理论力学力系的平衡

A
FBC
30o
FAB
G
2. 再选取 点为研究对象，它的受力图如图所示。 再选取C点为研究对象 它的受力图如图所示。 点为研究对象， 这是一空间汇交力系，作直角坐标系 这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，把力系中各力 ， 投影到Axy平面和 轴上。 平面和Az轴上 投影到 平面和 轴上。 先列出对Az轴的投影方程 先列出对 轴的投影方程 ∑Fz = 0,
M2
z
M
M3
M1
45° ° 45° °
y
4. 为使这个刚体平衡，需加一力偶， 为使这个刚体平衡，需加一力偶， 其力偶矩矢为 M4= －M 。
建立如图坐标系Bxyz， 其中 轴平分 ∠ CBD。 由于 轴平分∠ 建立如图坐标系 ， 其中y轴平分 。 由于ABCD是 是 解： 正棱锥，所以 与 的夹角为θ。 正棱锥，所以AB与y 轴 的夹角为 。
1.取球铰链 为研究对象 受力分析如图。 1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。 取球铰链 为研究对象, 为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Bxy上投影，然后 上的投影，可先向坐标面 上投影， 为求各力在轴 上的投影 上投影 再向轴上投影。 再向轴上投影。 各力在坐标面Bxy上投影 上投影 各力在坐标面
3.合力偶矩矢M 的大小和方向。 .合力偶矩矢 的大小和方向。
2 2 2 M = Mx + My + Mz = 42.7 N⋅ m
Mx ( cos( M, i) = = 0, ∠ M, i) = 90° M My ( cos( M, j) = = 0.262, ∠ M, j) = 74.8° M Mz ( cos( M, k) = = 0.965, ∠ M, k) =15.2° M
x
F sin 30° − F sin 30° = 0 BC BD
F cos 30° + F cos 30° + F cosθ = 0 BC BD BA
∑F = 0,
y
∑F = 0, FBAsin θ + FB = 0
z
联立求解得
F F = F =− BA AB 3sin θ
F F = B 3
3F F =F = cot θ BC BD 9
解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到 点。 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点
Mx = −M3 − M4 cos 45o − M5 cos 45o = −193.1 N⋅ m
可得
My = −M2 = −80 N⋅ m Mz = −M1 − M4 cos 45o − M5 cos 45o = −193.1 N⋅ m
AC 5
y
F′D C
45o
A
F′′ = F′ sin 60o BC BC
F′ = F sin 50.2o CD CD
45o
F′E C
F′′ BC
x
F′ = F sin 50.2o CE CE
列平衡方程
F = 0, F′E sin 45o − F′D sin 45o = 0 ∑x C C
z
F = 0, F′ − F′D cos 45o − F′E cos 45o = 0 ∑y BC C C
F′ = F cosθ AB AB
F′ = F cosθ AC AC
F′ = F cosθ AD AD
（顶视图 顶视图） 顶视图
上的投影： 力FAC 和 FAD 在轴 x，y上的投影 上的投影
F x = F cosθ cos 30 , AC AC
o
F y = F cosθ sin 30o AC AC
静不定问题不可解在求解刚体系统的平衡问题时通常根据问题的需要选取整体单个或局部刚体作为研究对象把其他部分对研究对象的约束用约束反力代替暴露研究对象称为分离体在根据作用于其上的力系特点建立平衡方程
力的平衡
当一个力系的简化结果与一个零力系 零力系（主矢等于零；主矩等于零) 零力系 等效时，称这个力系是平衡力系。 1）平衡力系与简化中心无关。 2）力系平衡与物体平衡并不完全相同。 物体平衡是指物体静止或处于匀速直线运动状态。当物体平 衡时，作用其上的力系必是平衡力系；但依据“加减平衡力系 公理”，一个平衡力系并不能保证物体平衡，只能维持其原有 运动状态不变。 平衡力系所满足的条件称为平衡条件 平衡条件 表示力系平衡条件的数学方程称为平衡方程 平衡方程
z
F′ 2
F2 F3
O y
F1
x
F′ 3 F′ 1
