上海海滨第二中学必修一第二单元《函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2
，则函数(13)f x -的定义域是（ ） A ．21(,)33
-
B ．11(,)63
-
C ．(0,3)
D ．7(,1)2
-
2．如果函数()()()2
121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则
32a b +的最大值为（ ）
A ．4
B ．1-
C ．
23
D ．6 3．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与
2(22)f a a ++的大小关系是（ ）
A ． 2(1)(22)f f a a ->++
B ．2(1)(22)f f a a -<++
C ．2(1)(22)f f a a -≥++
D ． 2(1)(22)f f a a -≤++
4．若函数()()21225,012,1b
b x f x x x b x x -⎧-+<<⎪
=⎨⎪+-≥⎩
对于任意的实数12x x ≠，都有
()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数b 的取值范围为（ ）
A ．1,42
⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．[)4,+∞
C ．[]1,4
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
5．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞
B ．(,0]-∞
C ．(,0][2,)-∞+∞
D ．[2,)+∞
6．已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡
⎤+=⎢⎥+⎣
⎦成立，则()2020f 的值是（ ） A ．2020
2
1- B ．2020
2
1+
C ．2020202021
21
+-
D ．202020202121
-+
7．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-
B ．7-
C ．5
D ．7
8．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，2
2
()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)
1
,4
⎡+∞⎢⎣
B ．)
1
,2
⎡+∞⎢⎣
C ．(
10,4⎤
⎥⎦
D ．(
10,2⎤
⎥⎦
9．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11
x -≤≤
时，()131
31
x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）
A ．()2018f
B ．()2019f
C ．()2020f
D ．()2021f
10．函数f (x )=x 2+
2
ln||
2x x 的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
11．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)
B ．[]
3,1-
C ．(1,3)-
D ．(2,2)-
12．已知函数()11
3sin 22
f x x x ⎛⎫=+-
+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036
D ．4038
二、填空题
13．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()1
g x x =
-______． 14．函数22
242
1
x x y x ++=+的值域为_________. 15．已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =+，当[)2,0x ∈-时，
()(2)f x f x =-+，求()f x =___________
16．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．
17．已知函数()2
(1)m
f x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数
m =________.
18．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()211
f x
g x x +=-的定义域 ___________
19．函数()()122x x f x x N +⎡⎤⎡⎤
=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
的值域为_______（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）
20．设2(),0
()1
,0
x a x f x x a x x ⎧-≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若(0)f 是()f x 的最小值，是a 的取值范围为________________．
三、解答题
21．已知函数()22m
f x x x
=
-． （1）当1m =时，判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义法加以证明． （2）已知二次函数()g x 满足()()2446g x g x x =++，()13g =-．若不等式
()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围．
22．（1）已知()()4
3f x x a =-+时，当实数a 为何值时，()f x 是偶函数？
（2）已知()g x 是偶函数，且()g x 在[)0,+∞是增函数，如果当[]
1,2x ∈时()()6g x a g x +≤-恒成立，求实数a 的取值范围.
23．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.
（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ； 24．已知函数()2
22f x x ax =++，[]5,5x ∈-．
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值．
25．
已知函数1f x x +=+ （1）求函数()f x 的解析式、定义域；
（2）函数()()g x f x ax =-，[]
2,4x ∈，求函数()g x 的最小值.
26．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①对任意的(),0,x y ∈+∞，都有
()()()f xy f x f y =+；②当且仅当1x >时，()0f x <成立.
（1）求()1f ；
（2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较1x ，2x 的大小关系，并说明理由； （3）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式(
)()2233
3
310x
x
x
x f f m --⎡⎤+≤+-⎣⎦恒成立，求实数
m 的取值范围.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】
函数(2)f x 的定义域为3
(0,)2，则3
02
x <<
，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133
x -<< 函数(13)f x -的定义域为21
(,)33
- 故选:A 【点睛】
对于抽象函数定义域的求解方法：
(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()
f g x 的定义域由不等式
()a g x b ≤≤求出；
(2)若已知函数()()
f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．
2．C
解析：C 【分析】
分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得
32a b +的最大值. 【详解】
分以下几种情况讨论：
（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得
20b +<，
解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；
（2）当10a -<时，即当1a <时，
由于函数()()()2
121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()
2
121b a +-
≤-，
可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，
当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当23
43a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-
+⨯= ⎪
⎝⎭
； （3）当10a ->时，即当1a >时，
由于函数()()()2
121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()
2
221b a +-
≥-，可得
42a b +≤，即24b a ≤-，
2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.
