这些年我们一起用过的神题

这些年我们一起用过的“神题”
李闯
在我们的QQ群里，有老师问道：各位专家、数学精英老师们好！请教一个数学问题：人教版五年级上册75页判断题：方程3x-6=12的解是6。

对还是错？出现了两种观点：认为错的老师观点：
这道题在考方程的解的写法，方程的解的写法应该是x=6才对。

方程的解的数学语言表达形式是一等式，而不是一个数。

正确的说法应该是x=6是方程3x-6=12的解，或方程3x-6=12的解是x=6 。

认为对的老师的观点：
什么叫“未知数的值”？就是方程中未知数的大小。

也就是说，方程中的未知数应该是几，方程两边就相等了。

说方程3x-6=12的解（即未知数的值）是6，这样的说法已经把意思说得很明白了，是完全正确的。

说方程3x-6=12的解（即未知数的值）是x=6，只是进一步强调了未知数x是6，与上面的说法没有什么本质区别。

到底对还是错？教科书上是一定要你判断的哦！虽然我本人倾向于判断为错，但是，我们同年级的老师也有倾向于判断为对的啊，一个学校总不能搞出两个答案来吧？跟学生说都可以，那又何必出这个题目呢！
问题一抛出，一石激起千层浪。

高新博才丁丽：这个问题提得很好，分析也很到位。

作为一线教师，常被这样似是而非的问题困扰。

个人觉得，在判断的时候还是应当有一个价值取向。

即，你看中什么？如您所说，我觉得格式表达在数学中尤为重要不能置换，那么就必须写成x=6这样，和学生分析原因也肯定是强调这个；但如果我们强调的是方程值得意义，即方程的解是能使方程左右两边平衡的这么个数，那么，不拘泥与形式也是可以的。

五年级上册对应的《教师用书》并未对此题做任何说明。

如果是我来教学，就会从这两方面都和学生讨论一下，认识到各种观点的合理性。

非要下个结论的话，我会说此题忽略不做。

当老师的，评判某个题好不好、做不做的权利还是应当可以有的！仅表达个人观点，不当之处，敬请大家批评指正！
株洲谭志俐：我以为一是教师数学学科素养的问题，二是应试教育造成。

我三天两头接到类似问题。

虽然有些恼火，但还必须利用全市学科活动的机会分析并给出答案。

这就是现
状。

岳阳高远望：就方程中的这个问题，我觉得现阶段我们说6是方程的解是没有问题的，但不久的未来学习了二元(多元)方程后，这种表述绝对不行。

你不能说“6和4是方程2x+y=14的解”。

只能说“y=6，x=4是方程的解”，反之不行。

教材中出现过二元一次方程的雏形，而且现阶段已经有少数学生见识过标准的二元一次方程了，我们需要让学生意识到这种“数与字母的对应关系”。

我通过实践，也相信课堂教学中老师通过适当举例，能让学生理解“6是方程的解”的说法错误所在，使他们达成共识。

胡重光教授：作为老师，这个问题是不能回避的，特别是这是教材上的一道题目。

我的意见，6就是这个方程的解，按方程的解的定义就应该这样说。

这是规范的标准的说法。

说方程的解是x=6，是一种不规范的口语、习惯用语，在语法和知识方面都是不对的。

但现在大家都这样说，我们也不好说他们错了。

龙山一小蒋经书：方程的解是一个数，而非一个式子，可以这样理解吗
胡重光教授：对，方程的解不是一个式子。

至于方程组的解，二元一次方程组的解是一个数对，例如数对（6,4）是方程2x+y+14的一个解。

岳阳高远望：我的意思是“我们都知道方程的解是一个“值”，用学生的话来说就是“一个数”，但要准确地表达方程的解是多少，需要一个数学的形式。

在一元一次方程中，我们采用了等式的形式，在多元方程中，我们可以采用等式或数对或其他的形式。

”建立了数学的语言系统，才能更方便，更准确地进行交流沟通。

湘潭谭念君：有必要这么纠结吗？一元一次方程，未知数只有一个，我们就说这个方程的解就是6，很好理解。

如果是多元方程，我们就说x=多少，y=多少，Z……
好比照片上只有一个人，我们说此人是高远望，或者高远望，照片上有一些人，才需要说左起第一人是谁，第二人是谁……
新课改以来，在我们一线教学中，突然涌现了许多这样的让老师们模棱两可的题目，
诸如x=6是不是方程？0
5
是不是分数？是直线长还是射线长？等等。

