高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及解析

《坐标系与参数方程》知识点汇总
一、13
1．将点的直角坐标(-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ）
A ．24,
3
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由P 点的直角坐标(-，可得tan y
x
ρθ==
，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】
解：∵点P 的直角坐标(-，
∴4ρ=
=
=，tan y x θ=
== 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23
πθ=
． ∴满足条件的点P 的极坐标为24,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
．
故选：A ． 【点睛】
考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.
2．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：
2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )
A ．34
k <-
B ．34
k ≥-
C ．k R ∈
D ．k R ∈但0k ≠
【答案】A 【解析】
分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．
详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：2
2cos ρρθ=，
化成直角坐标方程为：22
20x y x +-=， 即2
2
(1)1x y -+=．
则圆心到直线的距离d =
由题意得：1d <
，即1d =<，
解之得：34
k <-． 故选A ．
点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用
cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．
3．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k
等于（） A
B
．C
D
．±
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程2
2
(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

【详解】
Q 曲线C ：2cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩，消去θ，得
∴曲线C ： 22(2)1x y -+=
又知圆C 与直线相切。

可得，
1=
解得k =，给故答案选D 。

【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。

4．如图，点A 、B 是函数1
y x
=
在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=o 且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）
A ．12
B ．22
C 3
D 5 【答案】D 【解析】 【分析】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐
标2,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2
ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，
由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=o ，则点A 的极坐标
2,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，
化简得2
sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 22ρθ=，
将点A 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
2sin 224πρθ⎫⎡⎤
⎛⎫+=⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
， 化简得2
cos 24ρθ=，于是有2
2sin 22cos 24ρθρθ⎧=⎨=⎩
，
()()2
42222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=，得225ρ=，
因此，OAB ∆的面积为
112215
sin 25242224OAB S OA OB πρρ∆=
⋅=⨯⨯⨯=⨯=
故选D.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.
5．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C
的极坐标方程为
ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）
A ．1 B
C ．2
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知曲线1C 与2C 交于原点和另外一点，设点A 为原点，点B 的极坐标为
()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出AB ρ=，
即可得出AB 的值. 【详解】
易知，曲线1C 与2C 均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为
()(),0,02ρθρθπ>≤<，
联立曲线1C 与2C
的坐标方程2sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得3πθρ⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
，因此，AB ρ== 故选：B. 【点睛】
本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.
6．已知曲线T
的参数方程1x k
y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），则其普通方程是（）
A ．2
2
1x y += B ．()2
2
10x y x +=≠ C
．00
x y x ⎧>⎪=⎨
<⎪⎩
D
．y =0x ≠)
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知1x k =得1
k x
=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

