九年级数学上册《26.1 锐角三角函数》教学课件冀教级上册数学课件
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tan 45°=1,tan 60°= 3 。
12/11/2021
[知识拓展] 1.正切是一个比值,没有单位。
2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关。
3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A。
4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如
tan∠ABC。
5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2
(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')
(3)由三角形相似的性质可以得到 BC
AC
与
B A
C C
之间的关系吗?
（Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴
12/11/2021
B C AC ，即 B C =
B C AC
AC
B C . A C
2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B‘C’⊥AF,垂足分别为C,C‘。 BC
吗? (根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)
12/11/2021
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°。
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值。
(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值。 解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=30°, ∴∠B=60°,且
12/11/2021
检测反馈
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tan A等于 (B )
a
a
A. c
B. b
b
b
C.
D.
a
c
解析:根据锐角正切的定义可得tan A= A的对边
A的邻边
12/11/2021
= a ,故选B。 b
2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值 ( A )
3
9。
解析:根据正切定义可得tan A=
BC AC
=
12 AC
= 4 ，所以AC=9.故填9。
3
12/11/2021
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°。
(1)若tan
A=
3 4
,BC=9,求AB的长;
(2)若tan B= 4 ,AC=16,求AB的长。
3
解：（1）∵tanA=
BC AC
又BC=9,∴AC=12,
12/11/2021
(4)∠B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系?
(tanB= A C b
BC a
, tanA·tanB=1.)
(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些
边?
(需要知道这个锐角的对边和邻边)
(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值
12/11/2021
学习新知
= .
直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值
1.如图，在Rt△ ABC中和Rt△ ABC 中，
C = C =90°. 当 A = A 时，
BC AC
与
B A
C C
具有怎样的关系?
12/11/2021
引导思考: (1)如何证明线段成比例?
(三角形相似) (2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?
A.不变
B.缩小为原来的 1
3
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
解析：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形 与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切 值也不变。故选A。
12/11/2021
3.已知Rt△ABC中,∠C=90°, tan A= 4 ,BC=12,则AC等于ACFra bibliotek与B C
AC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这
两个直角三角形相似,从而两条对应直角边
的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A
为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比
BC AC
是
确定的。
12/11/2021
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
做∠A的正切,记作tan A,即tan A= A的对边 = a 。
A的邻边
b
12/11/2021
大家谈谈 (1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体?
(tan A表示的是一个整体) (2)当∠A的大小变化时,tan A是否变化?
(tan A随着∠A的大小变化而变化) (3)tan A有单位吗? (tan A是一个比值,没有单位)
=3 ，
4
由勾股定理可得AB= B2 C A2 C 9212 2
12/11/2021
=15。
∴AB的长为15。
(2)∵tan B= AC = 4 ,AC=16,∴BC=12。
BC
3
由勾股定理可得 AB= B C 2A C 21 2 2 1 6 2=20。
∴AB的长为20。
12/11/2021
第26单元 · 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
12/11/2021
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北 偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处 时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多 少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
a
1 2
c
。
∴ b c2 a2 =
2
= c 2
c 2
3 2
c。
∴tan
A=tan
30°=
, b a1 2c
3 2 c
3 3
12/t11a/2n021B=tan
60°=
b a
31 2 c2c
3。
(2)在Rt△ABC中,
∵∠A=45°,
∴a=b。
∴tan A=tan 45°=
a b
1
。
这样,就得到tan 30°= 3 , 3
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[知识拓展] 1.正切是一个比值,没有单位。
2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关。
3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A。
4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如
tan∠ABC。
5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2
(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')
(3)由三角形相似的性质可以得到 BC
AC
与
B A
C C
之间的关系吗?
（Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴
12/11/2021
B C AC ，即 B C =
B C AC
AC
B C . A C
2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B‘C’⊥AF,垂足分别为C,C‘。 BC
吗? (根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)
12/11/2021
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°。
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值。
(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值。 解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=30°, ∴∠B=60°,且
12/11/2021
检测反馈
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tan A等于 (B )
a
a
A. c
B. b
b
b
C.
D.
a
c
解析:根据锐角正切的定义可得tan A= A的对边
A的邻边
12/11/2021
= a ,故选B。 b
2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值 ( A )
3
9。
解析:根据正切定义可得tan A=
BC AC
=
12 AC
= 4 ，所以AC=9.故填9。
3
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4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°。
(1)若tan
A=
3 4
,BC=9,求AB的长;
(2)若tan B= 4 ,AC=16,求AB的长。
3
解：（1）∵tanA=
BC AC
又BC=9,∴AC=12,
12/11/2021
(4)∠B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系?
(tanB= A C b
BC a
, tanA·tanB=1.)
(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些
边?
(需要知道这个锐角的对边和邻边)
(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值
12/11/2021
学习新知
= .
直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值
1.如图，在Rt△ ABC中和Rt△ ABC 中，
C = C =90°. 当 A = A 时，
BC AC
与
B A
C C
具有怎样的关系?
12/11/2021
引导思考: (1)如何证明线段成比例?
(三角形相似) (2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?
A.不变
B.缩小为原来的 1
3
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
解析：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形 与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切 值也不变。故选A。
12/11/2021
3.已知Rt△ABC中,∠C=90°, tan A= 4 ,BC=12,则AC等于ACFra bibliotek与B C
AC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这
两个直角三角形相似,从而两条对应直角边
的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A
为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比
BC AC
是
确定的。
12/11/2021
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
做∠A的正切,记作tan A,即tan A= A的对边 = a 。
A的邻边
b
12/11/2021
大家谈谈 (1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体?
(tan A表示的是一个整体) (2)当∠A的大小变化时,tan A是否变化?
(tan A随着∠A的大小变化而变化) (3)tan A有单位吗? (tan A是一个比值,没有单位)
=3 ，
4
由勾股定理可得AB= B2 C A2 C 9212 2
12/11/2021
=15。
∴AB的长为15。
(2)∵tan B= AC = 4 ,AC=16,∴BC=12。
BC
3
由勾股定理可得 AB= B C 2A C 21 2 2 1 6 2=20。
∴AB的长为20。
12/11/2021
第26单元 · 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
12/11/2021
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北 偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处 时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多 少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
a
1 2
c
。
∴ b c2 a2 =
2
= c 2
c 2
3 2
c。
∴tan
A=tan
30°=
, b a1 2c
3 2 c
3 3
12/t11a/2n021B=tan
60°=
b a
31 2 c2c
3。
(2)在Rt△ABC中,
∵∠A=45°,
∴a=b。
∴tan A=tan 45°=
a b
1
。
这样,就得到tan 30°= 3 , 3