这些题目,老师们称之
为神题，给老师和学生带来了很多麻烦，造成了教与学上的困扰。

今天，我们来会一会这些神题。

违反交通法的数学神题
李湖江
《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第七十八条规定：“高速公路应当标明车道的行驶速度，最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里。

”这意味着汽车如果在普通公路上行驶的话，最高车速限速比每小时120公里还要低。

可是一道小学高年级数学题却想挑战一下这个速度。

这道题是这样的：“一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶165千米，已经行驶了12小时，离乙地还有380千米。

问：甲地到乙地共有多少千米？”
看到这道题的时候，我很是惊讶。

先不说这道题的答案是多少，但我们仔细读读这道题目会发现，题目中的这辆汽车是每小时行驶165千米，这辆普通的汽车能在什么路上开出这个速度来啊？2013年的交通法规定，超速在20%和50%之间的，中型以上客货车、校车、危险品车记12分，其他机动车记6分。

看样子，这辆车的车主触犯了交通法，而且要被罚得很严重。

这样的题目出现在小学数学辅导用书上，不是教小学生学坏，教小学生违法吗？
那么，普通老师应该怎么样处理这道题呢？如果要求学生不要做这道题的话，学生肯定会有疑问：“为什么不做这道题呢？”如果老师不给出一个合理的回答的话，学生会感到很困惑。

但是如果老师无视这道题中存在的问题，只要求学生解答出答案来的话，这显然也是不负责任的一种表现。

所以，老师应该正视这道数学题中所存在的问题，顺便给学生普及一下交通法知识，让学生从小知道机动车超速是违法的，并让他们做一回小小法律知识宣传员，提醒自己的父母要遵守交通法，这何乐而不为呢？（作者单位：江苏省苏州市吴江区坛丘中学）
请根据学生的生活实际出题
李晓飞
湖南的基础训练里有这样一道二年级的数学选择题（配插图：一个女孩打着伞）：
下雨，路（）湿的。

A.一定
B.可能
C.无法确定
本题的设计目的是想让学生结合生活中常见的下雨现象，用“一定”或“可能”描述事件发生的结果，体会其发生的可能性，培养学生初步的概率意识。

对七八岁的孩子而言，路就是露天的，下雨了自然就湿了，不应该有什么异议。

但教师处理此题时，往往会结合自己的理解，从生活中较为复杂的角度，引导孩子判断，诸如究竟什么样的程度才叫做“湿”、是不是所有的“路”都会湿
等，反而使此题的结果无法确定了。

不能否认，现实生活中着实存在特例现象，如果认可，理由多少有些牵强，就会给孩子造成了很大的困惑。

因此，建议教师应该从孩子的实际出发，像这类容易出现“模棱两可”的结果、容易混淆孩子本已泾渭分明的是非观念的题目，要么删去，要么用更能体会概率的其它实际问题代替。

（作者单位：江苏省邳州市古邳中心小学）
应用题的设计不能离现实太远
向利平
“这两天开始看八年级下期的数学教材，在《教材解读》看到一道题，思索一阵后看了一下答案，心中有些不解。

先把题目原版奉上，请大家不吝赐教，详细说出理由哦！！在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一棵大树，这棵树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，则大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？（）A.一定不会B.一定会C.可能会 D.无法确定”
以上是“国培计划（2013）湖南省中小学骨干教师学科远程培训”一名学员在交流平台上提出的一个问题，看了之后有一些很想说的话，于是便有了如下的文字。

关于本题的解答：由题意可知，量得的倒下部分（10米）、从折断处离地部分（6米），以及地面上树根部和顶部间的线段构成直角三角形。

由勾股定理可求得地面上树根部和顶部间的线段的为8米，这个距离小于9米，如果将张大爷的房子抽象为一个点，那么倒下的树就一定不会砸到张大爷的房子。

当然了，张大爷的房子是有一定高度的，最起码有一层，算
它高4米吧，这时树尖距离树根的水平距离就是96米了。

这时如果树垂直往张大爷的房
子上折倒下，就能砸上了。

若树不从张大爷的房子方向砸下来，当然就砸不着了。

所以，为解题而解题来看，选C或D都没问题。

就该问题本身而言，是可以用数学知识说明清楚的。

但左思右想总觉得怪怪的，总觉得相对于现实生活而言过于离谱了些。

你都能量出倒下的部分是10米了，砸到不砸到还要计算吗？看看就行了嘛。

就是一定要量，也不会去量“倒下的部分”了。

不学数学的人肯定不会用这种弱智的办法。

如果将原题稍作改动“在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一棵高16米的大树，现在要将这棵树从离地面6米处砍断，则大树沿张大爷房子方向倒下时会砸到张大爷的房子吗？（） A 、一定不会 B、一定会 C、可能会 D、无法确定”，虽然仍有人为编撰之嫌（为什么要在6米处砍呢？）倒还稍有一点现实意义。

