河北省泊头市第一中学2019-2020学年高二上学期模拟考试数学试卷 Word版含答案

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数学试题
一、选择题(每题5分，共60分）
1。

如果数据, 12,,...,n x x x 的平均数是x ,方差是2s ， 则1223,23,...,23n x x x +++的平均数和方差分别是（ )
A 。

x 和s B. 23x +和24s C. 23x +和2s D. 23x +和24129s s ++
2.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为［20,40)，[40,60）,［60,80）,[80，100]。

若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）
A 。

45 B.50 C.55 D.60
3. 从一批产品(其中正品、次品都多于两件)中任取两件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是( ) ①恰有一件次品和恰有两件次品； ②至少有一件次品和全是次品;
③至少有一件正品和至少有一件次品； ④至少有一件次品和全是正品。

A.①② B 。

①④ C 。

③④ D 。

①③ 4。

与点()1,0A -和点()1,0B 连线的斜率之和为1-的动点P 的轨迹方程是( ） A 。

223x y +=
B.()2211x xy x +=≠±
C.21y x =-
D 。

()2290x y x +=≠
5。

登山族为了了解某山高y (km ）与气温x (℃）之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表:
气温x
（℃)
18 13 10
1-
y (km )
24
34 38 64
由表中数据，得到线性回归方程ˆˆ2()ˆy
x a a R =-+∈,由此估计山高为72km 处气温的度数为( ）
A 。

-10℃ B.-8℃ C 。

—4℃ D 。

-6℃
6已知命题，使
；命题,都有
.给出下列结论:
①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题; ③命题“”是真命题； ④命题“
”是假命题.
其中正确的是（ ）
A.②③ B 。

②④ C 。

③④ D 。

①②③ 7.已知椭圆+m=1的焦点在x 轴上，且长轴长是短轴长的2倍,则m =（ ）
A. B. C.2 D 。

4
8。

先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6）,骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y =的概率为（ ）
A. 16
B. 536 C 。

112 D. 12
9.如图，在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是（ )
A.
14π-
B 。

π12- C.
22π-
D 。

π
4 10. 已知点3,0)M ，椭圆2
214
x y +=与直线(3)(0)y k x k =+≠交于点,A B ,
则ABM △的周长为( ) A 。

3
B 。

8
C.4
D.2511.在正方体1111ABCD A B C D -中，若,F G 分别是棱1,AB CC 的中点,则直线FG 与平面11A ACC 所成角正弦值等于（ ) A.
2
3
B 。

54
C 。

33
D 。

36
12。

设12,F F 分别为椭圆22
1259
x y +=的左、右焦点,点P 为椭圆上任意一点，
则使得•= -7成立的点P 的个数为( )
A 。

0
B.1 C 。

2 D.3
二、填空题（每题5分,共20分）
13。

若命题:,R p a b ∀∈，方程0ax b +=有解，则p ⌝：________________. 14。

袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球，1只红球，2只黄球,从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________。

15. 设12,F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，当2a b =时，点P
在椭圆上，且1212,2PF PF PF PF ⊥⋅=，则椭圆的标准方程为_________.
16。

已知椭圆22
:194
x y C +=，点M 与椭圆C 的焦点不重合.若M 关于椭圆C 的
焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +=__________.
三、解答题(共70分）
17.（10分)设命题:p 实数x 满足22430,(0)x ax a a -+<>；命题:q 实数x 满足
(3)(2)0x x --≥.
（1)若1a =“p q ∧"为真命题，求x 的取值范围；
（2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
18.（12分）已知圆22:4O x y +=,点(3,5)A -,点M 在圆O 上移动，且动点P 满足
,求动点P 的轨迹方程.
19。

（12分）某校对高二年级的男生进行体检,现将高二男生的体重（kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60,65）的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖,低于55kg 属于偏瘦，观察图中的信息,回答下列问题：
1.求体重在［60,65）内的频率，并补全频率分布直方图；
2。

用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?
3。

根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.
20。

（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为,,a b c 。

1。

求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率; 2.求“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同"的概率.
21。

(12分)已知椭圆C 与椭圆223737x y +=的焦点12,F F 相同，且椭圆C 过点
（,-1)
（1）求椭圆C 的标准方程； （2)若点P 在椭圆C 上，且123
F PF π
∠=
,求12F PF △的面积。

22.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面,6,4MAC PA PD AB ===.
1.求证：M 为PB 的中点； 2。

求二面角B PD A --的大小;
3。

求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值。

数学答案
一选择题： BBBBDADCABDC 二填空题
13。

00,R a b ∃∈,方程000a x b +=无解 14。

56
15. 2
21
4x y +=
16。

12 三解答题
17.1.由题意得，当p 为真命题时吗,由0a >,可得3a x a <<； 当q 为真命题时，23x ≤≤。

若1a =，则:13p x <<，
则当p q ∧为真命题时,由13
23x x <<⎧⎨≤≤⎩
得23x ≤<.
2.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，
则q 是p 的充分不必要条件，则2
33a a <⎧⎨>⎩
解得12a <<。

