正态分布(北师大版选修2-3)
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§6
正态分布在统计学中是很重要的分布。
前面我们讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一 一列举的.人们感兴趣的是其分布列；但在实际应用中， 还有许多随机变量不可以一一列举而是取某一区间中的 一切值（连续型随机变量），通常我们感兴趣的是它落 在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用 分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度 函数（曲线）描述。
在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学
期望是 1
。
归纳小结
1
正态分布函数解析式：
f (x)
1
e
( x )2 2 2
2
2 正态曲线
3 正态曲线的性质
（1）曲线关于直线x=μ对称. （2）曲线在x=μ时位于最高点.
(3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
X=
特别地有（熟记）
P( X ) 68.3％, P( 2 X 2 ) 95.4％, P( 3 X 3 ) 99.7％.
P( X ) 68.3％, P( 2 X 2 ) 95.4％, P( 3 X 3 ) 99.7％.
例2：在某次数学考试中，考生的成绩 X 服
从一个正态分布，即X ~N(90,100).
（1）试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的 概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计 考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习2.设两个正态分布N(μ1,
2 1
)
(σ1>0)和N(μ2,
有了X 的分布密度曲线，则X取值于任何范 围的概率都可以通过该曲线下相应部分的 面积而算出.
正态分布密度曲线
（简称正态曲线）
Y
“钟形”曲线
X
0 正态分步的分布密度函数解析式为：
f (x)
1
e
(x )2 2 2
x (,)
2
一.正态分布定义
函数
y
f (x)
1
( x )2
e 2 2 x (,)
Hale Waihona Puke 某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变 量X，它可以取大于等于0的所有数值.怎样 描述这样的随机变量的分布情况呢？
设x表示产品的寿命（单位：h），如果 我们对该产品有如下的了解： 寿命小于500 h的概率为0.71， 寿命在500～800 h之间的概率为0.22， 寿命在800 ～1000 h之间的概率为0.07，
A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P(X 0) = 0.5 ,
P(2 X 2)= 0.954 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
相应的正态曲线在x= 0.3
时达到最高点。
5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落
例1. 某设备正常运行时，产品的质量服从 正态分布，其参数为：500 g, 21为了检查 设备运行是否正常，质量检验员需要随机地 抽取产品，测量其质量.当检验员随机地抽 取一个产品，测得其质量为504 g，他立即 要求停止生产，检查设备.他的决定是否有 道理呢？
解 如果设备正常运行，产品质量服从正态分布. 根据题意和正态分布的性质可知，产品质量在 500-3=497 g和500+3=503 g之间的概率为0.997， 而质量超过这个范围的概率只有0.003，这是一 个几乎不可能出现的事件. 但是检查员抽出了504 g的产品，说明设备的运 行极可能不正常，所以检验员的决定是有道理的.
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外
取值的概率只有0.3 ％。 由当于a 这3些时概正率态值总很体小的（X一取般值不几超乎总过取5 ％值于）区，
间通(常 称3这, 些 情3况) 之发内生,为其小他概区间率取事值件几。乎不可能.在
实际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
2
的图像称为正态分布密度
曲线，简称正态曲线。 0
x
称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数、 2
唯一确定, 、 2分别表示正态分布的均值与方差.
不同的 、 2对应着不同的正态密度曲线。
如果随机变量X服从正态分布，则记作：
X~N(,2) 。（EX= DX= 2 ）
二、正态曲线的性质
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
2 2
)
(σ2>0)的密度函数图象如 图所示,则有 ( A )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
解析 由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态密
度函数图象的对称轴,故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦,
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 D
（1）函数图像关于直线x=μ对称. （2）函数在x=μ时，取得最大值 （3）
正态曲线的性质
σ＝0.5
σ＝1 σ＝2
O
μ一定
ｘ
（3）
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线下的面概积率 规律（重要）
1、X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 2、对称区域面积相等
这样我们可以画出大致的图像（见教材） 图像比较简单，
例如它没有告诉我们寿命在200 ～ 400 h之 间的概率. 如果我们想了解更多，图中的区间会分的更 细，为了完全了解产品的寿命的分布情况，
需要将区间无限细分，最总我们会得到一条 曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度 曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密 度函数,记为f(x).
