,y y y -- 都在直线上，
且211-<-<．
∴y 1＞y 2＞y 3
故答案为A ．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，灵活运用一次函数的性质是正确解答本题的关键． 8．B
解析：B
【分析】
由图象经过第一，二，三象限，可得k ＞0，b>0，可判断A①，根据增减性，可判断②，由图象可直接判断③
【详解】
解：∵图象过第一，第二，第三象限，
∴k ＞0，b>0，
∴0kb >,①正确， y 随x 增大而增大，
∵-2＜3
∴m ＜n ，②错误，
又∵一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点（0，b ）, 当0x >时，图像在第一象限，都在点（0，b ）的上方，又是增函数，
∴这部分图像的纵坐标y>b ，③正确，
故①③正确
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象的性质，解题关键是灵活运用一次函数图象的性质．
9．D
解析：D
【分析】
根据方程组的解的定义，只要检验
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是否是选项中方程的解即可．
【详解】
A、把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程x-y=-1，左边=1≠右边，把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程y+3x=5，左边=5=右边，
故不是方程组的解，故选项错误；
B、把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程3x+y=-5，左边=5≠右边，故不是方程组的解，故选项错误；
C、把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程x-y=3，左边=-1≠右边，故不是方程组的解，故选项错误；
D、把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程x-2y=-3，左边=-3=右边=-3，把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程3x+y=5，左边=5=右
边，故是方程组的解，故选项正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据点的横纵坐标的符号可确定所在象限．
【详解】
解：∵该点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴所在象限为第二象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了象限内点的坐标特征；用到的知识点为：第二象限点的符号特点为（−，＋）．11．C
解析：C
【分析】
先计算16的算术平方根a，再计算a的平方根即可.
【详解】 ∵
4=，
∴4的平方根为±2．
故选C.
【点睛】
本题考查了实数的算术平方根，平方根，准确掌握这两个基本概念是解题的关键. 12．A
解析：A
【分析】
利用勾股定理的逆定理计算判断即可．
【详解】
∵2256253661+=+=≠2749=，
∴5、6、7不能作为直角三角形的三边长，
∴选项A 错误；
∵22866436100+=+==210100=，
∴6、8、10能作为直角三角形的三边长，
∴选项B 正确；
∵221.52 2.254 6.25+=+==22.5 6.25=，
∴1.5、2、2.5能作为直角三角形的三边长，
∴选项C 正确；
∵222347+=+==27=， ∴
2能作为直角三角形的三边长，
∴选项D 正确；
故选A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理并进行准确计算是解题的关键．
二、填空题
13．40°【分析】如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD 根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案【详解】解：如图过E 作EF ∥AB 则
AB ∥EF ∥CD ∴∠1＝∠3∠2＝∠4∵∠3+∠4＝180°－9
解析：40°
【分析】
如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案．
【详解】
解：如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠3+∠4＝180°－90°－30°=60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∵∠1＝20°，
∴∠2＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．40º【分析】求出∠CAD=90°根据三角形你的内角和定理求出∠ADC=40°根据平行线的性质得出∠BAD=∠ADC代入求出即可【详解】解：
∵AC⊥AD∴∠CAD=90°∵∠ACD=50°∴∠ADC
解析：40º
【分析】
求出∠CAD=90°，根据三角形你的内角和定理求出∠ADC=40°，根据平行线的性质得出
∠BAD=∠ADC，代入求出即可．
【详解】
解：∵AC⊥AD，
∴∠CAD=90°．
∵∠ACD=50°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=40°．
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、垂直定义和平行线的性质，能根据平行线的性质得出
∠BAD=∠ADC是解此题的关键．
15．385【分析】设安排x人生产螺栓y人生产螺母根据一个螺栓两个螺母构成的配套产品列方程组求解【详解】解：设安排x人生产螺栓y人生产螺母由题意得解得：答：安排275人生产螺栓385人生产螺母故答案是：3
解析：385
【分析】
设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，根据一个螺栓两个螺母构成的配套产品，列方程组求解．
【详解】
解：设安排x 人生产螺栓，y 人生产螺母，
由题意得，66014220x y x y
+⎧⎨⨯⎩＝＝， 解得：275385
x y ⎧⎨⎩＝＝， 答：安排275人生产螺栓，385人生产螺母．
故答案是：385．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
16．-1【分析】根据绝对值和二次根式的非负性求出xy 代入求值即可；【详解】∵∴解得：∴；故答案是-1【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键 解析：-1
