结晶学第六讲—点群(2)

010
110
432 (43, 3L44L36L2)
x
111 011 111
010
011 111
001
y
y
110
101 110
100
x
x
23 (3L24L3)
立 方 晶 系
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
y
32 (L33L2)
x
没有4次轴！
x y
{3[111]}{2[001]} = {32[111]}
y
x
四 方 晶 系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四 方 晶 系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}
-0 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>
六 方 晶 系
6 (L6)
y
x
改成六个面
6/m (L6PC)
六 方 晶 系
改成六个面
y
x
{6[001]}{m[001]} = {35[001]}
2 (C2, L2)
+
+
+ + _ + _ +
1 (i, C)
+
_
,
+
+ _
x’ y’ z’
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
x y z
_
,
,
2 (P), m
_ ,+
,+
+ _
,
+
3 (S65, Li3)
3 (S65, Li3) = 3+C
x’ y’ z’ -0 -1 = -1 -1 -0 -0 -0 -0 -1 x y z
极距角、方位角
球面上大圆的投影
N N N
球面
z x y
S
S
S
基圆
y x 无需一定是直角坐标！
大圆投影的应用
N N N
球面
z x y
S
S
S
基圆
y x 无需一定是直角坐标！
N
B
O
A
S
B
B
N A
N
A
例：铜单晶体的极射赤面投影
(001) (010) (100)
z x y
(101) (011)
(110)
四方双锥晶类
4/m (L4PC)
y
x
4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4
{2[100]}{3[111]} = {?}
-0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立 方 晶 系
x
-0 -0 -1 -0 -0 -1
-0 -0 -1
四 方 晶 系
y
4 (Li4)
x
四 方 晶 系
42m (Li42L22P)
y
x
1 (L1) 1 (C)
2 (L2)
m (P)
222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC)
4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2)
正 交 晶 系
x
{2[001]}{2[100]} = {2[010]}
-1 -0 -0 -1 -0 -0
y
-0 -0 -1
-1 -0 -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
正 交 晶 系
mm2 (mm;L22P)
y
x
正 交 晶 系
mmm (3L23PC)
2/m (L2PC)
y
4 (Li4)
42m (Li42L22P)
x
第六讲
点群(II)
符号的顺序
晶系
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3
只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
2或2沿a 2或2沿b 2或2沿a和b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿c
= 90o
六角
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o
结晶学点群：32种
结晶学点群是指一些点对称操作的集合。32种点群 可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。 对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个
群：
1、封闭性
2、有恒等操作 3、每一个操作都有逆操作
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
222 (3L2)
y
x x
改成12个面
622 (62,
六 方 晶 系
66L2) L
422 (42, L44L2)
y
y
x
？
x
6 (Li6)
六 方 晶 系
y
4
4) (Li
x
62m (Li63L23P)
六 方 晶 系
y
42m (Li42L22P)
x
6m2 (Li63P3L2)
3 (L3)
三 方 晶 系
x
y
3m (L33P)
三 方 晶 系
x
y
3/m?
32 (L33L2)
三 方 晶 系
x
y
{3[001]}{2[010]} = {2[100]}
-0 -1 -1 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-1 -0 -1 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-1 -1 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
3 (L3C)
三 方 晶 系
四 方 晶 系
4mm (L44P)
y
x
四 方 晶 系
4/mmm (L44L25PC)
y
x
422 (42,
四 方 晶 系
x
{4[001]}{2[010]} = {2[110]}
-0 -1 -1 -0 -0 -0
44L2) L
y
-0 -0 -1
-1 -0 -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-0 -1 = -1 -0 -0 -0
x
y
3m (L33L23PC)
三 方 晶 系
x
y
y x
复习：
第三讲
晶体投影
意义： 1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)

A
r
P
基圆
基圆平面
O
p

/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线、子午面。
y
x
有4次轴！
m3m (3L44L36L29PC)
立 方 晶 系
y
x
有4次轴！
m3m (3L44L36L29PC)
y
x
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
三 斜
特点
a≠ b≠ c, ≠≠
全对称点群 1
2(C2)或2(m)
单 斜
a≠b≠c, = = 90o≠
a≠b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
-0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0
{3[111]}{32[111]} = {?}
-0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0
4、操作的乘法满足结合律
1 (L1)
三 斜 晶 系
极射赤面（平）投影
一般形
1 (C)
三 斜 晶 系
2 (L2)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
-1 -0 -0
y
没有4次轴！
{3[111]}{m[001]} = {35[111]}
-1 -0 -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-0 -0 = -1 -0 -0 -1
-1 -0 -0
43m (3Li44L36P)
立 方 晶 系
y
x
没有4次真旋转轴！
432 (43, 3L44L36L2)
立 方 晶 系
6 (S35, Li6)
6 (S35, Li6) = 3+P
x’ y’ z’ -1 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 x y z
对称操作元素
4 (S43, Li4)
4 (C4, L4)
4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1
4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1
晶系
三 斜
单 斜 正交 四方 三方
特点
a ≠ b ≠ c, ≠ ≠
a ≠ b ≠ c, = = 90o ≠ a ≠ b ≠ c, = = = 90o a = b ≠ c, = = = 90o a = b ≠ c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
第六讲
点群(II)
复习：
第五讲
点群（I）
1 (E, L1)
1 (i, C)
_
ห้องสมุดไป่ตู้2 (C2,
L2)
2 (σ, P), m
3 (S65, Li3) 4 (S43, Li4) 6 (S35, Li6)
,
+
_
,
+
3 (C3, L3) 4 (C4, L4) 6 (C6, L6)
旋转轴， n
旋转反演轴， n
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
-1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1
六 方 晶 系
6mm (L66P)
4mm (L44P)
y
y
x
x
6/mmm (L66L27PC)
六 方 晶 系
y
4/mmm (L44L25PC)
晶系
晶系是由晶体的对称性来划分的。
各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的 各个轴或点阵平移矢量，对单胞的几何形状(晶胞 参数)产生限制，导致七种晶系，即晶系是对称性 要求的结果。
七种晶系
对称条件
1(E)或1(i)
2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65)
(110)
(111) (111)
(111)
(111)
100 (001) (010) (100)
001 010
001
010 001
010
z
100
100
x
(101) (011) (110)
y
110 011 011
110 101 101
110 011 011
(110)
110
100
110
(111) (111)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
-1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
{M[001]}{2[001]} = {1}
-1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 = -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1
2 (L2)
110 101 111
001
111
(111) (111)
001 100 010
(111) (111)
010
011 111
011 111
010
y
101 110
100
110
x
Cu单晶体的极射赤面投影
45o 54o44’ 35o16’ 60o
001
23 (3L24L3)
100
010
y
100
110 101 111
菱形
6(C6)或6(S35)
六方
立方
a = b ≠ c, = = 90o, = 120o
a = b = c, = = = 90o
四个三次轴
斜方 长方 有心长方
Oblique, a ≠ b ≠ 90o
Rectangular, a ≠ b = 90o
正方
Square, a = b
2/m
mmm
两个2(C2)或2(m) 正 交 4(C4)或4(S43)
四方 三方 六方 立方
4/mmm
3m
3(C3)或3(S6
5)
菱形
6(C6)或6(S35)
a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = = = 90o
6/mmm
m3m
四个三次轴
Crystal family Crystal system Triclinic Monoclinic Orthorhombic Tetragonal Hexagonal Cubic Total: 6 7 Trigonal Hexagonal