有限单元法的基本思想

有限元法分析流程

x

E 1 2

u x


v y

,


xy

E 2(1


)

v x

u y


y

E 1 2

v yLeabharlann u x
,

x
x
yx
y

fx
0, xy
x
y
y

fy
0
位移表示的平衡微分方程:
w
y u
z

y
0
z
0
y
0
x z
0
0


0

z
uv

0 w

y


x
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
物理方程
应力 ~ 应变
有限元法分析流程
x y

1
E 1
有限元法的基本思想总结弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章有限元法的基本思想总结离散化连续无限自由度离散有限自由度任意点的位移结点位移未知量表示为结点位移应力边界条件等效结点荷载建立平衡方程求出结点位移弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章弹性力学有关知识有限单元法的基本思想有限单元法分析流程弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章几何模型弹性力学有关知识有限元法基本思想有限元法分析流程第二章几何模型收集资料明确计算目的选择力学模型三维or二维确定模型范围?地形地质结构周边环境?确定可简化的内容?荷载结构法?地层结构法重要误差来源?是否可以简化为平面问题
第二章 有限元法的基本思想
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
弹性力学 有关知识
有限元法 基本思想
有限元法 分析流程
第二章
弹性力学有关知识
六大假设
有限元法基本思想
必要假定
有限元法分析流程
连续性
无初应力
完全弹性
基本假定
微小变形
均匀性
各向同性
第二章
弹性力学有关知识
主要物理量
荷载
Load

)

n(1

2nq

)]
R2 r2

(1


)(1
n)
n E(1 ) E(1 )
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限单元法
有限元法分析流程
离散为单元内近似函数
近似函数
等效积分形式
有限差分法
偏微分方程
解析法
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限单元法是什么？
有限元法分析流程
弹性力学 有关知识
有限元法的 基本思想
有限元法 分析流程
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
求解位移表示的偏微分方程组，使其满足边界条件。
E
1 2
2u ( x2
1
2
2u y 2
1
2
2v ) xy
fx

0
E
1 2
15 = 15
平衡方程：3 几何方程：6 物理方程：6
基本未知量
stresses 力法 Displacements 位移法 stress, displacements 混合法
第二章
弹性力学有关知识
平面问题
任何物体 都是三维的， 不存在真正 的平面问题!
有限元法基本思想
有限元法分析流程
平面 应变
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
应力 Stress
z
z
zx
zy
xz xy x
yz
yx y y
第一主应力
1
2
第三主应力
3
第二主应力 x
Stress Normal Stress: σx、σy、σz
Shear Stress: τxy、τyz、τzx
Principal stress: σ1、σ2、σ3
只在平面内有应变 εz=0, σz≠0
有限元法分析流程
几何形状 • 很长的柱形体 • 横截面大小和形状沿轴线长度不变；
边界条件 • 作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变。
第二章
弹性力学有关知识
平面问题
有限元法基本思想
有限元法分析流程
平衡方程：2 几何方程：3 物理方程：3
Stress：3 σx σy τxy
α1 α4

α2 x α5 x

α3 α6
y y
应变
x 2， y 6， xy 3 5
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
虚功原理 ——建立等效积分形式的平衡方程
变形体中满足平衡的力系在任意 满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零，即体系外力的虚功与内力的 虚功之和为零。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
位移 Displacement
矢量，物体质点的位置变化
Displacement
x axis: u y axis: v
z axis: w
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
变形 Deformation
变形
位移
形变
应变 Strain

x


y
xzy



x v
y w
z u v


x
0

0




yz

zx
y x
v wz x

应变 Strain
z εz
γyx
γzy
γyz
εy
γxz γxy εx
εy
γyx y
有限元法分析流程
Strain
x
εz
Normal Strain:εx、εy、εz Shear Strain : γxy 、γyz 、γzx
Principal strain: ε1、ε2、ε3
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法基本思想
应变 Strain
有限元法分析流程
应力 Stress
位移 Disp.
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
荷载 Load
外界作用在弹性体上的力，又称为外力 。
外力
体力 面力
{Pv}={pvx pvy pvz}T {Ps}={ psx psy psz}T {Pc}={ pcx pcy pcz}T
物体由于荷载引起形变时，物体内微元体的形状 和尺寸的相对改变。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
应变 Strain
ydy
z
z
γyz
dz dx
dy
O
y
O
y
x
x
单元体任一边的线长度的相对改变称为正应变； 单元体任意两边所夹直角的改变称为切应变。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
x xy
x
xy y
y y