【详解】
由题意1x k =Q 1k x ∴=
代入y =
y =
y ∴=①当0x >
时y ∴=②当0x <
时y ∴=
综上0
x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
故选：C 【点睛】
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．
7．记椭圆22
1441
x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，
，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞
=（ ） A ．0 B ．
1
4
C ．2 D
．【答案】D 【解析】
分析：先由椭圆2
2
1441x ny
n +=+
得到这个椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数），再由三角函数知识求x+y 的最大值，从而求出极限的值．
详解：把椭圆22
1441
x ny n +=+得，
椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪
⎨=⎪
⎩
（θ为参数）， ∴x+y=2cos θ
，
∴（x+y ）max
∴n
lim →∞
M n
=n
故选D ．
点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
8．直线34x t
y t
=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P
的点的坐标是( )
A ．()4,3
B ．()4,5-或()0,1
C ．()2,5
D ．()4,3或()2,5
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为直线3(4x t
t y t
=-⎧⎨
=+⎩为参数）， 所以设直线上到点(3,4)P
的点的坐标是(3,4)t t --，
=1t =±，
代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.
9．2
2
1x y +=经过伸缩变换23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后所得图形的焦距（ ）
A
．B
．C ．4 D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】
由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3
x x y y '
⎧
=
⎪⎪⎨
'⎪=
⎪⎩
，代入22
1x y +=得22 149x y ''+=，
∴椭圆的焦距为=A ．
【点睛】
本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．
10．直线34100x y ++=和圆25cos 15sin x y θ
θ
=+⎧⎨=+⎩的位置关系是（ ）
A ．相切
B ．相离
C ．相交但不过圆心
D ．相交且过圆心
【答案】C 【解析】 【分析】
将圆的参数方程25cos ()15sin x y θ
θθ=+⎧⎨
=+⎩
为参数化成圆的普通方程，则可得其圆心，和半径r ，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线34100x y ++=的距离d ,再将距离d 与圆的
半径r 比大小即可解. 【详解】
解：由25cos 15sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩，得圆的普通方程为()()22
2125x y -+-=，
∴圆的圆心为()2,1，半径=5r ．
圆心到直线的距离4d =
=.
∵0d r <<，∴直线与圆相交但不过圆心． 故选：C ． 【点睛】
考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系，运用了点到直线的距离公式. 点到直线距离公式：点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离为：
d =.
11．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】
由题得2
2
(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或 故答案为C. 【点睛】
(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理
能力.(2) 求点的极坐标一般用公式
222
=
tan
x y
y
x
ρ
θ
⎧+
⎪
⎨
=
⎪⎩
,求极角时要先定位后定量
.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
求解.（3）本题容易漏掉220
x y
+=.
12．直线
12
2
x t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
（t是参数）被圆229
x y
+=截得的弦长等于（）
A．
12
5
B．
910
5
C．
92
5
D．
125
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长.
【详解】
直线
12
2
x t
y t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
（t是参数），消去参数化为普通方程：230
x y
-+=．
圆心()
0,0
O到直线的距离
5
d=，
∴直线被圆229
x y
+=截得的弦长
2
22
3125
229
5
r d
⎛⎫
=-=-=
⎪
⎝⎭
.
故选D．
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．如图，扇形的半径为1，圆心角150
BAC
∠=︒，点P在弧BC上运动，
AP mAB nAC
=+
u u u v u u u v u u u v
，则3m n
-的最大值是（）
A．1B3C．2D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
以A为原点可建立坐标系，设()
cos,sin
Pθθ，0150
θ
≤≤
o o；根据AP mAB nAC
=+
u u u v u u u v u u u v
可求得cos 3
sin 2sin m n θθθ
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩，从而得到()
32sin 60m n θ-=+o
，利用三角函数值域求
解方法可求得结果. 【详解】
以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：
设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ，则()0,0A ，()10B ,，312C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v
AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v Q 3
cos 21sin 2m n n
θθ⎧=-⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩
，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o
0150θ≤≤o o Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012
θ∴-≤+≤o
132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.
14．已知P 为曲线3cos 4sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数，0θπ剟
）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为
4
π
，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)
B ．3222⎝
C ．(-3,-4)
D ．1212,55⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】
设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，
∴3
tan 4
θ=，又0θπ剟
， ∴3sin 5θ=
，4cos 5
θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯
=，312
4sin 455
y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选D. 【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.
15．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极
坐标方程为sin 42a πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数，0θπ剟）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．(
C ．[1,1)-
D ．[1,1)-
【答案】D 【解析】 【分析】
先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】
因为曲线1C 的极坐标方程为sin ,42a πρθ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭即)ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.
消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：2
2
1x y +=，由于0θπ剟，故0y ≥
如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122
O l d a -=
=∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2 故选：D 【点睛】
本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
16．已知直线3:2x t l y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程2
2,y x l =与C 交于12,P P ，则
点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ） A ．43 B ．2(23)+
C ．4(23)
D ．83+
【答案】C 【解析】 【分析】
先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】
将直线l 参数方程化为3
122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(23
＋16＝0，
设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(23， t 1′t 2′＝16>0.
由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(23． 故答案为C 【点睛】
(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点
()00,P x y 下方时,0,|t t
PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定
要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.
17．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2
R π
θρ=
∈和cos 2ρθ=
C ．()2
R π
θρ=
∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=
【答案】B 【解析】 【分析】
利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出答案． 【详解】
如图所示，在极坐标系中圆2cos ρθ=是以(1,0)为圆心，1为半径的圆． 故圆的两条切线方程的普通方程分别为0,2x x ==， 所以圆的两条切线方程的极坐标方程分别为()2
R π
θρ=∈，cos 2ρθ=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查圆的极坐标方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用图象将切线的普通方程写出，再转化成极坐标方程. 正确理解是解题的关键
18．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于
（ ）
A ．625
B ．627
C 63-
D ．962-
【解析】 【分析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2
212
x
y +…，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，
222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9- 故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
19．在极坐标系中，与点8,6π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )
A ．8,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．58,6
π⎛⎫-
⎪⎝
⎭
C ．58,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
D ．8,6π⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案； 【详解】
点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈， 故点8,6π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
关于极点对称的点的一个坐标为78,
6
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭，即8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.
20．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅u u u v u u u v 的取值
A ．[]1,7
B ．[]1,7-
C
．1,3⎡+⎣ D
．1,3⎡-+⎣
【答案】A 【解析】 【分析】
结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解． 【详解】
解：设(),P x y
则由y =()221043x y y +=≥，
令2cos ,x y θθ==，[]
(0,θπ∈，
()1,2AP x y ∴=-+u u u v ，()1,2AB =u u u v
，
124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛
⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝
⎭u u u v u u u v ，
0θπ≤≤Q ，
7666
πππθ∴≤+≤， 1sin 126πθ⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭， 14sin 376πθ⎛
⎫∴≤++≤ ⎪⎝
⎭，
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.。