江苏高三高中数学专题试卷带答案解析

江苏高三高中数学专题试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.集合，则．
2.复数是虚数单位的实部是．
3.已知幂函数的图象过点，则= ．
4.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为．
5.设满足，则的最小值为．
6.如图,在矩形中, ,,以为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在圆弧上任取一点,则直线与线段有公共点的概率是．
7.阅读前面的伪代码，则运行后输出的结果是．
8.函数的单调递减区间为．
9.在中分别为的对边，若,则为
三角形.
10.不等式的解集为或，则实数的取值范围．
11.在中，已知，则的值为．
12.过直线上的一点P作圆的两条切线为切点,当直线关于直线对称时，．
13.若实数、满足，则的取值范围是．
14.用三个字母组成一个长度为个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如
时，排出的字符串可能是或；时排出的字符串可能是
(如图).若记长度为个字母的字符串中，以字母结尾的所有字符串的种数为，
如：则数列的前项之和为．
二、解答题
1.（本小题满分14分）如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的
中点．求证：
（1）PA//平面BDE；
（2）平面PAC平面BDE．
2.（本小题满分14分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：
名，抽到第二车间男工的概率是0.15.
(1)求的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
(3)已知,求第三车间中女工比男工少的概率.
3.（本小题满分15分）已知
（1）当时，求函数的最小正周期；
（2）当∥时，求的值.
4.（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，
上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1) 若椭圆的离心率，求的方程；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
5.（本小题满分16分）设数列的前n项和为，数列满足: ,且数列的前
n项和为.
(1) 求的值；
(2) 求证：数列是等比数列；
(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列
，若的前n项和为，求证：.
6.（本小题满分16分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数；.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.
7.（本小题为选做题，满分10分）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
OB的中点，求BC的长．
8.（本小题为选做题，满分10分）
已知矩阵，其中，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点，
（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量.
9.（本小题为选做题，满分10分）
设点分别是曲线和上的动点，求动点间的最小距离.
10.（本小题为选做题，满分10分）
设为正数，证明：≥.
11.（本小题为必做题，满分10分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，
，，为的中点.
(1) 求直线与所成角的余弦值；
(2) 在侧面内找一点，使面，并求出点
到和的距离.
12.（本小题为必做题，满分10分）已知数列满足：.
(1) 求证：使
(2) 求的末位数字.
江苏高三高中数学专题试卷答案及解析
一、填空题
1.集合，则．
【答案】{1}
【解析】略
2.复数是虚数单位的实部是．
【答案】
【解析】略
3.已知幂函数的图象过点，则= ．
【答案】
【解析】略
4.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为．
【答案】
【解析】略
5.设满足，则的最小值为．
【答案】2
【解析】略
6.如图,在矩形中, ,,以为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在圆弧上任取一点,则直线与线段有公共点的概率是．
【答案】
【解析】略
7.阅读前面的伪代码，则运行后输出的结果是．
【答案】21
【解析】略
8.函数的单调递减区间为．
【答案】
【解析】略
9.在中分别为的对边，若,则为
三角形.
【答案】直角
【解析】略
10.不等式的解集为或，则实数的取值范围．
【答案】
【解析】略
11.在中，已知，则的值为．
【答案】±2
【解析】略
12.过直线上的一点P作圆的两条切线为切点,当直线关于直线对称时，．
【答案】60°
【解析】略
13.若实数、满足，则的取值范围是．
【答案】
【解析】略
14.用三个字母组成一个长度为个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如
时，排出的字符串可能是或；时排出的字符串可能是
(如图).若记长度为个字母的字符串中，以字母结尾的所有字符串的种数为，
如：则数列的前项之和为．
【答案】
【解析】略
二、解答题
1.（本小题满分14分）如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的
中点．求证：
（1）PA//平面BDE；
（2）平面PAC平面BDE．
【答案】证明：(1) 连接AC、OE，AC BD=O，……… 1分
在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA // EO，… 3分
又∵EO 平面EBD ，PA 平面EBD，∴PA //BDE．………7分
（2）∵PO底面ABCD，∴PO BD．………… 9分
又∵BD AC，∴BD平面PAC．………… 12分
又BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE．…… 14分
【解析】略
2.（本小题满分14分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间第二车间第三车间
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15.
(1)求的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
(3)已知,求第三车间中女工比男工少的概率.
【答案】解：（1）由题意可知； 4分
（2）由题意可知第三车间共有工人数为名，则设应在第三车间级抽取名工人，则． 8分
（3）由题意可知，且，满足条件的
有，……，共有31组．
设事件A：第三车间中女工比男工少，即，满足条件的
有，……，共有15组．故． 13分
答：（1），（2）应在第三车间抽取20名工人，（3）第三车间中女工比男工少的概率为. 14分
【解析】略
3.（本小题满分15分）已知
（1）当时，求函数的最小正周期；
（2）当∥时，求的值.
【答案】解：（1），
∴．
又，
∴该函数的最小正周期是．……7分
（2）∵
∴
是锐角
∥，即
是锐角
，即cos2α＝．…………………………15分
【解析】略
4.（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，
上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1) 若椭圆的离心率，求的方程；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
【答案】解：（1）当时，∵，∴，
∴，，点,， -----------2分
设的方程为，由过点F,B,C得
∴-----------------①-----------------②
-------------------③ --------------------5分
由①②③联立解得，， -----------------------7分
∴所求的的方程为 - ------------8分
（2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------④ ----------------------9分
∵BC的中点为，
∴BC的垂直平分线方程为-----⑤ ---------------------11分
由④⑤得，即 ----------------12分
∵P在直线上，∴
∵∴由得 -----------------------------------14分
∴椭圆的方程为 --------------------------------------------------------------15分
【解析】略
5.（本小题满分16分）设数列的前n项和为，数列满足: ,且数列的前
n项和为.
(1) 求的值；
(2) 求证：数列是等比数列；
(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列
，若的前n项和为，求证：.
【答案】解:(1)由题意得: ;………………1分
当n=1时,则有: 解得: ;
当n=2时,则有: ,即,解得: ;
………………2分
(2)由①得:
②………………3分
② - ①得: ,
即: 即:; ……………5分
,由知:
数列是以4为首项,2为公比的等比数列.…………………………………8分
(3)由(2)知: ,即……………………9分
当n≥2时, 对n=1也成立,
即(n………………………………………………………….…10分
数列为,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；…………………11分
当n="2k-1" 时,
…………………14分
当n="2k" 时,
.……………………………………………………………16分
【解析】略
6.（本小题满分16分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数；.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.
【答案】解：（1）当时，
因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数。

