吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)

高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.sin210°的值为（）
A. B. - C. D. -
2.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（）
A. {0，1}
B. {-1，0}
C. {-1，0，1}
D. {0，1，2}
3.若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p
为（）
A. 6
B. 24
C. 120
D. 720
5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S6=（）
A. 0
B. 10
C. 15
D. 30
6.已知、是两个单位向量，且夹角为，则（-2）•（-2+）=（）
A. B. C. D.
7.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不
是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）
A. B. C. D.
8.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出
α∥β的是（）
A. m∥n，m⊂α，n⊂β
B. m∥n，m⊥α，n⊥β
C. m⊥n，m∥α，n∥β
D. m⊥n，m⊥α，n⊥β
9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企
业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．
根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）
A. 2012-2013年研发投入占营收比增量相比2017-2018年增量大
B. 该企业连续12年研发投入逐年增加
C. 2015-2016年研发投入增值最大
D. 该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加
10.函数f（x）=的部分图象大致是（）
A. B.
C. D.
11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛
物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）
A. 4
B.
C.
D.
12.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值
范围是（）
A. [2，+∞）
B. [e-1，+∞）
C. [3-2ln2，+∞）
D. [3-2ln3，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数的最小正周期为π，则ω=______，若，
则sin2α=______．
14.已知矩形ABCD，AB=12，BC=5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离
心率为______．
15.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，
得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖
臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露
矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中
网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：
①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四
个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为.其中正确的序号为_______.
16.已知数列{a n}中，a1=2，，则=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在△ABC中，AB=6，．
（1）若，求△ABC的面积；
（2）若点D在BC边上且BD=2DC，AD=BD，求BC的长．
18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400
人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．
第一车间样本频数分布表
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；
（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与
BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．
20.如图所示，椭圆离心率为，B1、B2
是椭圆C的短轴端点，且B1到焦点的距离为，点M在椭
圆C上运动，且点M不与B1、B2重合，点N满足NB1⊥MB1，
NB2⊥MB2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．
21.已知a∈R，函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1-b2的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标
原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．
23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求
++的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．
故选：B．
所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，
∵A={-1，0，1，2}，
∴A∩B={0，1}，
故选：A．
求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．
【解答】
解：∵=的实部与虚部相等，
∴a+1=1-a，即a=0．
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：由已知中N=4，
第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2
第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3
第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4
第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，
故输出的p值是24
故选：B．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
根据等差数列的性质，根据a2=4，a4=2，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．
本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．
【解答】
解：数列{a n}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，
所以a1=5，d=-1，
则S6=6a1+=15．
故选C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量．向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．
【解答】
解：、是两个单位向量，且夹角为，则（-2）•（-2+）=
=-4+5×=-．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】解：记事件A为“取出的2件中存在1件不是一等品“，事件B为“取出的2件中，1件一等品，1件不是一等品“，
则P（A）=+=+=，P（AB）==，
∴P（B|A）===．
故选：D．
记事件A为“取出的2件中有1件不是一等品“，事件B为“取出的2件中，1件一等
品，1件不是一等品“，根据P（B|A）=可得．
本题考查了条件概率与独立事件，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：对于A，若α∩β=l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A错误；对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；
对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；
对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．
故选：B．
根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明．
本题主要考查空间直线与平面位置关系，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查折线统计图与条形统计图，属于基础题．
根据图形给出的信息，分析判断即可．
【解答】
解：从研发投入占营收比（图中的折线）可知，2008～2009年的研发投入占营收比有所下降，并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错误．
故选D．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题.
先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．
【解答】
解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞），
f（-x）===f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A；
分别取x=1，x=2，得f（2）＜f(1)，故排除D；
当x=1时，f（1）=＜0，故排除C；
综上所述，只有B符合.
故选B．
11.【答案】C
【解析】【分析】
由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|=|PB，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果．
本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
【解答】
解：抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，
∵|AF|=6，
∴A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，
∵点A在抛物线上，
∴A的坐标A（4，4）
∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，
0），
∴|PO|=|PB|，
∴|PA|+|PO|的最小值：
|AB|==4．
故选C．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数与导数的相关知识,属中档题．
可根据题意及画出的分段函数的图象确定出x1＜1＜x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1，则可只用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围．
【解答】
解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：
由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．
因为当x1和x2都大于1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，
∴x1，x2不可能同时＞1．
而x1≠x2，
∴x1＜1＜x2，
∴f（x1）+f（x2）=，
∵f（x1）+f（x2）=2，
∴，
∴x1=1-2ln x2，
∴x1+x2=1+x2-2ln x2，（x2＞1）．
构造函数g（x）=1+x-2ln x，（x＞1）
则．
①令g′（x）=0，即，解得x=2；
②令g′（x）＜0，即，解得1<x＜2；
③令g′（x）＞0，即，解得x＞2．
∴g（x）在（1，2）上单调递减，在x=2处取得极小值，在（2，+∞）上单调递增．
∴g（x）min=g（2）=3-2ln2．
∴g（x）≥3-2ln2．
∴x1+x2≥3-2ln2．
故选：C．
13.【答案】2
【解析】解：由周期公式，可得ω=2，由得，，
所以，平方得，∴，
故答案为：2；-．
由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．
本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得点OA=OB=6，AC=13
设双曲线的标准方程是．
则2c=12，c=6，
则2a=AC-BC=13-5=8，
所以a=4．
所以双曲线的离心率为：e==．
故答案为：．
由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=AC-BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得．
本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．15.【答案】①②④
【解析】【分析】
本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，然后逐一分析四个命题得答案．
【解答】
解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，
底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，
则四个侧面是直角三角形，故①正确；
最长棱为PC，长度为，故②正确；
由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；
把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④
正确．
∴其中正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．
利用数列的递推关系式，推出{}是等差数列，然后求解数列的和即可．
【解答】
解：由得a n+1（n+1+2a n）=na n，
即2a n a n+1+（n+1）a n+1=na n，两边同时除以n（n+1）a n a n+1，
得，
由累加法得，
∴为等差数列，
所以．
故答案为：．
17.【答案】（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理得：，所以sin C=1，，
所以，所以．（6分）
（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得
解得：所以．（12分）
【解析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积．
（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．
本题考查解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用．
18.【答案】解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为200×=60（人），
（2分）
估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为：
400×（0.025+0.05）×10=300（人）．
（II）第一车间生产时间平均值约为：
=（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min）．
第二车间生产时间平均值约为：
=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min），
∵x1＞x2，∴第二车间工人生产效率更高．
（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，
其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，
X可取值为0，1，2，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴数学期望E（X）==1．
【解析】本题考查频数、平均值、样本频数分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．
（I）由样本频数分布表能估计第一车间生产时间小于75min的工人人数，由频率分布直方图能估计第二车间生产时间小于75min的工人人数．
（II）分别求出第一车间生产时间平均值主第二车间生产时间平均值，由此能求出第二车间工人生产效率更高．
（III）第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．
19.【答案】（1）证明：由题意知，四边形为菱形，
∴在△PAE中，OP⊥AE，在△BAE中，OB⊥AE，
,面POB，
∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，
所以平面POB⊥平面ABCE.