“培养学生用数学的意识和能力”没错，但应用型问题的设计决不能与现实生活离得太远。

类似这样不靠谱的问题，说来说去还是为了机械的
做数学题。

如果这样就是应用，我们只能培养一批不食
不是我的吹毛求疵和无病呻吟，随手翻开学辅资料，
类似的离现实生活太远的“伪应用题”大量存在，甚至
例1图
中考试题也没能避免，这些问题给我们的数学教学带来了很多误导。

现照录几例，以求能引起学辅资料编撰者和中考试题命制者的思考和警醒。

例1 （2013深圳中考题）如图所示，一测量小组发现8米高的旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动。

小刚身高
1.6米，测得其影长为
2.4米，同时测得EG 的长为3米，FH 的长为1实，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH 的距离，即MN 的长）为2米，求小桥所在圆的半径。

现实生活中，有时我们确实需要知道圆弧形小桥所在圆的半径。

为了求得这个半径，在方法的选择上我们当然希望比较简单，于是我们就会考虑测量图中GH 和NM 的长。

实际生活中，我们怎么也不会采用题干所描述的这种舍近求远、舍简求繁的办法。

虽然仅仅是一道数学题，但它所提供的信息与数学所追求的优化、求简是背道而驰的。

例2 （2013山东日照市中考题）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为
3
1；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为52。

（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？
（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）
该题的意图是考查对概率意义的理解和用列举法求概率，在解决问题过程中还需要综合运用解分式方程的知识。

从试题本身的意图看，以实际问题为背景，力求将所学知识进行综合应用，立意本身并不存在什么问题。

但细细看看所提供的情境，就特别感觉物别的别扭了，现实生活中可能有这样的问题吗？这类为情境而情境的人为编撰大可
不必。

例3 （2013四川凉山州中考试题）小亮和小红在公园放风筝，不
小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A 处（如图），为测量此时风筝的
高度，他俩按如下步骤操作：
第一步：小亮在测点D 处用测角仪测得仰角ACE β∠=。

第二步：小红量得测点D 处到树底部B 的水平距离BD a =。

第三步：量出测角仪的高度CD b =。

之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计
请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题。

的长 的长
≈，（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB 1.732
≈，结果保留3个有效数字）。

1.414
例4 （2013湖北省鄂州市中考题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表
示楼体，AB=150米，CD=10米，
∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）
问：
（1）楼高多少米？
（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：
≈1.73，≈1.41，≈2.24）
例4中，命题者力图将统计与解直角三角形的相关知识综合运用到现实生活，但就没能思考一下，所呈现的方案离现实到底有多远。

就是要测量风筝位置的高度，也不应该是这样做的吧。

例5中，命题者本想通过测量建筑物的高度来考查“解直角三角形”知识，但现实中题中所提供的测量方式并不是好办法，量量图中的AB不就行了吗？类似的人为编撰、舍简求繁、毫无现实意义的问题在“解直角三角形”应用中尤为突出，恕不一一赘述。

利用所学知识解决实际问题是培养学生用数学的意识和能力的好办法。

应用型问题需要进行一些人为的编撰和设计，设计“应用型”问题也需要将现实问题进行理想化的抽象，“应用型”问题不一定完全是生活中实实在在的问题，但是它不能偏离我们的生活太远，不能太离谱。

为了数学而应用，只会培养出“书呆子”，要不得。

（作者单位：长沙市岳麓区教研室）
关于最小的一位数是几的一段讨论
张新春
这是老师们经常讨论的问题。

讨论过程中形成的一些观点还很有意思。

比如:
观点一：没有把0划归为自然数时，我们都说最小的一位数是1，现在0被规定为自然数了，最小的一位数就应该是0.
观点二：0肯定不是一位数，如果0是一位数，那00不就是两位数了？
老实说，学生讨论这个问题，对提高其数学素养没有太多帮助。

教师讨论这个问题，对提高教学水平没有太多帮助，但却有利于我们进一步认识数学及其讨论问题的方式。

于是我参与了一个讨论。

以下是这段讨论:
教师A:
请问：最小的一位数是1还是0？众老师均说是1，为什么呢？
笔者：
0肯定比1小，若最小的一位数不是0而是1，肯定就是因为0不是一位数。

