结晶学第六讲—点群(2)

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固体物理-点群

转角的分反别映为面1，80º和120º，半共角2个为90º和60º
只包含旋转反演轴的点群。其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作群 —— 正四面体点群, 含有24个动操作
群 —— 正四面体点群的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
用
来描述
—— 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度 B点转到B′点 —— B′点必有一个格点
A和B两点等价——以通过B点的轴顺时针转过
A点转到A′ 点 —— A′点必有一个格点
且有
— n为整数
—— 任何晶体的宏观对称 1, 2, 3, 4, 6 性只能有以下十种对称素 1, 2, 3, 4, 6
2个二重轴2和2′
绕轴2的转动计为A 绕轴2′的转动计为B
—— 连续进行操作AB 轴上一点N回到原处，轴2转到2″的位置
A和B均为对称操作
—— 是对称操作
—— C的操作则是绕NN′轴转过角度2
300 , 450 , 600 , 900
理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
十种对称素
—— 长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列 —— 正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列
点群 —— 以10种对称素为基础组成的对称操作群
—— 由对称素组合成群时，对称轴的数目对称轴之间的夹角将受到严格的限制
两个2重轴之间的夹角只能是
—— 如果存在一个n 重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在n 个与之垂直的二重轴
§1.6 点群
—— 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性 —— 不同的形式原子排列形成的宏观对称性，对称操作也

2.2.3点群和空间群

该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操作。它既没有 4 次旋转轴也没有对称中心，不能分解成其他基本对称要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的，也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面就像一面镜子，把物体的两个相同的部分以互成镜像反映的关系联系起来。垂直于对称面作任意直线，位于直线两侧等距离的两点是性质完全相同的对应点晶体中如果存在有对称面，则必定通过晶体的几何中心并将晶体分为互成镜像反映的两个相同部分在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称要素，由一根假想的直线和在此直线上的一个定点组成。相应的对称操作是绕此直线旋转一定角度以及对此定点的倒反。根据晶体对称轴定律，倒转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶
体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中，某些点群均含有一种相同的对称元素，这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征，晶体结构可以分为 7 类，称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角称为基转角。轴次 n 可以写成

晶体点群

除了Dn群的特征外，还含有n个对称面m。
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三个位构成，每个位代表一个窥视方向。每个晶系的晶轴选择都有特别的规定：
注意各晶系点群国际符号中的不同位置所代表的对称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
319
分子点群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极射赤面投影图
任何分子的全部对称元素交于一点，其全部对称操作必构成点群。点群用熊夫利斯符号表示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.

晶体点群、空间群简要归纳

晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。

另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。

对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。

对称元素可以是点、直线、⾯等。

2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。

这些对称操作会保持⼀个点不动。

2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。

第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。

因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。

3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。

性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。

2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。

3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。

第六讲—点群(2)

Oblique, a ≠ b ≠ 90o
Rectangular, a ≠ b = 90o
正方
Square, a = b
= 90o
六角
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o
结晶学点群：32种
结晶学点群是指一些点对称操作的集合。32种点群可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个群：
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
旋转反演轴(非真旋转) ， n
n = 1n (iCn), Sn = σCn
国际方案熊夫利斯方案
参考轴： a, b, c (无需正交) r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c 对称算符
x’ y’ z’
c r (x,y,z) a
y
x
2/m 2/m 2/m
E; C2; C2’ ; C2’; i; h; v; v
按晶系推到点群举例
正交晶系
y
y
y
x
x
x
222
(3L2)
mm2
(L22P)
mmm
(3L23PC)
四方晶系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四方晶系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
m3
(3L24L33PC)
4/m
(L4PC)
32 种点群及其点对称操作
2/m mmm

高二物理竞赛晶体的对称性,晶系,点群,空间群课件

P：简单Bravais格子； C：底心Bravais格子；
I：体心Bravais格子；
F：面心Bravais格子
13
Bravais格子和晶系
晶胞与轴矢坐标系
晶胞：既能反映晶体的对称性特征又能反映晶格周期性（平移对称性）的重复单元。轴矢： a1、 a2、 a3或a、 b、 c 晶胞参量：a、 b、 c、、、
14
晶系对称性特征三斜只有C1或Ci 单斜唯一C2或CS 正交三个C2或CS 三方唯一C3或S6 四方唯一C4或S4 六方唯一C6或S3 立方四个C3
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º
a=b=c = ＝ 90º
a=b c = ＝= 90º
P、C P、C、I、
F R
P、I
H
P、I、F 15
任何一种晶体，对应的晶格都是14种点阵中的一种，指出晶体所属的点阵类型不但表征了晶格的周期性，而且能从它所属的晶系了解到该晶体宏观对称所具有的基本对称性，因此点阵类型概括了晶体的对称性，阐明晶体结构只要绘出它的带有基元内容的点阵惯用原胞（晶胞）即可。
晶体的对称性，晶系，点群，空间群
一. 对称性的概念二. 晶体中允许的对称操作三. 晶体宏观对称性的表述：点群四. 七个晶系和14种晶体点阵五. 晶体的微观对称性：空间群六. 点群对称性和晶体的物理性质
1
晶体的宏观对称性
点对称操作
若一个空间图形经过一空间操作（线性变换），其性质复原，则称此空间操作为对称操作。由于对称操作前后图形中任意两点间的距离保持不变，故此线性变换为正交变换。
• 六方晶系 Hexagonal 最高对称具有唯一的6次轴或6次反轴