综上所述，32a b +的最大值为23
. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.
3．C
解析：C 【分析】
由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2
(22)f a a ++的大小即可，而22
22(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与
2(22)f a a ++大小关系.
【详解】
因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，
又22
22(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，
所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2
(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要
比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．
4．C
解析：C 【分析】
根据函数单调性的定义判断出函数()f x 为()0,∞+上的增函数，进而可得出关于实数b 的不等式组，由此可解得实数b 的取值范围. 【详解】
对任意的正实数1x 、2x ，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 不妨设12x x >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，
则()()
120212
122512b b b b b -<⎧⎪-⎪
≤⎨⎪--+≤+-⎪⎩，解得14b ≤≤. 因此，实数b 的取值范围是[]1,4. 故选：C. 【点睛】
思路点睛：利用分段函数的单调性求参数范围，应该各支函数在各自的区间内利用单调性以及函数在间断点处端点值的大小关系得出参数的不等式组，从而解得参数的取值范围.
5．C
解析：C 【分析】
由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】
当0b =时，()2
f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,f
f x ∈+∞，符合题意；
当0b <时，2
2()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，
令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min
,t t
∈+∞，显然能取到相同的最小值，
符合；
当0b >时，对称轴为b x 02
=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，
2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭
，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b
-≤-，解得
[2,)b ∈+∞
综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞） 故选：C. 【点睛】
本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.
6．D
解析：D 【分析】
采用换元法可构造方程()21
213
t
f t t =-=+，进而求得()f x 解析式，代入2020x =即可得到结果. 【详解】
由()f x 是R 上的单调函数，可设()221x f x t +=+，则()1
3
f t =恒成立， 由()221x f x t +
=+得：()221x f x t =-+，()21
213
t f t t ∴=-=+，解得：1t =， ()22112121x x x
f x -∴=-=++，()2020202021
202021
f -∴=+. 故选：D . 【点睛】
本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够采用换元的方式，利用抽象函数关系式求解得到函数的解析式.
7．A
解析：A
【解析】
()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，
()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 8．C
解析：C 【分析】
由于22
()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数
画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】
由题得， 当0x ≥时，2
2
()f x x a a =--，故写成分段函数
222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得2
22
,0()2,x x a f x x a x a
⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：
又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则
222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104
a <≤
. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.
9．D
解析：D 【分析】
利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、
()2020f 、()2021f 中最小值.
【详解】
(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，
()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．
又
)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，
()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．
(2)(2)0f x f x --+-=，
(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，
(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故
(2021)f 最小．
故选：D 【点睛】
本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+
2ln||2()x x --=x 2+2
ln||
2x x
=f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选
项一一排除.
11．B
解析：B 【详解】
由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当
时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．
综上()0f x <的解集[2,2]-，
所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤． 故选：B ．
12．A
解析：A 【分析】
根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】
()11
113sin 22
f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，
令122018201920192019S f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A . 【点睛】
本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.
二、填空题
13．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义
解析：31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()
g x =. 【详解】
由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤， 则函数()
g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得3
12x <≤， 即函数()
g x =
31,2⎛⎤
⎥⎝⎦
. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
求抽象函数定义域的方法：
已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式
()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；
已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数
()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.
