2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用学案苏教版选修1_1

3.3导数在研究函数中的应用
3．3.1 单 调 性
已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2
，y 3＝1x
.
问题1：试作出上述三个函数的图像． 提示：图像为
问题2：试根据上述图像说明函数的单调性．
提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2
在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y 3＝1
x
在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
问题3：判断它们导函数的正负． 提示：y 1′＝1>0；y 2′＝2x ， 当x >0时，y 2′>0，
当x <0时，y 2′<0，y 3′＝－1
x
2<0.
问题4：由问题2、3试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． 提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数，当f ′(x )<0时，f (x )为减函数． 问题5：试用y ＝e x ，y ＝e －x
说明函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：y ＝e x 的导函数y ′＝e x >0，所以y ＝e x 在R 上为增函数，y ＝e －x
的导函数y ′＝－e
－x
<0，所以y ＝e －x
在R 上为减函数．
一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有如下关系
1．函数的单调性与导数的关系可以利用导数的几何意义解释，导数大于零，切线的斜率大于零，函数单调增加；即该函数是增函数；反之，函数为减函数．
2．在某个区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件，若出现个别点的导数为零，不影响函数在该区间上的单调性．如f (x )＝x 3
，f ′(0)＝0，而f (x )＝x 3
在R 上是增函数．
[对应学生用书P49]
[例1] 求证函数f (x )＝sin x ＋tan x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内为增函数． [思路点拨] 先利用求导法则求出导数f ′(x )，再证明f ′(x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内恒正，得出结论．
[精解详析] ∵函数f (x )＝sin x ＋tan x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内恒有意义，且f ′(x )＝(sin x )′＋(tan x )′
＝cos x ＋
x
x －
x x
cos 2
x
＝cos x ＋1cos 2 x ＝1＋cos 3
x
cos 2
x . 又∵x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴0<cos x ≤1， ∴f ′(x )>0，
∴y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内为增函数． [一点通]
用导数判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增(减)的步骤： (1)求出y ＝f (x )的导数f ′(x )；
(2)证明导数y ＝f ′(x )在区间(a ，b )内恒正(恒负)； (3)下结论y ＝f (x )在区间(a ，b )内为增函数(减函数)．
1．已知函数y ＝f (x )，x ∈[0,2π]的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的单调增区间为________．
解析：根据f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，
f ′(x )<0时，f ′(x )单调递减，
由图得到x ∈[0，π]时，f ′(x )>0， 故y ＝f (x )的单调增区间为(0，π)． 答案：(0，π)
2．讨论下列函数的单调性： (1)f (x )＝x 3
＋ax ；
(2)f (x )＝a x －a －x
(a >0且a ≠1)． 解：(1)f ′(x )＝3x 2
＋a .
①当a ≥0时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增． ②当a <0时，f ′(x )＝3(x ＋－3a 3)(x －－3a 3)．易知当x ≤－－3a
3
时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增．
当－－3a 3<x <－3a
3时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 当x ≥
－3a
3
时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增． (2)∵函数f (x )的定义域为R ，
∴f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x
)ln a . ∴当a >1时，ln a >0，a x ＋a －x
>0，∴f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 当0<a <1时，ln a <0，a x ＋a －x
>0， ∴f ′(x )<0，
∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数.
[例2] 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 4
－2x 2
＋3； (2)f (x )＝3x 2－2ln x ； (3)f (x )＝x ＋b
x
(b >0)．
[思路点拨] 先确定定义域，再求导数f ′(x )．令f ′(x )>0或f ′(x )<0求得单调区间． [精解详析] (1)函数f (x )的定义域为R .
f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)＝4x (x ＋1)(x －1)．
令f ′(x )>0，则4x (x ＋1)(x －1)>0， 解得－1<x <0或x >1，
∴函数f (x )的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)， 令f ′(x )<0，则4x (x ＋1)(x －1)<0. 解得x <－1或0<x <1.
∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)． (2)函数的定义域为(0，＋∞)．
∵f ′(x )＝6x －2x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x ＝6⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33x
，
又∵x ＞0，∴令f ′(x )＜0，得0＜x ＜3
3
. 令f ′(x )＞0，得x ＞
33
. 所以函数f (x )＝3x 2
－2ln x 的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，33.
(3)函数的定义域为{x |x ≠0}．
f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2＝1x 2(x ＋b )(x －b )．
令f ′(x )>0，则1
x
2(x ＋b )(x －b )>0.
解之得x >b 或x <－b .
∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1
x
2(x ＋b )(x －b )<0，
解得－b <x <b ，且x ≠0，
∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )． [一点通]
求函数单调区间的步骤和方法： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导函数f ′(x )；
(3)令f ′(x )＞0，求得的区间再与定义域取交集后所得区间为函数f (x )的单调递增区间； (4)令f ′(x )＜0，求得的区间再与定义域取交集后所得区间为函数f (x )的单调递减区间．
3．若函数f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________．
解析：由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2
－2x －4x
，由f ′(x )>0
得x 2
－x －2>0，解得x <－1或x >2，又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
4．已知函数f (x )＝ln x ＋k
e x
(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．
(1)求k 的值；
(2)求f (x )的单调区间． 解：(1)由f (x )＝ln x ＋k
e
x
， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x
x e x
，x ∈(0，＋∞)，
由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝
1
x e x
(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，
当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x
>0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞).
[例3] 已知函数f (x )＝x 2
＋a x
(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．
[思路点拨] 先对函数求导，把问题转化为f ′(x )≥0在[2，＋∞)上恒成立问题．
[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a
x
2.
要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的． 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3
－a
x
2
≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∵x 2＞0，∴2x 3
－a ≥0，
∴a ≤2x 3
在x ∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a ≤(2x 3
)min .
∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3
是单调递增的， ∴(2x 3
)min ＝2×23
＝16，∴a ≤16.
当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3
－16
x
2
≥0(x ∈[2，＋∞))恒成立，有且只有f ′(2)＝0，满足f (x )在[2，＋∞)上单调递增．
∴a 的取值范围是a ≤16. [一点通]
(1)已知函数的单调性求参数的范围，是一种非常重要的题型，若函数f (x )在某个区间上单调递增，则f ′(x )≥0在该区间上恒成立；若函数f (x )在某个区间上单调递减，则f ′(x )≤0在该区间上恒成立．
(2)两个非常重要的转化，即
m ≥f (x )恒成立⇔m ≥f (x )max ； m ≤f (x )恒成立⇔m ≤f (x )min .
5．若f (x )＝－12(x －2)2
＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．
解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋b x
≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2
－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．
答案：(－∞，－1]
6．若函数f (x )＝x 3
＋x 2
＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0恒成立或
f ′(x )≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立，
法一：由上述讨论可知Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13，经检验，当m ＝1
3时，只有个别点使f ′(x )
＝0，符合题意，
所以实数m 的取值范围是m ≥1
3
.
法二：由上述讨论可知3x 2
＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2
－2x 恒成立．设g (x )＝－3x 2
－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋1
3
，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m 的取值范围是m ≥13.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，＋∞
1．当函数f (x )的单调性相同的区间不止一个时，不能用“∪”连接，要用“，”分开或用“和”连接．
2．利用分离参数法求解恒成立问题，要对等号单独验证．
[对应课时跟踪训练(十九)]
1．函数y ＝12x 2
－ln x 的单调递减区间为________．
解析：y ′＝x －1x ＝x 2
－1
x
＝
x －
x ＋
x
，
令y ′≤0，∵x >0，∴0<x ≤1，
∴函数y ＝12x 2
－ln x 的单调减区间是(0,1]．
答案：(0,1] 2．函数f (x )＝
x
ln x
的单调递减区间是________． 解析：令f ′(x )＝ln x －1
ln 2
x <0，解得0<x <e ， 又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， 所以函数f (x )＝x
ln x 的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．
答案：(0,1)，(1，e)
3．(浙江高考改编)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是________．
解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．
答案：②
4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k
3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________．
解析：h ′(x )＝2＋k x
2，由h (x )在(1，＋∞)上是增函数，知h ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．
h ′(x )＝2x 2
＋k
x
2，当k ≥0时，显然h ′(x )≥0成立．
当k <0时，由h ′(x )≥0⇒－k ≤2x 2，而2x 2
>2， 即－k ≤2，∴k ≥－2，∴－2≤k <0. 答案：[－2，＋∞)
5．已知函数f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )．则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －
f (x )<0的解集为________．
解析：令φ(x )＝
f x x ，则φ′(x )＝xf
x －f x
x 2
<0.
∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，
又x 2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x <f (x )，∴xf ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x <
f x
x
. 即f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1x 1x
<f x x ，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <φ(x )． 故1
x
>x .又∵x >0，∴0<x <1.
答案：(0,1)
6．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2
＋ax .讨论f (x )的单调性．
解：f ′(x )＝x 2
＋2x ＋a ＝(x ＋1)2
＋a －1.
①当a ≥1时，f ′(x )≥0，当且仅当a ＝1，x ＝－1时，
f ′(x )＝0，所以f (x )是R 上的增函数．
②当a <1时，f ′(x )＝0有两根x 1＝－1－1－a ，
x 2＝－1＋1－a .
当x ∈(－∞，－1－1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(－1－1－a ，－1＋1－a )时，
f ′(x )<0，f (x )是减函数；
当x ∈(－1＋1－a ，＋∞)时，
f ′(x )>0，f (x )是增函数．
7．已知函数f (x )＝2ax －1
x
2，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求实数a 的取值范
围．
解：由已知得f ′(x )＝2a ＋2
x
3，
∵f (x )在(0,1]上单调递增，
∴f ′(x )≥0，即a ≥－1
x
3在x ∈(0,1]上恒成立．
令g (x )＝－1x 3，而g (x )＝－1
x
3在(0,1]上单调递增，
∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1. 当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2
x
3.
对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.
∴a ＝－1时，f (x )在(0,1]上为增函数． ∴综上，f (x )在(0,1]上为增函数， 实数a 的取值范围是[－1，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝
ax －6
x 2＋b
的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0， (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．
解：(1)由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0， 知f ′(－1)＝－1
2，且－1＋2f (－1)＋5＝0，
即f (－1)＝－2，－a －6
1＋b
＝－2，①
又f ′(x )＝
a x 2＋
b －2x ax －
x ＋b ，
所以
a
＋b ＋－a －
＋b 2
＝－12
.②
由①②得a ＝2，b ＝3.
(因为b ＋1≠0, 所以b ＝－1舍去) 所以所求函数解析式是f (x )＝2x －6
x 2＋3.
(2)由(1)可得f ′(x )＝－2x 2
＋12x ＋6
x 2＋2
.
令－2x 2
＋12x ＋6＝0，解得x 1＝3－23，x 2＝3＋23，则当x <3－23或x >3＋23时，
f ′(x )<0，
当3－23<x <3＋23时，f ′(x )>0， 所以f (x )＝2x －6
x 2＋3
的单调递增区间是
(3－23，3＋23)；单调递减区间是(－∞，3－23)和(3＋23，＋∞)．
3．3.2 极大值与极小值
函数y＝f(x)的图像如图所示：
问题1：函数y＝f(x)在a，b，c，d，e，f等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
提示：以a，b两点为例，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，而在点x＝b的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大．同理，在c，d，e，f处的函数值比它在该点附近其他点的函数值都大或都小．
问题2：y＝f(x)在这些点的导数值是多少？
提示：导数值为0.