18.答案：设动点(,)P x y ，00(,)M x y 。

因为(3,5)AP x y =+-,00(3,5)AM x y =+-， 所以001
(3,5)(3,5)3
x y x y +-=+-.
所以00
131315533x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
即0036310
x x y y =+⎧⎨=-⎩ 因为点00(,)M x y 在圆O 上，所以22
04x y +=， 即22(36)(310)4x y ++-=，即2
2104(2)39x y ⎛
⎫++-= ⎪⎝
⎭.
所以动点P 的轨迹方程为2104(2)39
x y ⎛
⎫++-
= ⎪⎝⎭. 19. 答案:1.体重在[)60,65内的频率()10.030.070.030.020.0150.2=-++++⨯=， 则
0.2
5
0.04==频率组距,补全的频率分布直方图如图所示。

2。

设男生总人数为n,由
200
0.2n
=，可得1000n =. 体重超过65kg 的总人数为()0.030.020.0151000300++⨯⨯=， 在[)65,70的人数为0.0351000150⨯⨯=，应抽取的人数为150
63300
⨯=, 在[)70,75的人数为0.025*******⨯⨯=,应抽取的人数为100
62300
⨯=, 在[]75,80的人数为0.015100050⨯⨯=,应抽取的人数为50
61300
⨯
=。

所以在[)[)[]65,70,70,75,75,80三段应抽取的人数分别为3,2,1. 3。

中位数为60kg ,平均数为
()()52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01561.75kg ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
20. 答案：1.由题意得， (,,)a b c 的所有可能为： ()()() 1,1,1,1,1,2,1,1,3? ， ()()()1,2,1,1,2,2,1,2,3,()()()1,3,1,1,3,2?
,1,3,3， ()()()2,1,1,2,1,2,2,1,3，()()2,2,1,2,2,2, ()()()2,2,3,2,3,1,2,3,2, ()()2,3,3,3,1,1,
()()() 3,1,2,3,1,3,3,2,1 ， ()()()3,2,2,3,2,3,3,3,1,
()() 3,3,2,3,3,3共27种。

设“抽取的卡片上的数字满足a b c +="为事件A ， 则事件A 包括()()()1,1,2,1,2,3,2,1,3共3种， 所以31
()279
P A =
=. 因此“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为19
. 2.设“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同"为事件B , 则事件B 包括()()()1,1,1,2,2,2,3,3,3共3种， 所以()()3811279
P B P B =-=-
=。

因此“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率为89
.
21。

答案：1。

因为椭圆2
2137x y +=的焦点坐标为(6,0),(6,0)-，
所以设椭圆C 的标准方程为22
222
1(36)36
x y a a a +=>-① 将点(，—1)
代入①，整理得或(舍） 所以椭圆C 的标准方程为+
2.因为点P 在椭圆C 上,
由1知6c =，在12PF F △中,12212F F c ==。

所以由余弦定理得 2221212122cos ,3F F PF PF PF PF π=+-⋅ 即22
2121212PF PF PF PF =+-⋅。

因为222121212()2,PF PF PF PF PF PF +=+-⋅ 所以22121212()3PF PF PF PF =+-⋅，
所以12F PF △的面积为=2
22。

答案：1。

设,AC BD 的交点为E ，连接ME .
因为//PD 平面MAC ，平面MAC ⋂平面PDB ME =,
所以//PD ME 。

因为四边形ABCD 是正方形,所以E 为BD 的中点。

所以M 为PB 的中点。

2。

取AD 的中点O ，连接,OP OE .因为PA PD =，所以OP AD ⊥。

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ⋂平面,ABCD AD OP =⊂平面PAD , 所以OP ⊥平面ABCD 。

因为OE ⊂平面ABCD ,所以OP OE ⊥。

因为四边形ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥。

如图建立空间直角坐标系O xyz -，
则2),(2,0,0),(2,4,0),(4,4,0),(2,0,2)P D B BD PD -=-=-。

设平面BDP 的法向量为(,,)n x y z =,
则00n BD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440220x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪
⎩
令1x =,则1,2y z ==.于是(1,1,2)n =。

平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)p =。

所以1cos ,2n p n p n p ⋅==。

由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π
. 3。

由题意知()221,,2,4,0,3,2,M C MC ⎛⎛-=
⎝⎭⎝⎭。

设直线MC 与平面BDP 所成角为α,
则26
sin cos ,9n MC n MC n MC α⋅===。

所以直线MC 与平面BDP 26。