14．【分析】将函数变形为关于的方程分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围从而值域可求【详解】因为所以所以当即时此时；当即时此时所以综上可知：所以的值域为故答案为：【点睛】易错点睛：利用判别式法求 解析：[]0,4
【分析】
将函数变形为关于x 的方程，分析二次项的系数并结合∆与0的关系求解出y 的取值范围，从而值域可求. 【详解】
因为22
2421
x x y x ++=+，所以22
2+42yx y x x +=+，所以()22420y x x y -++-=， 当20y -=，即2y =时，此时0x =；
当20y -≠，即2y ≠时，此时()2
16420y ∆=--≥，所以[)
(]0,22,4y ∈，
综上可知：[]0,4y ∈，所以22
242
1
x x y x ++=+的值域为[]0,4， 故答案为：[]0,4. 【点睛】
易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项： （1）原函数中分子分母不能约分； （2）原函数的定义域为实数集R .
15．【分析】当时可得可求出结合可求出时的表达式进而可得出答案【详解】当时；当时所以则所以故答案为：【点睛】本题考查分段函数解析式的求法考查学生的推理能力属于中档题
解析：1,02
3,20x x x x +≤≤⎧⎨
---≤<⎩
【分析】
当[)2,0x ∈-时，可得[)20,2x +∈，可求出(2)3f x x +=+，结合
()(2)f x f x =-+，可求出[)2,0x ∈-时，()f x 的表达式，进而可得出答案.
【详解】
当[]0,2x ∈时，()1f x x =+；
当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，所以(2)3f x x +=+，
则()(2)3f x f x x =-+=--. 所以1,02
()3,20
x x f x x x +≤≤⎧=⎨
---≤<⎩.
故答案为：1,02
3,20
x x x x +≤≤⎧⎨
---≤<⎩. 【点睛】
本题考查分段函数解析式的求法，考查学生的推理能力，属于中档题.
16．【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到f （2-x ）+2f （x ）=2-x②这样①②联立即可解出f （x ）【详解】由题意因为f （x ）+2f （2-x ）=x①；∴f （2-x ）+2f （x ） 解析：()4f x x 3
=
- 【分析】
用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到，f （2-x ）+2f （x ）=2-x②，这样①②联立即可解出f （x ）． 【详解】
由题意，因为f （x ）+2f （2-x ）=x①； ∴f （2-x ）+2f （x ）=2-x②； ①②联立解得()4
3
f x x =-. 故答案为()4
3
f x x =-． 【点睛】
本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中根据题意，联立方程组求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
17．2【分析】由函数是幂函数求得或结合幂函数的性质即可求解【详解】由题意函数是幂函数可得即解得或当时函数此时在上单调递增符合题意；当时函数此时在上单调递减不符合题意故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数
解析：2 【分析】
由函数()2
(1)m
f x m m x =--是幂函数，求得2m =或1m =-，结合幂函数的性质，即
可求解. 【详解】
由题意，函数()2
(1)m
f x m m x =--是幂函数，
可得211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-，
当2m =时，函数()2
f x x =，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意；
当1m =-时，函数()1
f x x -=，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，
故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义及图像与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的定义，结合幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键，着重考查运算能力.
18．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-
【分析】
由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域． 【详解】
函数()y f x =的定义域[1-，3]，
∴函数(21)
()1
f x
g x x +=
-应满足： 1213
10x x -≤+≤⎧⎨
-≠⎩
解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.
故答案为：[1,1)-． 【点睛】
本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．
19．【分析】由题设中的定义可对分区间讨论设表示整数综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设表示整数①当时此时恒有②当时此时恒有③当时此时恒有④当时此时此时恒有综上可知故答案为：【点睛】此题是新定义一个 解析：{}0,1
【分析】
由题设中的定义，可对x 分区间讨论，设m 表示整数，综合此四类即可得到函数的值域 【详解】
解：设m 表示整数．
①当2x m =时，1[0.5]2x m m +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，[]2x m m ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
． ∴此时恒有0y =．
②当21x m =+时，1[1]12x m m +⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，[0.5]2x m m ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦
． ∴此时恒有1y =．
③当221m x m <<+时， 21122m x m +<+<+
0.52
x
m m ∴<
<+ 1
0.512
x m m ++<
<+ 2x m ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦，12x m +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∴此时恒有0y =
④当2122m x m +<<+时， 22123m x m +<+<+ 0.512
x
m m ∴+<
<+ 1
1 1.52
x m m ++<
<+ ∴此时2x m ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，112x m +⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦ ∴此时恒有1y =．
综上可知，{}0,1y ∈． 故答案为：{}0,1． 【点睛】
此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[]x 表示数x 的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想
20．【分析】利用定义可知在上递减在上递增所以当时取得最小值为再根据是的最小值可知且解得结果即可得解【详解】当时任设则当时所以所以当时所以所以所以在上递减在上递增所以当时取得最小值为又因为是的最小值所以且 解析：02a ≤≤
【分析】
利用定义可知1
()f x x a x
=+
+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1
()f x x a x
=+
+取得最小值为2a +，再根据(0)f 是()f x 的最小值，可知0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得结果即可得解.