xz z yz
z

pvx pvy
0 0
xz x
yz y
z z

pvz
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
几何方程
应变 ~ 位移
u
Wext Wint
V uT PV dV
S uT PS dS
分布力 集中力
有限元法分析流程
第二章
弹性力学有关知识
应力 Stress
有限元法基本思想
有限元法分析流程
物体受荷载而变形时，在物 体内各部分之间产生相互作用的 内力，以抵抗荷载作用，并力图 使物体回复到变形前的位置。
把内力在截面上某一点的集度称为应力。 即单位面积上的内力 。单位：N/m2
第二章
位移表示的平衡微分方程:
E 2u 1 2u 1 2v
1 2 ( x2
2
y2
2
) xy
fx

0
E
1 2
2v ( y2
1
2
2v x 2
1
2
2u ) xy
fy

0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
E
1 2
2u ( x2
1
2
2u y 2
1
2
2v ) xy
fx

0
E
1 2
2v ( y2
1
2
2v x 2
1
2
2u ) xy
fy

0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
位移表示的边界条件:
= 8 8 Strain： 3 εx εy γxy
Disp. ： 2 u v
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
x y

u
x v
y

xy

v x

u y
x


E
1 2
( x

y )
y


E
1 2
( y
15个基本未知量
荷载
应力 应变 位移
{Pc}={ pcx pcy pcz}T {Ps}={ psx psy psz}T {Pv}={pvx pvy pvz}T
{σ}={σx σy σz τxy τyz τzx }T {ε}={εx εy εz γxy γyz γzx }T
{d}={u v w}T
有限元法分析流程
近似位移分布
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
插值—单元形函数
.
. DOF值二次分布
线性插值
..
加密单元后线性插值
.. . . .
二次近似
..
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
近似位移分布
形函数应能反映相邻单元的连续性， 以及刚体位移和常量应变。
u v

平面 应力
三维问题
第二章
平面 应力
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
只在平面内有应力 σz=0, εz≠0
几何形状 • 很薄的等厚度薄板
边界条件 • 板面上没有任何面力或约束 • 板边上受平行于板面，且不沿厚度变化
的面力或约束
有限元法分析流程 y x
y z
第二章
平面 应变
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
节点 单元
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度并存在 相互物理作用。 自由度(DOFs) ：用于描述一个物理场的响应特性。
学科 结构 热 电 磁
自由度 位移 温度 电位 磁位
UY UZ
UY ROTY
UX ROTZ UZ
在给定面力的边界上满足：
yxxll11
xyl2 yl2

xz l3 yz l3

X Y

zxl1 zyl2 zl3 Z
有限元法分析流程
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
Stress：6 Strain： 6 Disp. ： 3
UX ROTX
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
有限元模型—节点与单元
单元: 一组节点自由度间相互作用的描述。 不同单元类型，结点自由度不同。
二维杆 二维梁 三维梁
两个自由度 UX UY
三个自由度 UX UY ROTZ
六个自由度 UX UY UZ ROTX
L
ROTY ROTZ
两个自由度 UX UY
三个自由度 UX UY UZ
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
具有公共节点的单元之间存在信息传递
. . . . . .. . 1node
2 nodes
. A. B. . A. B.
第二章
弹性力学有关知识
插值—单元形函数
有限元法基本思想
有限元法分析流程
真实位移分布
E
( x ( y
y z


z
)


x )

z

1 E
( z
x


y
)

xy

1 G

xy

yz

1 G

yz

zx

1 G

zx

第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
边界条件
在给定位移的边界上满足： u u， v v w w

x )

xy


E 2(1

)

xy
位移表示的应力：

x

E 1 2

u x


v y
,

xy

E 2(1


)

v x

u y


y

E 1 2

v y


u x
,
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
已知 未知
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
三大方程
平衡方程
应力 ~ 荷载
几何方程
应变 ~ 位移
物理方程
应力 ~ 应变
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
平衡方程
应力 ~ 荷载
有限元法分析流程
x

2v ( y 2
1
2
2v x 2
1
2
2u ) xy
fy
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
E,
E,
真实系统