正态分布在统计学中是很重要的分布。
前面我们讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一 一列举的.人们感兴趣的是其分布列；但在实际应用中， 还有许多随机变量不可以一一列举而是取某一区间中的 一切值（连续型随机变量），通常我们感兴趣的是它落 在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用 分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度 函数（曲线）描述。
在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学
期望是 1
。
归纳小结
1
正态分布函数解析式：
f (x)
1
e
( x )2 2 2
2
2 正态曲线
3 正态曲线的性质
（1）曲线关于直线x=μ对称. （2）曲线在x=μ时位于最高点.
(3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
X=
特别地有（熟记）
P( X ) 68.3％, P( 2 X 2 ) 95.4％, P( 3 X 3 ) 99.7％.
P( X ) 68.3％, P( 2 X 2 ) 95.4％, P( 3 X 3 ) 99.7％.
例2：在某次数学考试中，考生的成绩 X 服
从一个正态分布，即X ~N(90,100).
（1）试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的 概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计 考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习2.设两个正态分布N(μ1,
2 1
)
(σ1>0)和N(μ2,
有了X 的分布密度曲线，则X取值于任何范 围的概率都可以通过该曲线下相应部分的 面积而算出.
正态分布密度曲线
（简称正态曲线）
Y
“钟形”曲线
X
0 正态分步的分布密度函数解析式为：
f (x)
1
e
(x )2 2 2
x (,)
2
一.正态分布定义
函数
y
f (x)
1
( x )2
e 2 2 x (,)
Hale Waihona Puke 某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变 量X，它可以取大于等于0的所有数值.怎样 描述这样的随机变量的分布情况呢？
设x表示产品的寿命（单位：h），如果 我们对该产品有如下的了解： 寿命小于500 h的概率为0.71， 寿命在500～800 h之间的概率为0.22， 寿命在800 ～1000 h之间的概率为0.07，
A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P(X 0) = 0.5 ,
P(2 X 2)= 0.954 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
相应的正态曲线在x= 0.3
时达到最高点。
5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落
例1. 某设备正常运行时，产品的质量服从 正态分布，其参数为：500 g, 21为了检查 设备运行是否正常，质量检验员需要随机地 抽取产品，测量其质量.当检验员随机地抽 取一个产品，测得其质量为504 g，他立即 要求停止生产，检查设备.他的决定是否有 道理呢？
解 如果设备正常运行，产品质量服从正态分布. 根据题意和正态分布的性质可知，产品质量在 500-3=497 g和500+3=503 g之间的概率为0.997， 而质量超过这个范围的概率只有0.003，这是一 个几乎不可能出现的事件. 但是检查员抽出了504 g的产品，说明设备的运 行极可能不正常，所以检验员的决定是有道理的.
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外
取值的概率只有0.3 ％。 由当于a 这3些时概正率态值总很体小的（X一取般值不几超乎总过取5 ％值于）区，
间通(常 称3这, 些 情3况) 之发内生,为其小他概区间率取事值件几。乎不可能.在
实际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
2
的图像称为正态分布密度
曲线，简称正态曲线。 0
x
称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数、 2
唯一确定, 、 2分别表示正态分布的均值与方差.
不同的 、 2对应着不同的正态密度曲线。
如果随机变量X服从正态分布，则记作：
X~N(,2) 。（EX= DX= 2 ）
二、正态曲线的性质
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
2 2
)
(σ2>0)的密度函数图象如 图所示,则有 ( A )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
解析 由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态密
度函数图象的对称轴,故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦,
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 D
（1）函数图像关于直线x=μ对称. （2）函数在x=μ时，取得最大值 （3）
正态曲线的性质
σ＝0.5
σ＝1 σ＝2
O
μ一定
ｘ
（3）
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线下的面概积率 规律（重要）
1、X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 2、对称区域面积相等
这样我们可以画出大致的图像（见教材） 图像比较简单，
例如它没有告诉我们寿命在200 ～ 400 h之 间的概率. 如果我们想了解更多，图中的区间会分的更 细，为了完全了解产品的寿命的分布情况，
需要将区间无限细分，最总我们会得到一条 曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度 曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密 度函数,记为f(x).