【详解】
当0x >时，1
()f x x a x
=+
+，
任设120x x <<，则121212
11()()f x f x x a x a x x -=++---12121
()(1)x x x x =--， 当120x x <<1<时，120x x -<，12110x x -
<，所以1212
1
()(1)0x x x x -->，所以12()()f x f x >，
当121x x <<时，120x x -<，12110x x -
>，所以1212
1()(1)0x x x x --<，所以12()()f x f x <，
所以1
()f x x a x
=+
+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以当1x =时，1
()f x x a x
=+
+取得最小值为2a +， 又因为(0)f 是()f x 的最小值，所以0a ≥且2
(0)2a a -≤+，解得02a ≤≤.
故答案为：02a ≤≤. 【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的单调性，考查了根据函数的最值点求参数的取值范围，考查了分段函数的性质，属于中档题.
三、解答题
21．（1）减函数，证明见解析；（2）1m <-． 【分析】
（1）()2
1
2f x x x
=
-在区间()0+∞，上为减函数，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（2）设()()2
0g x ax bx c a =++≠，由题意可得关于,,a b c 的方程，解得,,a b c 的值，可得
222m
x x
->
，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围. 【详解】 （1）当1m =时，()2
1
2f x x x
=-，函数()f x 是区间()0+∞，上的减函数， 证明如下：
设1x ，2x 是区间()0+∞，
上的任意两个实数，且12x x <， 则()()12122212
1122f x f x x x x x -=
--+ ()()2
2
212121212222121222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+=+-=-+ ⎪⎝⎭
．
∵120x x <<，∴210x x ->，210x x +>，22
120x x >，
∴()()120f x f x ->，()()12f x f x >， ∴函数()f x 是区间()0,∞+上的减函数．
（2）设()()2
0g x ax bx c a =++≠，
则()2
242g x ax bx c =++，
()()244644446g x x ax b x c ++=++++．
又∵()()2446g x g x x =++， ∴442,
46,b b c c +=⎧⎨
+=⎩
∴2b =-，2c =-，
又∵()13g a b c =++=-，∴1a =，∴()2
22g x x x =--．
∵()()g x f x >，∴2
2
2m x x
->
，∴()42
20m x x x <-≠， 又∵()
2
422211x x x -=--，∴1m <-．
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：
（1）先判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，再用定义证明，在证明的过程中，注意其步骤要求；
（2）先用待定系数法求得函数()g x 的解析式，将恒成立问题转化为最值来处理，求得结果.
22．（1）0a =；（2）62a -≤≤. 【分析】
（1）当0a =时，由()4
3f x x =+判断，当0a ≠时，由()(),f a f a -的关系判断；
（2）根据()g x 是偶函数，将()()6g x a g x +≤-，转化为 ()()
6g x a g x +≤-，再根据()g x 在[)0,+∞是增函数，转化为[]
1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立求解. 【详解】
（1）当0a =时，()4
3f x x =+是偶函数，
当0a ≠时，a a ≠-，而()()()4
20f a f a a --=≠，()f x 不可能是偶函数，
所以当0a =时，()f x 是偶函数；
（2）由()g x 是偶函数知()()
g x a g x a +=+，()()
66g x g x -=-，且x a +，
60x -≥，
因为()g x 在[)0,+∞是增函数，及()()6g x a g x +≤-，
所以当[]
1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立， 即当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立，
即当[]1,2x ∈时，66x x a x -≤+≤-恒成立， 即当[]1,2x ∈时，662a x -≤≤-恒成立，
所以62a -≤≤. 【点睛】
方法点睛：函数奇偶性与单调性求参数问题，当涉及到偶函数时，要利用
()()()f x f x f x -==转化为求解.