【分析】
根据绝对值和二次根式的非负性求出x ，y ，代入求值即可；
【详解】
∵26||0x y --=，
∴260220x y x y --=⎧⎨+-=⎩
， 解得：22x y =⎧⎨=-⎩
， ∴20212021212⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭x y ；
故答案是-1．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键．
17．【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征可得出点的坐标结合正方形的性质可得到点的坐标同理可得的坐标即可得到结果；【详解】当∴点的坐标为∵四边形为正方形∴点的坐标为当时∴的坐标为∵四边形为正方形∴点的 解析：()15,8
【分析】
根据一次函数图象上的点的坐标特征可得出点1A 的坐标，结合正方形的性质可得到点1B 的坐标，同理可得2B 、3B 、4B 的坐标，即可得到结果；
【详解】
当0x =，11y x =+=，
∴点1A 的坐标为0,1，
∵四边形111A B C O 为正方形，
∴点1B 的坐标为()1,1，
当1x =时，12y x =+=，
∴2A 的坐标为1,2，
∵四边形2221A B C C 为正方形，
∴点2B 的坐标为()3,2，
同理可得：点3A 的坐标为()3,4，点3B 的坐标为
()7,4，点4A 的坐标为()7,8，点4B 的坐标为()15,8；
故答案是()
15,8．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质．通过求出B1、B2、B3 的纵坐标得出规律是解决问题的关键． 18．或【分析】本题根据两点在同一平行于轴的直线上确定点N 的纵坐标继而根据两点距离确定点N 的横坐标【详解】由已知得：点N 的纵坐标为设点N 的横坐标为则MN 的距离可表示为∵∴求解得：或故点N 坐标为或故填：或【 解析：(1,2)--或(7,2)-
【分析】
本题根据两点在同一平行于x 轴的直线上确定点N 的纵坐标，继而根据两点距离确定点N 的横坐标．
【详解】
由已知得：点N 的纵坐标为2-，
设点N 的横坐标为x ，则M 、N 的距离可表示为3x -，
∵4MN =， ∴34x -=，
求解得：7x =或1x =-，
故点N 坐标为(1,2)--或(7,2)-．
故填：(1,2)--或(7,2)-．
【点睛】
本题考查点坐标的求法，解题关键在于理清两点之间的位置关系，其次此类型题目通常需要分类讨论，确保结果不重不漏．
19．3（答案不唯一）【分析】根据同类二次根式的概念列式计算即可【详解】
解：∵二次根式与是同类二次根式∴可设则∴解得故答案为：3（答案不唯一）【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念把几个二次根式化为最简二
解析：3（答案不唯一）
【分析】
根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【详解】
解：∵与-
∴=
=
a+=，
∴2612
a=，
解得3
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
20．5【分析】由题意先根据勾股定理求出OB的长再根据梯子的长度不变求出OD的长根据BD=OD-OB即可得出结论【详解】解：∵Rt△OAB中
AB=25mAO=2m∴；同理Rt△OCD中∵CD=25mOC=
解析：5
【分析】
由题意先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得出结论．
【详解】
解：∵Rt△OAB中，AB=2.5m，AO=2m，
∴ 1.5
OB m；
同理，Rt△OCD中，
∵CD=2.5m，OC=2-0.5=1.5m，
∴2
OD m，
∴BD=OD-OB=2-1.5=0.5（m）．
答：梯子底端B向外移了0.5米．
故答案为：0.5．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
三、解答题
21．（1）∠ABE=30°；（2）∠ABE=30°
【分析】
（1）假设CE与AB相交于点G，由题意易得∠DCE=50°，则有∠CGA=∠BGE=130°，然后根据三角形内角和可求解；
（2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，设∠ABF=x，∠DCF=∠FCE=y，则有∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠DCE=2y，根据题意可得∠AMC=180°-2y，∠E=2y-3x，2∠CFB-∠CEB=10°，进而根据三角形内角和及角的和差关系可求解．
【详解】
解：（1）假设CE与AB相交于点G，如图所示：
∵CF平分∠DCE，∠DCF=25°，
∴∠DCE=50°，
∵AB∥DC，
∴∠DCE+∠AGC=180°，
∴∠AGC=130°，
∴∠EGB=∠AGC=130°，
∵∠E=20°，
∴∠ABE=30°；
（2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，如图所示：
设∠ABF=x，∠DCF=y，
∵∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，
∴∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠FCE=y，∠DCE=2y，
∵AB∥DC，
∴∠DCE+∠AMC=180°，
∴∠EMB=∠AMC=180°-2y，
∵∠E+∠EMB+∠ABE=180°，
∴∠E=2y-3x，
∵∠E+∠ENB+∠FBE=180°，
∴∠ENB=180°+x-2y ，
∵∠CFB+∠CNF+∠FCE=180°，
∴∠CFB=y-x ，
∵∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，
∴2∠CFB-∠CEB=10°，
∴()()22310y x y x ---=︒，
解得：10x =︒，
∴∠ABE=30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键．
22．（1）A ：25元；B ：30元；（2）40个
【分析】
（1）设A 和B 的进价分别为x 和y ，购买2个A 种纪念品与5个B 种纪念品共需200元，购买1个A 种纪念品比1个B 种纪念品少花5元．可得到一个二元一次方程组，求解即可；
（2）设商店准备购进A 种纪念品a 件，则购进B 种纪念品（100-a ）件．选择活动一购买
