《正弦函数y=sinx的图像》教学反思

《正弦函数y ＝sinx 的图像》教学反思
◆概述
本节课为北师大版高中数学必修（4）第5章§5“正弦、余弦函数的图象和性质”的第一节§5.1“正弦函数的图象”。

所需课时为2课时。

三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。

引进弧度制以后，f （x ）＝sinx 就可以看作是定义域为R 的实变量函数，我们首先关注起图像特征，本节课就来学习正弦函数y ＝sinx 的图像的做法。

在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

◆教学重点：
1、 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像；
2、用“五点（画图）法”作正弦函数的图像及其形状特征
◆教学难点：
1、 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像的作法
2、用“五点（画图）法”作正弦函数的图像及确定五个关键点。

◆教学目标
（一）、教学知识点：
1、正弦函数线
2、利用单位圆中的三角函数正弦线作出正弦函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图像，明确R x x y ∈=,sin 的图像的形状；
3、用“五点（画图）法”作出正弦函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图像.
（二）、能力训练点：
1、培养学生观察能力、分析能力和归纳能力；
2、培养学生数形结合和化归转化的数学思想方法；
3、培养学生数学表达和交流的能力。

（三）、德育渗透点：
1、通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。

2、通过作正弦函数图像，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和合作精神；
3、使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。

◆学习者特征分析：
本节课的教学对象是开平市第一中学高一学生。

高中数学比初中数学更加抽象
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．
2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．
◆教学策略选择与设计：
学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官，做到＂细观察、多动手、勤思考＂．通过观察、猜想、探究、推理、模仿、体验等方法完成本节知识的学习。

本节课采用“问题导学，自主探索” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法等，使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。

在教法上要注意：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．
2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．
4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．
◆教学资源与工具设计
供教师使用的资源：自制ppt 课件；
供学生使用的资源：课本，印好的拓展阅读资料。

采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性
◆授课类型：新授课
◆教学模式：启发、演示、讨论发现教学. ◆教学过程
（一）、【创设情境】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。

引进弧度制以后，f （x ）＝sinx 就可以看作是定义域为R 的实变量函数，我们首先关注起图像特征，本节课就来学习正弦函数y ＝sinx 的图像的做法。

在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

（二）、【复习引入】
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）， P 与原点的距离r(
222
2>+=+=
y x y x r )
则比值r y
叫做α的正弦 记作：
r y =
αsin （三）【探究新知】
一、正弦函数线
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示， 角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），提出问题： ①线段MP 的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计一种方法加以解决?
引出有向线段的概念：
注意：坐标轴是规定了方向的直线（有向线段），那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足221x y +=时，有三角函数正弦的几何表示——正弦线。

正弦线的定义：
设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，
则有MP r y
==
αsin ，有向线段MP 叫做角α的正弦线
o
x
y
M
P （Ⅳ）
M
o
x
y P
（Ⅱ）
x
y
o
M
P
（Ⅰ）
x y
o
M
P
（Ⅲ）
x
y
O r
y)
(x,α
P
由四个图看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段MP=y ，于是有sin 1y y
y MP r α=
===，
我们就称有向线段MP 为正弦线。

教学点睛：
①正弦线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段； ②正弦线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；MP 是带有方向的线段．MP 是从M →P ，而PM 则是从P →M 。

③正弦线的正负：凡与y 轴同向的为正值，与y 轴反向的为负值。

不论哪种情况，都有MP ＝y ④正弦线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

注意：当α终边在x 轴上时，正弦线变为一个点，即 sin α＝0。

提出问题：正弦线的意义？
答：正弦线是与单位圆有关的平行于y
轴的有向线段，它是正弦函数的几何表示， 把三角问题转化
为几何问题 ，初步建立数与形的结合。

二、正弦函数的图像作法 1、代数描点法
提出问题：请同学们回忆初中作函数图像的方法步骤是怎样的？
答：作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。

这种画法叫代数描点法。

(从学生已有的认知出发，引导学生通过画图，获得正弦函数图像的感性认识，也便于与几何法作比较，还可为后面的“五点法”作图设下铺垫。

)(课件演示)
但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于表中部分值只能取近似值，再加上描点时的误差，不易描出对应点的精确位置，所以画出的图像误差大。

因此作出的图像不够准确．我们就来学习利用三角函数线作三角函数y ＝sinx 的图像
2、几何画法
在直角坐标系中作点（x ，sinx ）（教师边启发，边与同学们共同分析。

从一个特殊点出发，由特殊到一般，符合认知规律，分散了难点。

）
提出问题：如何用几何方法在直角坐标系中作点C （3sin
,3ππ
）呢？课件演示作出点（3sin
,3
π
π
），
为作正弦函数图像作铺垫。

提出问题：能否借助上面作C （
3
sin
,3
π
π
）的方法在直角坐标系中作三角函数y ＝sinx x [0,2]
的图像?（提出问题，让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求。