.画出各力偶矩矢。 解：1.画出各力偶矩矢。 2.合力偶矩矢M 的投影。 Mx = M1x + M2x + M3x = 0 .合力偶矩矢 的投影。 My = M1y + M2y + M3y =11.2 N⋅ m
Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 N⋅ m
∑m
ix
= 0; ∑ m iy = 0; ∑ m iz = 0
三轴三影式
空间一般力系独立平衡方程为6个 空间一般力系独立平衡方程为 个，可以 求解6个未知力 个未知力。 求解 个未知力。
Z
Fz 方程的建立并不唯一。 方程的建立并不唯一。投影轴或矩轴 也可以斜交，但需保证方程的独立性。 也可以斜交，但需保证方程的独立性。 Mz 巧妙地选取投影轴或矩轴， 巧妙地选取投影轴或矩轴，使列出 Fy Mx 的方程只有一个未知量。所列方程 的方程只有一个未知量。 O Fx My 肯定独立。 肯定独立。
B
C
α
α
30o
D
60o
5m
45o
G E
45o
A
1. 先取滑轮B为研究对象 注意，起重杆AB为桁架构件 两端铰接， 为研究对象。 为桁架构件， 解： 先取滑轮 为研究对象。注意，起重杆 为桁架构件，两端铰接，不 计自重，它是一个二力构件，把滑轮 简化为一点 它的受力图如图所示。 简化为一点， 计自重，它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，它的受力图如图所示。 这是一平面汇交力系， 这是一平面汇交力系，列平衡方程
F1
α
3.联立求解。 联立求解。 联立求解 FA G
y
z E
F1
30o
A
x
F = F = 3.54 kN 1 2 FA = 8.66 kN
F
B
α
FA G
A
y
空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C 空间铰接结构形如正角锥 ， 各棱边与底面都成倾角 处是活动球铰链支座， 处是固定球铰链支座 顶点A的球铰链承 处是固定球铰链支座。 处是活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点 的球铰链承 受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。 不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。 受载荷 不计各杆自重
−(F + F + F )sin θ − F = 0 AC AD AB
∑F = 0,
z
3.联立求解。 .联立求解。
F F = F =F =− AB AC AD 3sin θ
负号表示三杆都受压力。 负号表示三杆都受压力。
4.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。 .取球铰链B为研究对象,列平衡方程。
∑F = 0,
所以合力偶矩矢的大小
2 2 2 M = Mx + My + Mz = 284.6 N⋅ m
合力偶矩矢的方向余弦
co ( M i) = − .6 8 s , 0 7 6 co ( M j) = − .2 1 s , 0 8 1
co ( Mk) = − .6 8 s , 0 7 6
图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作 用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F ′1）的矩M1=20 N·m；力偶（F2， F ′2 ）的矩M2=20 N·m；力偶（F3 ，F ′3）的矩M3=20 N·m。试求合 力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
空间力系的平衡条件和平衡方程
空间力系平衡的充要条件是力系的主矢等于零；主矩等于零 空间力系平衡的充要条件是力系的主矢等于零；主矩等于零。
FR = ∑F = 0 i MO = ∑mO (Fi ) = 0
MO
Z
Fz
FR
Fy
Mz
O
Fx
X
Mx
My
Y
平衡方程的坐标投影式
∑F
ix
= 0 ; ∑ F iy = 0 ; ∑ F iz = 0
∑Fx = 0,
F cos 60o − F cos 30o = 0 AB BC
o o F = 0, FAB sin 60 − F sin 30 −G = 0 BC ∑y
解得: 解得
B C
α
α
30o
F =G = 20 kN, BC
FAB = 3G = 34.6 kN
y
D
60
o
5m
60o
B
x
G E
45o 45o
F y = F cosθ sin 30o AD AD
F = −F cosθ cos 30o, ADx AD