问题3：在这些点附近y＝f(x)的导数的符号有何规律？
提示：在这些点的左右两侧导数符号相反．
1．极大值与极小值的定义
设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，若f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值；若f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值．
极大值和极小值统称为极值．
2．极大值与导数的关系
增减
3．极小值与导数的关系
减增
1．函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．
2．由函数极值的定义知，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值．
3．若函数在某区间内有极值，则函数在该区间内不单调．
[对应学生用书P51]
[例1] 求函数y＝x4－4x3＋5的极值
[思路点拨] 先求f′(x) 和使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．
[精解详析] y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.
[一点通] 求函数y＝f(x)的极值的方法：
(1)求导数f′(x)；
(2)令f′(x)＝0，求出使f′(x)＝0的各个值x0；
(3)检验x0左右两侧导函数的符号，
①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；
③如果在x0左右两侧导数符号相同，那么f(x0)不是极值．
(4)求出极大(小)值．
1．求函数y ＝3x 3
－x ＋1的极值．
解：y ′＝9x 2
－1，令y ′＝0，得x 1＝13，x 2＝－13.
当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：
因此，当x ＝－13时，y 有极大值，且y 极大值＝11
9；
当x ＝13时，y 有极小值，且y 极小值＝7
9
.
2．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋3
2x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直
于y 轴．
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋3
2
x ＋1， 故f ′(x )＝a x －
12x 2＋3
2
. 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋3
2
＝0，
解得a ＝－1.
(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋
12x ＋3
2
x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2
－2x －1
2x
2
＝x ＋
x －
2x
2
.
令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－1
3不在定义域内，舍去)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.
[例2] 已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝1处取得极值10，求常数a 、b 的值． [思路点拨] 由于函数f (x )在x ＝1处有极值10，可得f ′(1)＝0且f (1)＝10，由此列出方程组求a ，b 的值，但还要检验求出的a ，b 的值是否满足函数取得极值的条件．
[精解详析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
依题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
f
＝10，
f ＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋a ＋b ＋a 2
＝10，
3＋2a ＋b ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧ a ＝4，
b ＝－11或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝3，
但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2
－6x ＋3≥0， 故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝3
不符合题意，舍
去；而当⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝－11
时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.
[一点通] 根据函数极值情况，逆向应用确定参数值时应注意：①用待定系数法，列方程或方程组求解；②由于导数值为零不是该点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性．
3．已知f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，f (x )在点x ＝0处取得极值，则实数b 的值为________． 解析：由于f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，f (x )在点x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，解得b ＝0.
答案：0
4．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2
＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，
求b ，c 的值．
解：f ′(x )＝－x 2
＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－
4
3
，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
f ＝－1＋2b ＋c ＝0，
f ＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－4
3
.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝1，
c ＝－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝－1，
c ＝3.
若b ＝1，c ＝－1，
则f ′(x )＝－x 2
＋2x －1＝－(x －1)2
≤0， 此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3， 则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0，
故当x ＝1时，f (x )有极大值－4
3.
所以b ＝－1，c ＝3即为所求.
[例3] 已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3
＋3x ＋a . (1)求函数f (x )的极值，并画出其图像(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？
[思路点拨] (1)利用求函数极值的方法，直接求解，然后由单调性和极值画出图像；(2)将方程根的问题转化为函数图像与x 轴交点的问题．
[精解详析] (1)由f (x )＝－x 3
＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2
＋3，
令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.
所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.
由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图像，如图所示．这里，
极大值a ＋2大于极小值a －2.
(2)结合图像知，当极大值a ＋2＝0或极值a －2＝0时，曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根，所以a ＝±2.