）
正弦函数y=sinx x [0,2]的图像的几何作图的步骤 (课件演示)
（用动态形式演示正弦函数图像的的几何作法，形像生动。

）
①作直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴的左侧画单位圆。

②在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从单位圆与x 轴的交点A 点起把圆分
成n(这里n=12)等份.（当然分得越细，图像越精确），十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π,…2等角，并作出相应的正弦线（等价于“列表” ）
③找横坐标：把x 轴上从0到2π（2π=6.28）这一段分成12等份。

（预备：三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，
否则所作曲线的形状各不相同）
④找纵坐标：把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，从而得到12条正弦线的12个终点。

则正弦线的终点就是正弦函数图像上的点（等价于“描点” ）.
⑤连线：用平滑的曲线将12个正弦线的终点,依次从左至右连接起来，就得到正弦函数y=sinx x ∈[0,2π]的图像。

提出问题：比较函数y=sinx x ∈[0,2 π]与函数y=sinx x ∈R 有什么不同。

根据终边相同的同名三角函数值相等知 y=sinx x [2k ，2(k+1)] （k Z ，k 0）
与函数y=sinx x [0,2]图像相同，把上述图像沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图像. 正弦函数y=sinx 的图像做正弦曲线．
(课件演示) （动态形像地展示正弦曲线的形成过程，直观易掌握。

）
三、五点作图法
可以看出几何作法作三角函数图像是比较精确的，我们称之为：几何法。

虽然几何法作图精确，但过程比较繁，太麻烦，不容易操作。

有没有简单点的方法作三角函数的图像呢？
请同学们观察上图。

（通过对图像的再认识，培养学生观察、发现、归纳的能力，体现认识的循序渐进、逐步深化的过程。

让学生“每一次认识都有新发现” 。

通过学生的归纳，培养学生数学表达和交流的能力。

）
提出问题：我们在作正弦函数y=sinx x ∈[0,2π]的图像时，描出了12个点，但它上面哪几个点对函数图像的确定起关键作用？为什么？（基本确定图像的形状）分别说出它们的坐标。

由上图我们不难发现，在函数y=sinx ，x [0,2]的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点：
(0,0) (2π
,1) (,0) (23π,-1) (2
,0)。

描出这五个点后，函数y=sinx ，x [0,2]的图
像的形状就基本上确定了。

因此，在精确度要求不太高时（画草图），我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。

我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。

五点作图法步骤：（课件演示“五点作图法”作正弦函数y=sinx x ∈[0,2π]的图像）
(1) 列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
我们一般可采用这种方法来画三角函数图像帮助我们分析。

优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以, 要求熟练掌握．
（四）、【典例剖析】
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。

x
y o
（1）y ＝－sinx （2）y ＝1＋sinx
（2）列表
描点得y ＝1＋sinx 的图像：（略，见教材P24）
（五）、【巩固练习】
教材P24练习
◆教学流程图
◆思悟小结
1、 正弦函数线
2、正弦曲线的作法：
（1）代数描点法（误差大）
（2）几何描点法（精确但步骤繁） （3）五点法（重点掌握）
五点作图法步骤：(1) 列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) 要牢记五个关键点的横坐标：0 2
π
π 23π 2π
3、正弦函数y=sinx, x ∈R 的图像
◆课后探究
一、作业：
1、P29： B 组1 、2
2、用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。

(1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x. （4） y=2sinx-1，x ∈[0,2π]
3、作函数 y = sin2x x∈[0,π]的简图
4、方程
x
x lg
sin 的x的解有多少个？
二、学生自主学习正弦函数的性质
请同学们根据正弦函数y=sinx的图像，思考以下问题：
（1）正弦函数y=sinx定义域是什么？
（2）正弦函数y=sinx值域是什么？
（3）正弦函数y=sinx最大值，最小值是什么？
（4）正弦函数y=sinx单调区间是什么？
◆教学反馈（及时对教学内容、教学方法、教学效果进行总结，有利于提高教师自身的教学水平。

）
1、由于本节课的重点难点都是围绕着正弦函数图像的画法展开的，因此学生对正弦函数图像的认识和理解程度在本节课中起着非常重要的作用。

为了突破难点，本节课教学过程中配以多媒体动画演示，让学生有一种直观的认识。

图文并茂，简洁明快，充分调动学生的各个感官，使学生学的生动，学的有趣，增大课堂容量，提高课堂效率。

2、本节课的整体思路是：问题——探索——再探索——运用——反思。

在教学过程中，要以学生的发展为本，努力为学生创造自主学习的空间，营造合作学习的氛围，激励学生不断探索，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

在学生探索过程中，既要关注对学生数学学习水平的评价，更要关注对他们在探索过程中所表现出来的情感和态度的评价，帮助学生认识自我，建立信心。