基本概念要清楚，要判断最小的一位数是几，“位数”的概念就是原则重要的。

哪位老师给“位数”下一个定义？比如，我约定，记一个自然数，用了几个字符，就称这个数为几位数。

可不可以？如果可以，记0这个自然数，只用了一个字符，那它就是一位数了。

或者这个定义不行，可以有另外的定义？
教师B:
一个自然数数位的个数,叫做位数.含有一个数位的数是一位数,含有两个数位的数是两位数.......最大的一位数是9,最小的一位数是1，最大的两位数是
99,最小的两位数是10.
笔 者：
位数是自然数位的个数。

这意味着两件事：1、数位只在自然数范围内讨论；
2、位数是用数位定义的。

我们不得不追问问：数位是什么？
教师B:
不同计数单位，按照一定顺序排列，它们所占位置叫做数位．在整数中的数位是从右往左，逐渐变大：第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是万位，第六位是十万位，第七位是百万位，第八位是千万位，以此类推．同一个数字，由于所在数位不同，计数单位不同，所表示数值也就不同。

笔 者：
为了说明数位，又来了个“计数单位”，它又是什么呢？
教师B:
我们常用的是十进制计数法，计数单位是：一（个）、十、百、千、万、十万……，每相邻的两个计数单位之间的进率都是十．像 ： 一（个）、十、百、千、万、十万……等，叫做数的计数单位。

笔 者：
非常好，终于讲到了进制！也就是说，位数与数位相关，数位与计数单位有关，计数单位与数的进制有关。

于是，几位数，就是一个数在某种进制下的形式特征。

比如通常一个人的右手有几个手指啊。

若用十进制，记为5，铁定是一位数。

若用二进制，则记作101，变成了三位数。

于是，我们可以再回得我们最初的问题，最小的一位数是几？我们通常是问：在十进制下，最小的一位数是几。

说这些，是想让大家明白，数学问题是在一定条件下讨论的，一个数学问题的答案，只是在一定的条件下才是确定的。

我们来考察十进制记法，十进位值制记数法就是以10为基（base ）的位值制记数法。

现在，我们用通用的阿拉伯数码0、1、2、3、4、5、6、7、8、9来表示前几个自然数。

一个大的自然数，比如“四千五百七十八”可以表法为
3240005007084105107108+++=⨯+⨯+⨯+
的形式，在十进位制记数法中，这个数就用“4578”表示。

一般的，就整数而言，十进位值制即通过“逢十进一”，把一个正整数从右到左分成个位、十位、百位、千位等，每个数位上的计数单位分别为一、十、百、
千……，即依次为012310,10,10,10十进位值制表示一个数的通用方式为：
11011010101010k k k k N a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯
其中，{}012,,,0,1,2,3,4,5,6,7,8,90.k k a a a a a ∈≠且这种形式的N 可简记为1210k k k a a a a a --，若对每个a 都指定了具体的数，则上述记号中的横线省略不写。

规定最高位不能为0是为了保证这种表示方式的唯一性。

显然，如果最高位可以是0，25就可以写成“025”或“0025”，数的表示方式就不唯一了。

在这种表示法之下，我们也称N 为k+1位数。

这带来一个问题：若严格按计数法的“最高位不能为0”的规定，则没办法
记零这个数。

于是，对0又网开一面——0就这么记吧。

数学上也经常这样做。

这个时候就有一个问题了，几位数是由进制下的记数法规定的，而0是这个记数法的“化外之民”，根本不吃这一套。

于是，按正常程序，根本没法确定0它是几位数。

这时数学上经常会单独规定，这种规定看起来是自由的，但也要有其合理性，不能随意。

比如，我们不妨规定0是一位数，但不好规定0是五位数。

也许一个数是几位数这件事，不是很重要，因此，据我所知，没人为这件事操心（除了我们小学数学老师），也就没人做这个规定了。

其实，若规定0是一位数，还会坏一些好事：
比如，当不规定0是一位数时，在十进制下，
一位数：9个
二位数：90个
三位数：900个
四位数：9000个
……
多漂亮的结果。

但要规定0的一位数，就破坏了。

要是可以由我来规定，我也坚决不规定0是一位数。

再一次建议大家，要学会思考问题，还要学会作价值判断：讨论什么问题更有价值？如何讨论更有价值？
（作者单位：长沙市教科院）。