[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化以及函数与方程的思想，分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
5．若函数f (x )＝13x 3＋12
ax 2
＋2bx ＋c ，当x ∈(0,1)时函数取得极大值，当x ∈(1,2)时函
数取得极小值，试求
b －2
a －1
的取值范围． 解：由已知得f ′(x )＝x 2
＋ax ＋2b ，由于当x ∈(0,1)时函数取得极大值，当x ∈(1,2)时函数取得极小值，所以方程f ′(x )＝0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，即函数y ＝f ′(x )的图像如图所示．
所以有⎩⎪⎨⎪
⎧
f ，f
，f
，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
2b >0，a ＋2b ＋1<0，2a ＋2b ＋4>0，
在平面直角坐标系中画出该不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)， 其中A (－3,1)，B (－2,0)，C (－1,0)，设P (a ，b )为可行域内
一点，D (1,2)，则
b －2
a －1
的几何意义为直线PD 的斜率，由图可知k AD <k PD <k CD ，
故14<b －2a －1
<1. 6．设a 为实数，函数f (x )＝x 3
－x 2
－x ＋a . (1)求f (x )的极值；
(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2
－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－1
3，或x ＝1.
当x 变化时f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5
27
＋a ，
极小值是f (1)＝a －1.
(2)函数f (x )＝x 3
－x 2
－x ＋a ＝(x －1)2
(x ＋1)＋a －1， 由此可知x 取足够大的正数时有f (x )>0，
x 取足够小的负数时有f (x )<0，
所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，
结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值5
27
＋a <0，
即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527时，它的极小值也小于0， 因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 它在(1，＋∞)上；
当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时， 它的极大值也大于0，
因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 它在⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－13上． 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，
曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．
1．对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点，极值点的导数一定为零．即在某点的导数为零是该点为极值点的必要不充分条件．
2．函数的极值是一个局部概念，极大值和极小值大小关系不确定．
[对应课时跟踪训练(二十)]
1．关于函数的极值，有下列说法： ①导数为零的点一定是函数的极值点， ②函数的极小值一定小于它的极大值，
③f (x )在定义域内最多只能有一个极大值或一个极小值，
④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 其中错误的是________．(把你认为错误的序号都写出来)
解析：由导数与极值的关系及极值定义可知：①②③错误，④正确． 答案：①②③
2．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在区间(a ，b )上的图像如图所示，则函数y ＝f (x )在(a ，b )上极大值点的个数为________．
解析：极大值点在导函数f ′(x 0)＝0处，且满足x 0左侧为正，右侧为负，由图像知有3个．
答案：3
3．函数f (x )＝ax 3
＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝
________.
解析：∵f ′(x )＝3ax 2
＋b ， 又当x ＝1时有极值－2， ∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0，
① a ＋b ＝－2.
②
联立①②，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－3.
答案：1，－3
4．(福建高考改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．
①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 解析：不妨取函数f (x )＝x 3
－x ，则x ＝－
33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2
，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图像与f (x )的图像关于原点对称，由函数图像的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.
答案：④
5．已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2
－2x ＋m 的图像不经过第四象限，则实数m 的取值范围是
________．
解析：f ′(x )＝x 2
＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 令f ′(x )>0，得x <－2或x >1，
f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上为增函数，在(－2,1)上为减函数．
若不经过第四象限，则f (1)≥0，得13＋1
2－2＋m ≥0，
∴m ≥76.
答案：m ≥7
6
6．求函数f (x )＝x 3
－12x 的极值． 解：函数f (x )的定义域为R .
f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
从表中可以看出，当x ＝－2时，函数有极大值， 且f (－2)＝(－2)3
－12×(－2)＝16.
当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23
－12×2＝－16. 7．已知x ＝4是函数f (x )＝a ln x ＋x 2
－12x ＋11的一个极值点． (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝a x
＋2x －12. ∵x ＝4是函数f (x )的一个极值点， ∴f ′(4)＝a
4
＋2×4－12＝0，a ＝16.
(2)由(1)知f (x )＝16ln x ＋x 2
－12x ＋11(x >0)， f ′(x )＝16
x
＋2x －12＝
x 2－6x ＋
x
＝
x －
x －
x
，
由
x －
x －
x
>0，得x <2或x >4，又x >0，
∴当x ∈(0,2)或x ∈(4，＋∞)时，f (x )单调递增． 由
x －
x －
x
<0得2<x <4.