23．（1）[4,)-+∞；（2）226,
27
(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪
+-⎪=-
-<<⎨⎪
-≥⎪⎩
. 【分析】
（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得1
22
m -≤，计算即可. （2）分类讨论112m -≤-，1112m -<-<，1
12
m -≥，分别计算即可. 【详解】
（1）由题可知，函数2
()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上，
对称轴的方程为2
m
x =-，若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增， 则满足1
22
m -
≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞. （2）①当1
12
m -
≤-即2m ≥时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增，
所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-； ②当1
112
m -<-
<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--
⎢⎥⎣
⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫
=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当1
12
m -
≥即2m ≤-时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减，
所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-，
综上可得，函数的最小值为226,
27
(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪
+-⎪=-
-<<⎨⎪
-≥⎪⎩
. 【点睛】
结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 24．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(]
[),55,-∞-+∞；（3）
()22710,5
2,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪
=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【分析】
（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值； （2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；
（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出
()g a 的最大值.
【详解】
（1）当1a =-时，()()2
22211f x x x x =-+=-+.
所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数， 当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==，
()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；
（2）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.
①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥； ②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(]
[),55,-∞-+∞；
（3）二次函数()2
22f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数， 则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-；
②当55a -<-<时，即当55a -<<时，
函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(],5a -上为增函数， 则()()2
2g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；
③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数，
则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.
综上所述，()2
2710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
，()max 2g a =.
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
25．（1）22f x
x ，[)2,x ∈+∞；（2）()2min
22,42,484144,8
a a a
g x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】
（1）利用换元法，求函数的解析式，并利用基本不等式求函数的定义域；（2）由（1）可知()2
2g x x ax =--，[]
2,4x ∈，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.
【详解】
解：（1）由题0x >
，令t =，则2t ≥ ∴()2
2f t t =-
∴22f x
x ，[)2,x ∈+∞
（2）()2
2g x x ax =--，[]
2,4x ∈ 当4a ≤时，()()min 222g x g a ==-
当48a <<时，2
min
224a a g ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭ 当8a ≥时，()()min 4144g x g a ==-
综上所述：()2min
22,42,484144,8
a a a
g x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩ 【点睛】
易错点点睛：本题第一问考查已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦，求()y f x =的解析式，容易忽略函数的定义域，即求函数()g x 的值域；本题第二问求函数的最值，不能直接就是顶点纵坐标，需讨论定义域和对称轴的关系，分情况求函数的最小值.
26．（1）()10f =；（2）12x x >，理由见解析；（3
）5m <≤ 【分析】
（1）令1x y ==，代入可得(1)f ；
（2）记12x kx =，代入已知等式，由12()()f x f x <可得()0f k <，从而有1k >，得结论12x x >；
（3）根据函数的性质，不等式变形为()2233
33100x
x
x x m --+≥+->恒成立，然后设
33x x t -=+后转化为一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再转化为求函数的最值，
可求得参数范围． 【详解】
（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =.
（2）12x x >，理由如下：记12x kx =，则()()()122()f x f kx f k f x ==+， 由()()12f x f x <可得：()0f k <，则1k >，故12x x >. （3）由（2）得()2233
33100x x
x x m --+≥+->恒成立，
令10332,
3x x
t -⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦
，则222332x x t -+=-， 原不等式可化为：22100t mt -≥->，
由2
210t mt -≥-恒成立可得：min 8m t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭
，8t t +≥=8
t t
=
，即t =
时等号成立，所以m ≤. 由100mt ->恒成立可得：max 10m t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则2t =时，max 105t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是5m >.
综上：实数m
的取值范围是5m <≤. 【点睛】
方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，考查不等式恒成立问题，在解决不等式恒成立
时，利用已求得的结论（函数的单调性），把问题进行转化，再用换元法转化为一元二次不等式和一元一次不等式恒成立，然后又由分离参数法转化为求函数的最值．。