晶体学点群

Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
国际符号中包含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。
n m表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m
熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， C2 n ，……的点群。Cnh表示这种点群中还含有垂ห้องสมุดไป่ตู้于Cn的镜面，点群Cnh中对称操作数目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作数目也是Cn群的两倍。
2(C2)
m(C1h)
2 (C2 h ) m
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
3. 正交晶系正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第三个2次轴。
(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群{ 1，2[100] ， 2
[010] ， 2[001] }
2,m,2/m 222,mm2,mmm
四方 4,`4，4/m Z
三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m 立方 2,m,4, `4
无， 2，m
X
无， 2，m
底对角线
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm
3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
Z Z

结晶化学中的点群

1、其点群是3L23PC，mmm，斜方晶系，低级晶族。

晶格常数：a0≠b0≠c0，α=β=γ＝900。

定向原则：互相垂直的3L2＝X、Y、Z。

晶面数＝6。

（110），（1-10），（-110），（-1-10），（001），（00-1）。

斜方柱。

2、其点群是3L23PC,mmm，斜方晶系，低级晶族。

晶格常数：a0≠b0≠c0，α=β=γ＝900。

定向原则：互相垂直的3L2＝X、Y、Z。

晶面数＝8.（111），（11-1），（1-11），（-111），（-1-11），（-11-1），（1-1-1），（-1-1-1）。

斜方双锥。

3、其点群是L44L25PC,4∕mmm,四方晶系，中级晶族。

晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=γ＝900。

定向原则：L4＝Z,与L4垂直，且互相垂直的2L2做X、Y轴（棱中点的2L2）。

晶面数6。

（100），（010），（-100），（0-10），（001），（00-1）。

四方柱。

4、其点群是L44L25PC,4∕mmm, 四方晶系，中级晶族。

晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=γ＝900。

定向原则：L4＝Z,与L4垂直，且互相垂直的2L2做X、Y轴（棱中点的2L2）。

晶面数8。

（101），（011），（-101），（0-11），（10-1），（01-1），（-10-1），（0-1-1）四方双锥。

5、其点群是L33L24PC,-3m,三方晶系，中级晶族。

晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=900，γ＝1200。

定向原则：L3＝Z轴,夹角1200的3L2为X、Y、U轴（晶面的中心）。

晶面数5。

（10-10），（01-10），（-1-120），（0001），（000-1）。

三方柱。

6、其点群是L33L23PC, -3m,三方晶系，中级晶族。

晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=900，γ＝1200。

定向原则：L3＝Z轴,夹角1200的3L2为X、Y、U轴。

晶面数6。

（10-11），（01-11），（-1011），（10-1-1），（01-1-1），（-101-1）。

结晶学第六讲—点群(2)

四方双锥晶类
4/m (L4PC)
y
x 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4
a = b = c, = = 菱形
a = b ≠ c, = = 90o, = 120o
a = b = c, = = = 90o
斜方长方有心长方正方
六角
Oblique, a ≠ b ≠ 90o Rectangular, a ≠ b = 90o
Square, a = b = 90o 60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o
-1 -0 -0
= -0 -1 -0
-0 -0 -1
正
mm2 (mm;L22P)
交
晶
系
y
x
正
mmm (3L23PC)
交
晶
系
y
x
四
4 (L4)
方
晶
系
y
x
4/m (L4PC)
四
方晶
y
系
x 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}
全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
Crystal family Crystal system
Required symmetries of point group