∴当x ∈(2,4)时，f (x )单调递减．
故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(4，＋∞)，单调递减区间是(2,4)． 8．设函数f (x )＝x 4
＋ax 3
＋2x 2
＋b ，a ，b ∈R . (1)当a ＝－10
3
时，讨论函数f (x )的单调性；
(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，试求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝4x 3
＋3ax 2
＋4x ＝x (4x 2
＋3ax ＋4)，
当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2
－10x ＋4)
＝2x (2x －1)(x －2)，
令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1
2
，x 3＝2，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：
所以f (x )在(0，1
2)和(2，＋∞)上是增函数，
在区间(－∞，0)和(1
2，2)上是减函数．
(2)f ′(x )＝x (4x 2
＋3ax ＋4)，
显然x ＝0不是方程4x 2
＋3ax ＋4＝0的根． ∵f (x )仅在x ＝0处有极值，
∴方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a 2
－4×16≤0，解得－83≤a ≤83
，
这时，f (0)＝b 是唯一极值，因此满足条件的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－83，83.
3．3.3 最大值与最小值
假设函数y ＝f (x )、y ＝g (x )、y ＝h (x )在闭区间[a ，b ]内的图像都是一条连续不断的曲线(如下图所示)．
问题1：这三个函数在[a ，b ]上一定能取得最大值与最小值吗？ 提示：能．
问题2：若y ＝h (x )在开区间(a ，b )上是一条连续不断的曲线，那么它在(a ，b )上一定有最值和极值吗？
提示：没有最值，也没有极值．
问题3：函数的极值是否一定是函数的最值？ 提示：不一定．
1．最大值和最小值
如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≤f (x 0)，那么f (x 0)为函数f (x )在定义域上的最大值．
如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x )≥f (x 0)，那么f (x 0)为函数f (x )在定义域上的最小值．
2．求f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值可以分两步 第一步，求f (x )在区间(a ，b )上的极值；
第二步，将第一步中求得的极值与f (a )，f (b )比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．
1．函数的最值是一个整体性的概念．是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
2．函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有．例如：常数函数既没有极大值也没有极小值．
[对应学生用书P54]
[例1] 求函数f (x )＝4x 3
＋3x 2
－36x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值． [思路点拨] 先求f ′(x )，令f ′(x )＝0求得极值及端点值，最后比较大小得最值． [精解详析] 法一：∵f (x )′＝12x 2
＋6x －36
＝6(2x 2
＋x －6)，令f (x )′＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32.
又f (－2)＝57，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－1154，f (2)＝－23，
∴函数的最大值为57，最小值为－115
4
.
法二：∵f (x )′＝12x 2
＋6x －36＝6(2x 2
＋x －6)， 令f (x )′＝0，则x 1＝－2，x 2＝3
2
.
∴当x ＝－2时，f (x )有最大值为57， 当x ＝32时，f (x )有最小值为－115
4.
[一点通]
求解函数在闭区间上的最值，必须注意以下几点： (1)对函数进行正确求导；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和函数端点值； (3)比较极值与端点值的大小，确定最值．
1．求函数f (x )＝x 3
－2x 2
＋1在区间[－1,2]上的最值． 解：f ′(x )＝3x 2
－4x ，令f ′(x )＝0，则x 1＝0，x 2＝43.
当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下：
由上表可知f (x )的最大值为1，最小值为－2. 2．已知函数f (x )＝x 2
－12x 4，求函数的最值．
解：f ′(x )＝2x －2x 3
，解方程2x －2x 3
＝0， 得x ＝0或x ＝±1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
根据上表，结合函数的单调性和极值，画出函数的大致图像如图所示．
根据图像可知函数有最大值，且f (x )最大值＝f (－1)＝f (1)＝1
2，没有
最小值.
[例2] 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2
(x －a )．
(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．
[思路点拨] 解答本题可先对函数求导，然后根据a 的不同取值范围，讨论确定f (x )在区间[0,2]上的最大值．
[精解详析] (1)f ′(x )＝3x 2
－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，
所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a
3.
