四川省泸县四中2020届高三下学期第一次在线月考数学(文)试题 Word版含答案

2020年春四川省泸县四中高三第一学月考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂= A ．φ B ．{|42}x x -<≤ C ．{ |4<<3}x x -
D ．{|12}x x -<≤
2．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数 1
1-i
的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．函数x x x f ππsin 2cos 2)(-=的最小正周期为 A ．2
B ．π2
C ．2
D ．π2
4．函数
的图像是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知数列{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 单调递增”的 A ．充分条件 B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
6．已知tan 3α=，0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则()sin2cos απα+-的值为
A 610
- B 610
+ C 510
-D 510
+ 7．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31
(log )2
b f =，(3)
c f ln =，则a ，b ，c 的大小关
系为 A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
8．若实数x ，y 满足10200x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，且27(3)x y c x +-≥-恒成立，则c 的取值范围是
A ．(3
]5,-∞
B ．(,2]-∞
C ．5[,)3
+∞
D ．[2,)+∞
9．已知F 是椭圆C ：22
132
x y +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，(1,22)A ，
则PA PF +的最大值为 A ．42B ．2
C ．43
D ．4310．已知函数()2sin(2)6
f x x π
=+
，若对任意的(1,2)a ∈，关于x 的方程
()0(0)f x a x m -=≤<总有两个不同的实数根，则m 的取值范围为
A ．2,23ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．,32ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ C ．2,23ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．,63ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦ 11．三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形.若球O 的表面积为16π，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A 93
B 33
C ．23
D ．3312．已知函数()4
3120194
f x ax x x =
-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是
A ．(),2-∞-
B ．(),1-∞-
C ．()1,+∞
D ．()2,+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量3,4,(2,7)a b a b ==-=v v
v v ，则a b +=r r _____________．
14．计算：3
28
2lg 225lg -
-+=__________．
15．甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有A ，B ，C ，D ，E ，F 六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是A 就行；乙说：C ，D ，E ，F 都行；丙说：我喜欢C ，但是只要不是D 就行；丁说：除了C ，E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为__________． 16．在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
的面积.则角__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，11a =，121n n n a a S +=+． （I ）求数列{}n a 的项21n a -； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .
18．（12分）某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图. 时间区间 [9,11) [11,13) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21]
每单收入（元）
6
5.5
6
6.4
5.5
6.5
（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；
（Ⅱ）在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单，且男性订的外卖中有20单带饮
品，女性订的外卖中有10单带饮品，请完成下面的22⨯列联表，并回答是否有99.5%的把握认为“带饮品和男女性别有关”？
19．（12分）20.如图，在三棱柱
中，、分别是、的中点.
（I ）设棱的中点为，证明：
平面；
（II ）若，，
，且
平面平面
，求三棱锥
的体积.
20（12分）已知椭圆C 的方程为22
142
x y +=，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，
过A 且斜率等于-1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D ． （I ）证明：直线BD 的斜率为定值； （II ）求ABD ∆面积的最大值．
21（12分）设ax x x x f 22
1
31)(23++-=．（R a ∈）
（I ）讨论)(x f 的单调区间；
（II ）当20<<a 时，)(x f 在[]4,1上的最小值为3
16
-，求)(x f 在[]4,1上的最大值．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为
82sin 4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （I ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（II ）过点(1,0)P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求11PA PB
+的值．
23．已知函数()121f x x x =++-.（10分） （I ）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象；
（II ）若当(,0]x ∈-∞时，不等式()(,)f x ax b a b R ≤+∈恒成立，求-a b 的最大值.