（2）在平面POB内作PQ⊥OB，垂足为Q，
∴PQ⊥平面ABCE．
直线PB与平面ABCE夹角为，
又OP=OB，
∴OP⊥OB，O、Q两点重合，
即OP⊥平面ABCE，
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，各点坐标为，，，
∴，，
设平面PCE的一个法向量为，
则，即，
设，则y=-1，z=1，
∴，
由题意得平面PAE的一个法向量，
设二面角A-PE-C为α，．
由图可知，二面角为钝角，
∴二面角A-PE-C的余弦值为．
【解析】本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．
（1）证明OP⊥AE，OB⊥AE，得到AE⊥平面POB，即可证明平面POB⊥平面ABCE；（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PCE的一个法向量，平面PAE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角
A-PE-C的余弦值．
20.【答案】解：（1）∵，∴，又，且a2=b2+c2，
∴a2=18，b2=9，
因此椭圆C的方程为．
（2）法一：设M（x0，y0）（x0≠0），N（x1，y1），
∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，
∴直线NB1：……①直线NB2：……②
由①，②解得：，
又∵，
∴，
四边形MB2NB1的面积，
∵，
∴当时，S的最大值为．
法二：设直线MB1：y=kx-3（k≠0），则直线NB1：……①
直线MB1与椭圆C：的交点M的坐标为，
则直线MB2的斜率为，∴直线NB2：y=2kx+3……②
由①，②解得N点的横坐标为，因此四边形MB2NB1的面积
，
当且仅当时，S取得最大值．
【解析】（1）利用离心率为，a=3且a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）方法一：设M（x0，y0），N（x1，y1），分别求出直线NB1和直线NB2的方程，即可求出x1和x0的关系，表示四边形ABF2F1面积，即可求出面积的最大值，
方法二：设直线MB1：y=kx-3（k≠0），则直线NB1：，分别与椭圆联立，求
出M，N的坐标，表示四边形ABF2F1面积，根据不等式，即可求出面积的最大值，
本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题．
21.【答案】解：（1），
①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，时f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，
即f（x）在上单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）∵x=2是f（x）的极值点，
∴由（1）可知，
∴a=1.
设在P（x1，f（x1））处的切线方程为，
在Q（x2，f（x2））处的切线方程为
∴若这两条切线互相平行，则，
∴
∵，且0＜x1＜x2＜6，
∴，
∴，
∴x1∈（3，4）
令x=0，则，
同理，．
【解法一】∵，
∴
设，
∴
∴g（x）在区间上单调递减，
∴
即b1-b2的取值范围是．
【解法二】∵，
∴
令，其中x∈（3，4）∴
∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴
∴b1-b2的取值范围是．
【解法三】∵x1•x2=2（x1+x2），
∴
设，则
∵，
∴g'（x）＞0，
∴函数g（x）在区间上单调递增，∴，
∴b1-b2的取值范围是．
【解析】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题.
（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，
（2）由x=2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，．求出b1-b2，再构造函数，利用导数，即可求出b1-b2的取值范围.
22.【答案】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，
即（t为参数）．………………………………………（2分）
设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），
则，即，即ρ=4cosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）．……………………………………………（5分）
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，
得，……………………………（7分）
即，t1，t2为方程的两个根，
∴t1t2=-3，………………（9分）
∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．………………………………………（10分）
【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ=4cosθ，然后化为普通方程；
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，
解得-≤x≤2，
故不等式f（x）≤4的解集为{x|-≤x≤2}
（Ⅱ）∵f（x）=，∴f（x）min=，即m=，
又a，b，c∈R+且a+b+c=，z则2a+2b+2c=1，设x=，y=，z=，
∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，
同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，
∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，
∴（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8=12，
∴x+y+z≤2，即++≤2，
当且仅当a=b=c=时，取得最大值2．
【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等式，在相并；
（Ⅱ）先求得m=，再设x=，y=，z=，然后利用重要不等式以及
不要等式的性质可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。