当2a
3
≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . 当
2a
3
≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，
从而f (x )max ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
8－4a
a ，
a
综上所述，f (x )max ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
8－4a
a ，
a
[一点通] 求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点和端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可．最后再将讨论的情况进行合并整理．
3．设函数f (x )＝x 3
－3ax ＋b (a ≠0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．
解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
＝0，f ＝8，
即⎩
⎪⎨
⎪
⎧
－a ＝0，8－6a ＋b ＝8，
解得a ＝4，b ＝24.
(2)f ′(x )＝3(x 2
－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．
当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化状态如下表：
因此，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调递减区间为(－a ，
a )，此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．
4．设a >0，函数f (x )＝
a ln x
x
. (1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)求函数f (x )在区间[a,2a ]上的最小值． 解：(1)函数的定义域是(0，＋∞)， 又f ′(x )＝a ·1－ln x
x
2
， 当a >0时，由f ′(x )＝a ·1－ln x x
2
>0，得0<x <e ； 由f ′(x )＝a ·1－ln x x
2
<0，得x >e.
故函数在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．
(2)①当2a ≤e，即a ≤e
2时，由(1)知，函数在[a,2a ]上单调递增，∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ；
②当a ≥e 时，由(1)知，函数在[a,2a ]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2a )＝1
2
ln(2a )；
③当e
2
<a <e 时，需比较f (a )与f (2a )的大小，
由于f (a )－f (2a )＝ln a －12ln (2a )＝1
2(ln a －ln 2)，
∴当e
2<a ≤2时，f (a )≤f (2a )，
此时f (x )min ＝f (a )＝ln a ； 当2<a <e 时，f (a )>f (2a )， 此时f (x )min ＝f (2a )＝1
2ln(2a )．
综上所述：f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ln a a ，
1
2a a
[例3] 设函数f (x )＝tx 2
＋2t 2
x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；
(2)若h (t )<－2t ＋m ，对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)可通过配方求函数f (x )的最小值；
(2)h (t )<－2t ＋m ，即m >h (t )＋2t 恒成立，从而可转化为求h (t )＋2t 的最大值问题． [精解详析] (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2
－t 3
＋t －1(x ∈R ，t >0)，
∴当x ＝－t 时，f (x )取得最小值f (－t )＝－t 3
＋t －1，即h (t )＝－t 3
＋t －1. (2)令g (t )＝h (t )＋2t ＝－t 3
＋3t －1. 则g ′(t )＝－3t 2
＋3＝－3(t －1)(t ＋1)． 令g ′(t )＝0，得t 1＝1，t 2＝－1(舍去)． 列表：
由表可知，g (t )在(0,2)内有最大值1.
∵h (t )<－2t ＋m 在(0,2)内恒成立等价于m >g (t )在(0,2)内恒成立． ∴m >1.即实数m 的取值范围是(1，＋∞)．
[一点通] 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．
一般地，λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .
5．设函数f (x )＝x 3
－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]都有f (x )<m 成立，求实数m
的取值范围．
解：f ′(x )＝3x 2
－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1.
∵当x <－2
3或x >1时，f ′(x )>0，
当－2
3
<x <1时，f ′(x )<0，
∴y ＝f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)上为增函数， 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1上为减函数，
∴f (x )在x ＝－2
3
处取得极大值，在x ＝1处取得极小值．
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝
15727
，f (1)＝72，f (2)＝7，f (－1)＝112.
∴f (x )在[－1,2]上的最大值为7.
若对于任意x ∈[－1,2]都有f (x )<m 成立，则m 的取值范围为(7，＋∞)． 6．已知f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－2时，都取得极值． (1)求a 、b 的值；
(2)若x ∈[－3,2]时都有f (x )>2c －1
2
恒成立，求c 的取值范围．
解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，根据题意有⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
＝0，f －
＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
3＋2a ＋b ＝0，12－4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝32
，
b ＝－6.