晶体学点群

单斜 2,m,2/m
，正交 2，m
，四方 4,4，4/m Z
三方 3,3 六方 6,6, 6/m
Z Z
无， 2，m ，无， 2，m ，
X X
无无， 2，m ，
立方 2,m,4, 4
X
3,3
，体对无， 2，m 角线
点群推导方法
• 外延推演法：从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演，外延推演法：种晶系的主要点对称特征出发外延推演，种晶系的主要点对称特征出发外延推演可以推导出32种点群。可以推导出种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十种点群分明确。分明确。 • 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演旋转群推导法：先推导出种纯旋转晶体学点群种纯旋转晶体学点群，操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外操作组合可得种中心对称的晶体学点群，种中心对称的晶体学点群 10种非中心对称的点群。优点是速度快。种非中心对称的点群。优点是速度快。种非中心对称的点群 • 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在循环群推导法：先确定种循环群种循环群，、、、、，每种循环群上加上新对称操作，代替n轴每种循环群上加上新对称操作，或用 n 代替轴。优点是透彻了解各种点群的对称操作。透彻了解各种点群的对称操作。 • 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 32
1. 三斜晶系对称操作是1(C1)或 1 (i) 对称操作是或则形成最简单的点群。（1）如果只有对称操作）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。该点群的阶数h是，满足群的定义：该点群的阶数是1，满足群的定义：一个元素只能自乘： 1(C1)，具有封闭性封闭性；一个元素只能自乘： 1(C1)· 1(C1)= 1(C1)，具有封闭性；单元素也可有结合律：单元素也可有结合律： 1(C1)· 1(C1) · 1(C1)=1(C1) · [1(C1)· 1(C1)]; 有单位元素：有单位元素： 1(C1)· 1(E) = 1(E) · 1(C1)= 1(C1)；； 1(C1)的逆阵仍是的逆阵仍是1(C1)。。的逆阵仍是

01_06点群

§1-6 点群
—— 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性 —— 不同的形式原子排列形成的宏观对称性对称操作也具有一定的限制
描述晶体周期性的布拉伐格子 {l1a1 l 2 a 2 l3 a3 }
—— 经历一个对称操作晶体不变，相应的布拉伐格子不变
§1-6 点群 —— 晶体结构
§1-6 点群 —— 晶体结构
Cnh —— Cn
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
Cnv —— Cn 群加上含有n重轴的反演面，共4个
Dnd —— Dn 群加通过n重轴及2根二重轴角平分线的反演面
D2d , D3d —— 共2个
Sn
—— 群只包含旋转反演轴的点群 —— 其中 S1 Ci , S2 Cs , S3 C3h
§1-6 点群 —— 晶体结构
1, 2, 3, 4, 6 1, 2, 3, 4, 6
十种对称素
—— 长方形、正三角形正方形和正六方形可在平面内周期性重复排列 —— 正五边形及其它正n边形不能作周期性重复排列
பைடு நூலகம்
§1-6 点群 —— 晶体结构
点群 —— 以10种对称素为基础组成的对称操作群 —— 由对称素组合成群时，对称轴的数目对称轴之间的夹角将受到严格的限制
S4 , S6
—— 共2个
§1-6 点群 —— 晶体结构
Oh Td
O
—— 立方点群, 含有48个对称操作 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作
—— 立方点群 Oh 的24个纯转动操作
—— 正四面体点群 Td 的12个纯转动操作 ——
T
Th
T 群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
§1-6 点群 —— 晶体结构

晶体化学_晶体理想外形的对称-点群(共58张PPT)

最简单的空间群为简单格子＋点群
点群422
空间群 P422
一个二次轴与六次轴垂直相交
622 L6 6L2
一个二次轴与三次反轴垂直相交
-3m Li3 3L23PC
一个二次轴与四次反轴垂直相交
-4m2 Li4 2L22P
一个二次轴与六次反轴垂直相交
-6m2 Li6 3L24P
一个对称面与A类对称元素平行相交
习惯记号
L1
P
C
L2 L3 L4 L6 Li3 Li4 Li6
具有一个以上高次轴的对称轴与对称面组合
对称面与点群43的对称轴组合
对称面与点群23的对称轴组合
两个二次轴与一个对称面平行相交两个三次轴及一个二次轴与一个对称面平行相交
对称面与点群43的对称轴组合
M-3m 3L44L36L29PC
点群23中两个二次轴与一个对称面平行相交
M-3 3L24L33PC
点群的数学表示
全同操作 (1)全同操作(Identity)，符号表示
为1 (E)，对应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵为单位矩阵。
矩阵表示
旋转轴
(2)旋转轴(旋转轴) ：绕某轴反时针旋转=360/n度，
n称为旋转轴的次数(或重数)，符号为n (Cn)。其变换矩
阵为：
csio0nsqq
两个对称面与六次轴相交
〔一个垂直，一个平行〕
6/mmm L6 6L27PC
具有一个以上高次轴的对称轴组合
晶体学中要求：
两个高次轴
〔或一个高次轴与一个二次轴〕
相交的角度为特定值
两个三次轴与一个二次轴组合
23 3L24L3
23
一个四次轴及一个三次轴与一个二次轴组合

福大结晶学与矿物学教案01结晶学-6晶体内部结构的微观对称

第六章晶体内部结构的微观对称一、十四种空间格子（布拉维格子）1．平行六面体的选择：对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为的。