所需的费用:
()712530100102
a a ⨯+⨯-，选择活动二购买所需的费用: 25a +30（100-2a ）050a <≤，根据选择活动一和活动二购买所需的费用相同列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设A 、B 两种纪念品的进价分别为x 元、y 元． 由题意，252005
x y x y +=⎧⎨=-⎩， 解得2530
x y =⎧⎨=⎩， 答：A 、B 两种纪念品的进价分别为25元、30元．
（2）设商店准备购进A 种纪念品a 件，则购进B 种纪念品（100-a ）件．
活动一：“疯狂打折”，A 种纪念品7折，B 种纪念品5折．
由于a ≤（100-a ）即050a <≤，
选择活动一购买所需的费用:
()712530100102
a a ⨯+⨯-， 选择活动二购买所需的费用: 25a +30（100-2a ）， 依题意()712530100102
a a ⨯+⨯-=25a +30（100-2a ）， 35150015253000602
a a a a +-=+-， 37.51500a =，
40a =．
购买A 种纪念品40个时，选择活动一和活动二购买所需的费用相同．
【点睛】
本题考查了列方程解应用题，掌握列解二元一次方程组以及一元一次方程知识抓住购买2个A 种纪念品与5个B 种纪念品共需200元，购买1个A 种纪念品比1个B 种纪念品少花5元．列二元一次方程组．会按两种方案费用列出方程解决问题是关键．
23．（1）()1,3--；（2）见解析；（3）332k -<≤-． 【分析】
（1）由“旋垂点”的定义可直接进行求解；
（2）过点P 分别作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，根据题意易得PD=PE ，∠PMD=∠PNE ，进而可证△PDM ≌△PEN ，然后可得PM=PN ，则问题可求解；
（3）过点T 作TA ⊥x 轴，根据题意易证△APT ≌△OQP ，则有AP=OQ ，进而可得AP=OQ=3，3OP k =-
，然后可得33m k
=--，最后问题可求解． 【详解】
解：（1）如图，过点S 作SA ⊥x 轴，过点P 作PB ⊥x 轴，
由“旋垂点”可得：△SAO ≌△PBO ，
∴OB=OA ，PB=SA ，
∵点()3,1S -，
∴PB=1，OB=3，
∴点()1,3P --，
故答案为()1,3--；
（2）过点P 分别作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，如图所示：
∵OC 平分∠AOB ，
∴PD=PE ，
∵∠AOB=∠MPN=90°，
∴由四边形内角和定理得：∠PMO+∠PNO=180°，
∵∠PMO+∠PMD=180°，
∴∠PMD=∠PNE ，
∵∠PDM=∠PEN=90°，
∴△PDM ≌△PEN （AAS ），
∴PM=PN ，
∴点N 是点M 关于点P 的“旋垂点”；
（3）过点T 作TA ⊥x 轴，如图所示：
∴PQ=PT ，
∵∠APT+∠APQ=90°，∠APQ+∠PQO=90°，
∴∠APT=∠OQP ，
∴△APT ≌△OQP （AAS ），
∴AP=OQ ，
令y=0时，则03kx =+，解得：3x k =-， 当x=0时，则3y =，
∴AP=OQ=3，3OP k =-
， ∴OA=AP-OP=33k +
， ∴33m k
=--， ∵21m -<≤-，0k <， ∴3231k -<--
≤-， 解得：332
k -<≤-． 【点睛】
本题主要考查一次函数与几何综合及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一次函数与几何综合及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析，1(1,1)A -，1(3,2)C --
【分析】
（1）直接利用已知点坐标在坐标系中描出各点得出答案；
（2）画出四边形ABCD 关于y 轴对称的对称点，顺次连接对称点即可得到四边形1111D C B A ，再写出顶点1A ，1C 的坐标即可．
【详解】
解：（1）四边形ABCD 即为所求作的图形．
（2）四边形1111D C B A 即为所求作的图形．此时1(1,1)A -，1(3,2)C --
【点睛】
本题考查了作图中的轴对称变换，熟练掌握对称的作图方法是解题的关键．
25．（1）2；（2）1．
【分析】
（1）先分别对各自进行化简，再合并同类二次根式即可；
（2）利用二次根式的乘除法公式将乘除法全部化到根号下，乘除后开方即可．
【详解】
解：（1）原式2+-=2；
（2）原式
=
=
=1．
【点睛】 本题考查二次根式的乘除法运算和二次根式的加减法运算．（1）中会正确对二次根式化简是解题关键；（2）熟记二次根式的乘除法公式是解题关键．
26．（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C ；（2）
74
；（3）3或6 【分析】
（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC 的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数；
②利用三角形外角的性质推理计算；
（2）设BD=x ，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；
（3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD ，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解．
【详解】
解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C
故答案为：∠2=∠1+2∠C
（2）∵90B ∠=︒，6AB =，8BC =
设BD=x ，则CD=AD=8-x
∴在Rt△ABD中，222
6(8)
x x
+=-，解得：
7
4 x=
∴BD的长为7
4
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=22
AB BC
+=10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE2+CE2=CD2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质及折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分
类讨论思想的应用是解题的关键．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．。