2020年春四川省泸县四中高三第一学月考试
文科数学参考答案
1．D 2．D
3．A
4．A
5．C
6．A
7．D
8．D
9．D
10．B
11．A 12．A 1341
14．
4
7
15．F
16．
17．（1）由121n n n a a S +=+得，12121n n n a a S +++=+，
两式相减得()1212n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 为正项数列，所以22n n a a +-=，又
11a =，
故数列{}21n a -是以11a =为首项，公差为2的等差数列，所以()2111221n a n n -=+-⨯=-. （2）由（1）知，22n n a a +-=，由11a =及121n n n a a S +=+得23a = 故数列{}2n a 是以23a =为首项，公差为2的等差数列，
所以()231221n a n n =+-⨯=-，所以2123212n n n S a a a a a -=+++++L
()()2121321222
2
n n n n n n +-⨯+-⨯=+=+.
18.（Ⅰ）由频率分布直方图得：()2120.0520.0820.140.2a =-⨯⨯+⨯+=， ∴0.1a =.
∵样本容量50n =，
∴在[
)9,11这个时间段的频数为0.082508⨯⨯=，
同理可求得[)11,13，[)13,15，[)15,17，[)17,19，[]
10,21这5个时间段的频数分别为14，10，5，8.5.
∴外卖小哥送50单的收入为8614 5.51065 6.48 5.55 6.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
293.5=（元）．
（Ⅱ）由题意得22⨯列联表如下： 带饮品 不带饮品 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计
30
20
50
由表中数据可得()2
250201510525
8.3337.87925253020
3
K ⨯⨯-⨯=
=
≈>⨯⨯⨯． ∴有99.5%的把握认为“带饮品和男女性别有关”．
19．解：（1）证明：连接
是的中点，是的中点，
可由棱柱的性质知，且
； 四边形
是平行四边形 分别是、的中点
平面
平面
平面
（2）在面
内作
于点
，平面 平面 平
面，，， 是边
长为的正三角形
于是 .
20．（1）设()11,D x y ，()22,B x y ，则()11,A x y --，直线BD 的斜率21
21
y y k x x -=
-，
由22
11222214214
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，2112211212y y x x x x y y -+=-⨯-+，
由直线12121AB y y k x x +=
=-+，所以21211
2y y k x x -==-，直线BD 的斜率为定值12
.
（2）连结OB ，∵A ，D 关于原点对称，所以2ABD OBD S S ∆∆=， 由（1）可知BD 的斜率12k =
，设BD 方程为1
2
y x t =+. ∵D 在第三象限，∴21t -<<且0t ≠，O 到BD 的距离
21
514
t t d =
=
+，
由22
12142y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得：2234480x tx t ++-=， ∴1243t x x +=-，()
212423
t x x -⋅=，
∴1222ABD OBD S S BD d ∆∆==⨯
⨯⨯ ()
2
121225
42
5
t x x x x =+-⨯
()
2
12124t x x x x =⨯
+-，()
2229632423223
t t t t -=⋅=⋅⋅-≤.
∴当6
t =-
时，ABD S ∆取得最大值22. 21.（1）若
，即
时，
恒成立，
在上单调递减；
（2）若，即时，令，得两根
，
当或时，单调递减；当时，，
单调递增．
综上所述：当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；
（Ⅱ）随的变化情况如下表：
单调递减极小值单调递增极大值单调递减
当时，有，所以在上的最大值为
又，即．
所以在上的最小值为．
得，从而在上的最大值为．
22．（1）将曲线C的极坐标方程，化为直角坐标方程为
22880
x y x y
+--=；
（2）直线l的参数方程为：
2
1
2
2
x t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），
将其带入上述方程中得：27270
t t
--=，则12
12
72
7
t t
t t
⎧+=
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，
所以12
1212
1111314
7
t t
PA PB t t t t
-
+=+==.
23．解：（1）()121
f x x x
=++-
31,1
3,11
31,1
x x
x x
x x
-+<-
⎧
⎪
=-+-≤<
⎨
⎪-≥
⎩
，
其图象如下图：
（2）若(],0
x∈-∞，由（1）知函数()
f x的图象与y轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，
故当且仅当3
a≤-且3
b≥时(],0
x∈-∞时，不等式()
f x ax b
≤+恒成立，所以3
b
-≤-，所以6
a b
-≤-，
故a b
-的最大值为-6.。