……………4分
（2）由题意知，在上恒成立。

………5分
，
∴在上恒成立………6分
∴………7分
设，，，由得t≥1，
设，
所以在上递减，在上递增，………9分
在上的最大值为，在上的最小值为
所以实数的取值范围为。

…………………………………10分
（3），
∵ m>0 ，∴在上递减，………12分
∴即………13分
①当，即时，，………12分
此时，………14分
②当，即时，，
此时，
综上所述，当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是………16分
【解析】略
7.（本小题为选做题，满分10分）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
OB的中点，求BC的长．
【答案】略
【解析】略
8.（本小题为选做题，满分10分）
已知矩阵，其中，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点，（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量.
【答案】解：（1）由=，得…………4分
（2）由（1）知，则矩阵A的特征多项式为
令，得矩阵A的特征值为-1或3
当时二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为
当时，二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.……………………10分
【解析】略
9.（本小题为选做题，满分10分）
设点分别是曲线和上的动点，求动点间的最小距离.
【答案】
【解析】略
10.（本小题为选做题，满分10分）
设为正数，证明：≥.
【答案】略
【解析】略
11.（本小题为必做题，满分10分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，
，，为的中点.
(1) 求直线与所成角的余弦值；
(2) 在侧面内找一点，使面，并求出点
到和的距离.
【答案】(1) …………5分
(2) 点到和的距离分别为.…………10分
【解析】略
12.（本小题为必做题，满分10分）已知数列满足：.
(1) 求证：使
(2) 求的末位数字.
=3，
【答案】解：(1)当n=1时，a
1
假设n=k时，
当n=k+1时，
其中
使当n=k+1时，结论也成立.
使…………7分
(2)故的末位数字是7. …………10分
【解析】略。