平行六面体的选择原则如下：1）所选取的平行六面体应能反映结构固有的对称性；2）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱之间的直角关系最多；3）在满足以上条件的基础上，所选取的平行六面体的体积最小。

2．各晶系平行六面体的形状和大小：平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、b、c及棱间的夹角（轴角）α、β、γ表征。

这组参数（a、b、c；α、β、γ）即为晶胞参数。

在晶体宏观形态我们可以得到各晶系的晶体常数特点，是根据晶轴对称特点得出的。

宏观上的晶体常数与微观的晶胞参数是对应的,但微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的具体数值。

3．平行六面体中结点的分布（即格子类型）1）原始格子（P，primitive）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。

2）底心格子（C、A、B，end-centered）：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。

3）体心格子（I body-centered）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。

4）面心格子（F，face-centered）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。

4．十四种布拉维格子七个晶系---七套晶体常数—七种平行六面体种形状。

每种形状有四种类型，那么似乎就有7×4=28种空间格子。

但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因此,只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。

（A.Blavais于1848年最先推导出来的）举例说明：1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子；2、在等轴晶系中，在立方格子中的底面中心不可能结点，否则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格子。

二、晶体内部结构的对称要素研究宏观晶体对称仅仅是研究了旋转、反映、反伸,而没有包括平移对称,晶体结构内部最突出的对称是平移，平移与宏观对称结合就会产生内部结构特有的一些对称操作和对称要素：1．平移轴(translation axis)：为一直线，图形沿此直线移动一定距离，可使相等部分重合，晶体结构中任一行列都是平移轴。

晶体学点群

外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
四方晶系对应7种点群。其中点群 m m m 是该晶系中心对称和全对称 4 点群，它概括了该晶系中所有可能的对称操作。因此所有点群都是点群 m mm 的子群。
4 2 2
4(C4 )
422( D4 )
4 (C4h ) m
4mm(C4v )
4 mm( D4h ) m
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
国际符号中表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m包含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， C 2 ，……的点群。Cnh表 n 示这种点群中还含有垂直于Cn的镜面，点群Cnh中对称操作数目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作数目也是Cn群的两倍。
无 2，m 无， 2，m Z 底对角线
1，`1
2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 底对角线 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
四方 4,`4，4/m Z
三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m
1(C1)·1(C1) ·1(C1)=1(C1) ·[1(C1)·1(C1)];
有单位元素： 1(C1)·1(E) = 1(E) ·1(C1)= 1(C1)；
1(C1)的逆阵仍是1(C1)。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
（2）有对称操作1(C1)或 1 (i)，则它们构成两元素点群。用符号 1 (S2) 表示，点群的阶h是2 。元素为 {1, 1 }即{E，i}。当然也满足群的定义，这个点群的元素具有封闭性，对称操作符合结合律，只有一个单位元素1(E)， 1 (i)的逆仍是1 (i)。

1-6点群

晶体的宏观对称性中，独立的基本对称素只有八种。 1，2，3，4，6，i，m，4
n重旋转轴中n只能取1、2、3、4、6
B A
（1）AB为格点；
（2）对称操作一：晶体绕 A转θ度，B转至B`点，由于转动操作不改变格子，故B`也必为格点。（3）对称操作二：晶体绕 B转θ度，A转至A`点，由于转动操作不改变格子，故A`也必为格点。
2
4
4
6重旋转-反演轴不是独立对称素
基本对称素与点群
1、基本对称素：1，2，3，4，6，i，m， 4 。
2、点群：由上述八种基本对称素组合成的对称操作群，一般称点群。
(1)点群是在操作中至少有一点保持不动的对称操作群。转动、中心反演和对称面都是点对称操作。 (2)受晶格周期性限制，对称素组合成群时受到严格限制，八种基本对称素组合只能得到32种点群（不包括平移对称操作），即晶体宏观对称性只有32种不同类型。
Oh中24个纯转动操作组成
Td中12个纯转动操作组成 T加中心反演
4重旋转-反演轴是独立的对称素例如：金刚石结构或闪锌矿结构具有4 重旋转-反演轴，把它们旋转90度，在空间对角线上的原子并不重合，必须再经过中心反演后才能自身重合。
4
6 =3+m
3
5 6
2
3
5
1
1
6 1 2 1 中心反演 2
6
3 1 2 5 镜面 2
§1-6点群(point group)
基本对称素
组合构成
点群
1、基本对称素 (Basic symmetry elements)
晶体的宏观对称性是晶体在原子的周期性排列基础上产生的，因此，由其产生的对称操作要受到严格的限制，只有独立的对称操作所对应的对称素才称为基本对称素。前面提到的对称素：n重旋转轴和n重旋转-反演轴并不都是独立的操作。