(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2
＋3x －6，令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )、
f (x )变化情况如下表：
∴f (x )在[－3,2]上的最小值为c －7
2，
即2c －12<c －7
2
，∴c <－3.
即实数c 的取值范围是(－∞，－3)．
1．极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值未必有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在定义区间端点取得，必定是极值．
2．在闭区间[a ，b ]上连续的函数必有最大值和最小值；但在开区间(a ，b )上连续的函数不一定有最大值和最小值，如f (x )＝1
x
在(0，＋∞)上连续，但没有最值．
[对应课时跟踪训练(二十一)]
1．函数f (x )＝13x 3＋12x 2
－2x ＋3，x ∈[－3,4]的最大值为________，最小值为________．
解析：f ′(x )＝x 2
＋x －2＝(x ＋2)(x －1) 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－2.
∵f (－3)＝92，f (－2)＝193，f (1)＝116，f (4)＝73
3，
∴f (x )max ＝733，f (x )min ＝11
6
.
答案：733 116
2．若关于x 的不等式x 2
－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设y ＝x 2
－4x ，y ′＝2x －4，令y ′＝0，得x ＝2.∴y ＝x 2
－4x 在(－∞，2)上是减函数，即在x ∈[0,1]上也是减函数，
∴y min ＝12
－4＝－3，∴m ≤－3. 答案：(－∞，－3]
3．函数f (x )＝e x
sin x 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．
解析：f ′(x )＝e x
(sin x ＋cos x )．
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )>0，
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝e π
2.
答案：[0，e π
2
]
4．已知函数f (x )＝x 3
－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a >1)在区间[－1,1]上的最大值为1，
最小值为－2，则f (x )的解析式为________．
解析：f ′(x )＝3x 2
－3ax ＝3x (x －a )， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝a .
当x ∈[－1,0]时，f ′(x )≥0，f (x )单调增， 当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0，f (x )单调减． ∴f (x )max ＝f (0)＝b ＝1.
∵f (－1)＝－32a ，f (1)＝2－3
2a ，
∴f (x )min ＝f (－1)＝－3
2
a ，
∴－32a ＝－2，即a ＝43.∴f (x )＝x 3－2x 2
＋1.
答案：f (x )＝x 3
－2x 2＋1
5．函数f (x )＝－x 3
＋mx 2
＋1(m ≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．
解析：f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝x (－3x ＋2m )．
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2m
3.
∵x ∈(0,2)，∴0<2m
3<2，∴0<m <3.
答案：(0,3)
6．已知函数f (x )＝－x 3
＋3x 2
＋9x ＋a ，若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：f ′(x )＝－3x 2
＋6x ＋9.令f ′(x )＝0，即－3x 2
＋6x ＋9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由此得f (2)，f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值， ∴f (2)＝22＋a ＝20，∴a ＝－2， 从而得函数f (x )在[－2,2]上的最小值为
f (－1)＝－5＋a ＝－7.
7．已知函数f (x )＝ax 4
ln x ＋bx 4
－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2
恒成立，求c 的取值范围．
解：由题意知f (1)＝b －c ＝－3－c ， 因此b ＝－3. 对f (x )求导，得
f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1
x
＋4bx 3
＝x 3
(4a ln x ＋a ＋4b )． 由题意知f ′(1)＝0， 得a ＋4b ＝0，解得a ＝12， 从而f ′(x )＝48x 3
ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.
当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ， 并且此极小值也是最小值． 所以要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，
只需－3－c ≥－2c 2
即可．
整理得2c 2
－c －3≥0，解得c ≥32
或c ≤－1.
所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞. 8．已知函数f (x )＝ax 3
＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f (x )＝ax 3
＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2
＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，
故有⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
＝0，
f ＝c －16，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩
⎪⎨
⎪⎧
12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，
解得a ＝1，b ＝－12.
(2)由(1)知f (x )＝x 3
－12x ＋c ；
f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．
令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 1＝2处取得极小值f (2)＝c －16.
由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12.
此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，
f (2)＝－16＋c ＝－4，
因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.。