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运筹学1至6章习题参考答案
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
产品 资源 A B C 资源限量 材料(kg) 1.5 1.2 4 2500 设备(台时) 3 1.6 1.2 1400 利润(元/件)
10
14
12
310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设R 1、R 2、R 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为
1231231
23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400
150250260310120130,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及
数量如表1－24所示：
型号A 型号B 每套窗架需要
材料
长度（m ） 数量(根)
长度(m) 数量(根)
A 1：2 2
B 1：2.5 2 A 2：1.5
3 B 2：2
3
需要量（套）
300
400 【解 方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A2 1.5 0 0 0 1 0 0 2 0 2 3 900 余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 0 1
0 0.5
设R j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为
10
1
12342567368947910
min 2800212002600223900
0,1,2,,10
j
j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪
+++≥⎪⎪
+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为
2345681012342567368947910
min 0.50.50.52800
212002*********
0,1,2,,10
j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪
+++≥⎪⎪
+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩
1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。

已知产品A 每月底交货，市场需
求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。

1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。

月份 1 2 3 4 5 6 产品成本(元/件) 销售价格(元/件)
300 330 320 360 360 300 350 340 350 420 410 340 （2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。

【解】设R j 、R j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
1122334
45566
1
112
11223
1122334
112233445
11223344556
max300350330340320350360
420360410300340
800
800
800
800
800
Z x y x y x y x y x y x y
x
x y x
x y x y x
x y x y x y x
x y x y x y x y x
x y x y x y x y x y x
=-+-+-+-+ -+-+
≤
-+≤
-+-+≤
-+-+-+≤
-+-+-+-+≤
-+-+-+-+-+≤
11
1122
112233
11223344
1122334455
112233445566
800
200
200
200
200
200
200
,0;1,2,,6
j j
x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y j
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
-+≤
⎨
⎪-+-+≤
⎪
⎪-+-+-+≤
⎪
-+-+-+-+≤
⎪
⎪-+-+-+-+-+≤
⎪
-+-+-+-+-+-+≤
⎪
⎪≥=
⎩
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。

1.4 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
项目一项目二项目三项目四
第1年第2年第3年R11
R21
R31
R12
R23 R34
112131122334 1112
112123
12213134
12
23
34
max0.20.20.20.50.60.3
30000
1.230000
1.5 1.230000
20000
15000
10000
0,1,,3;1,4
ij
Z x x x x x x x x
x x x
x x x x
x
x
x
x i j
=+++++
⎧+≤
⎪
-++≤
⎪
⎪--++≤
⎪⎪
≤
⎨
⎪≤
⎪
⎪≤
⎪
≥==
⎪⎩
最优解R=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z＝84720
1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。

成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油 半成品油
中石脑油 重整汽油 裂化汽油
中石脑油 重整汽油 裂化汽油 轻油、裂化油、重油、残油
轻油、裂化油、重油、残油按10:4:3:1调合而成
辛烷值 ≥94 ≥84 蒸汽压：公斤／平方厘米
≤1
利润(元/桶)
5 4.2 3
1.5
表1－27
解 设R ij 为第i （i ＝1,2,3,4）种成品油配第j (j =1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。

总利润：
11121321222334353637444546475() 4.2()3() 1.5()
Z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
111213212223
111213212223
801151058011510594,8494x x x x x x x x x x x x ++++≥≤≤++++
航空煤油蒸气压约束
34353637
34353637
1.50.60.051x x x x x x x x ++≤++＋＋
一般煤油比例约束
44454647:::10:4:3:1x x x x =
即
4546444546471043,,431
x x x x x x === 半成品油供应量约束
半成品油
1中石脑油 2重整汽油 3裂化汽油 4轻油 5裂化油 6重油 7残油 辛烷值 80 115 105 蒸汽压：公斤／
平方厘米 1.0 1.5 0.6 0.05
每天供应数量
(桶)
20YY 1000 1500 1200 1000 1000 800
1121122213233444354536463747200010001500120010001000800
x x x x x x x x x x x x x x +≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤ 整理后得到
111213212223343536374445464711121321222321222335363744
45
4546464max 555 4.2 4.2 4.23333 1.5 1.5 1.5 1.5142111014211104312100.50.40.9504100
3403Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++-++≥-++≤-++≥--≤-=-=-711211222
1323344435453646374702000100015001200100010008000;1,2,3,4;1,2,,7
ij x x x x x x x x x x x x x x x i j ⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
=⎪⎪
+≤⎨⎪+≤⎪⎪+≤⎪
+≤⎪⎪+≤⎪
+≤⎪⎪+≤⎪≥==⎪⎩
1.6 图解下列线性规划并指出解的形式：
(1) 12
121212max 5228
35,0
Z x x x x x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨
≤⎪⎪≥⎩
【解】最优解R ＝（3，2）；最优值Z=19
(2) 12
12121212max 4453224,0
Z x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎨
+≤⎪⎪≥⎩
【解】有多重解。

最优解R
（1）
＝（0，5/4）；R
（2）
＝（3，1/2）最优值
Z=5
(3)121212
1212
12min 32211410
2731
,0
Z x x x x x x x x x x x x =-++≤⎧⎪-+≤⎪⎪
-≤⎨⎪-≤⎪⎪≥⎩
【解】最优解R ＝（4，1）；最优值Z=－10，有唯一最优解
(4) 12
1212212min 4628830,0
Z x x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≤⎪⎨
≤⎪⎪≥≥⎩
【解】最优解R ＝（2，3）；最优值Z=26，有唯一最优解。