2.列平衡方程。 .列平衡方程。
∑F = 0,
x
F cosθ cos 30° − F cosθ cos 30° = 0 AC AD
∑F = 0,
y
F cosθ sin 30° + F cosθ sin 30° − F cosθ = 0 AC AD AB
F′ BC
z
FCD
α
α
60o
C
F′ cos60o + F − F D cosα − F E cosα = 0 BC AC C C
FCE
FAC
此力系在Axy平面上投影为一平面汇交力系， 平面上投影为一平面汇交力系， 此力系在 平面上投影为一平面汇交力系 其中： 其中： AD 6 α = arctan = arctan = 50.2°
（顶视图 顶视图） 顶视图
5.同理，再取球铰链C 和D为研究对象，可求得： .同理，再取球铰链 为研究对象， 为研究对象 可求得：
F F =F = C D 3
3F FD = cot θ C 9
桅杆式起重机可简化为如图所示结构。AC为立柱，BC，CD ， 和CE均为钢索，AB为起重杆。A端可简化为球铰链约束。设B点 滑轮上起吊重物的重量G=20 kN，AD=AE=6 m，其余尺寸如图。 起重杆所在平面ABC与对称面ACG重合。不计立柱和起重杆的自 重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。
ix
= 0; ∑ miy = 0; ∑ miz = 0;
3）空间平行力系 空间平行力系——设各力平行于Z轴，则力系对Z轴之矩恒 空间平行力系 等于零。而各力在x、y轴上的投影恒等于零。平衡方程
∑m
ix
= 0; ∑ miy = 0; ∑ Fiz = 0;
如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定 在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点 和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平 面与水平面间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的 重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。
∑F
z E C F
30o
x
= 0, = 0, = 0,
F sin 45o − F sin 45o = 0 1 2
D
F2
B
∑F ∑F
y
FA sin 30o − F cos 45o cos 30o − F cos 45o cos 30o = 0 1 2
z
F cos 45o sin 30o + F cos 45o sin 30o + FA cos 30o −G = 0 1 2
F′ BC
FCD
α
α
60o
由此解得
F sin 60o BC FD =FE = =15.9 kN C C o o 2sin 50.2 cos 45
C
FCE
FAC
FAC = 2F D cos 50.2o − F′ cos 60o =10.4 kN C BC
y
F′D C
45o
A
所求结果如下： 所求结果如下：
X
Y
空间力系的特殊情况 1）空间汇交力系 空间汇交力系——空间各力汇交于一点O。平衡方程 空间汇交力系
∑F
ix
= 0; ∑ Fiy = 0; ∑ Fiz = 0;
各力对O点之矩恒等于零，独立的平衡方程为3个，可以求解3个 未知力。 2）空间力偶系 空间力偶系——主矢恒等于零。平衡方程 空间力偶系
∑m
取杆AB与重物为研究对象 受力分析如图。 与重物为研究对象， 解： 1. 取杆 与重物为研究对象，受力分析如图。 空间汇交力系的平衡问题 属于空间汇交力系 属于空间汇交力系的平衡问题 其侧视图为 F2
z
30o
z E C F
D
B
E F
30o
F1
α
F1
B
FA
A
x
G
y
α
FA G
A
y
2. 列平衡方程。 列平衡方程。
F = 34.6kN AB
F =10.4 kN AC
F D = F E =15.9kN C C
45o
F′E C
F′′ BC
x
工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔， 工件如图所示 ， 它的四个面上同时钻五个孔 ， 每个孔所受的 切削力偶矩均为80 N·m。求工件所受合力偶的矩在 ，y，z轴上的 切削力偶矩均为 。求工件所受合力偶的矩在x， 轴上的 投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。 投影 并求合力偶矩矢的大小和方向。 并求合力偶矩矢的大小和方向