[配套K12]2017-2018年高中物理 第七章 机械能守恒定律 第1节 追寻守恒量——能量 第2

第1节追寻守恒量——能量第2节功
一、追寻守恒量┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．伽利略的实验探究
如图所示：
2.势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量。

3．动能：物体由于运动而具有的能量。

4．势能和动能的转化：从伽利略的斜面实验可以看出，势能和动能可以相互转化。

小球从斜面上某一高度滚落至斜面底端的过程中势能转化为动能；小球从斜面底端沿斜面升高时，动能又转化为势能，若忽略空气阻力和摩擦，在动能与势能转化过程中能量是守恒的。

[说明]
伽利略的理想斜面实验虽然是想象中的实验，但它是建立在可靠的事实基础之上的。

这类理想实验以可靠的事实为基础，经过抽象思维，抓住主要因素，忽略次要因素，从而更深刻地揭示了自然规律。

采用理想实验说明问题是物理学的一种常用方法，理想实验在物理学的发展中起着重要的作用。

①[选一选]
在伽利略的斜面实验中，小球停下来的高度为h1，与它出发时的高度h2相同，这一事实说明“某个量是守恒的”，下面说法中正确的是( )
A．小球在运动的过程中速度是守恒的
B．小球在运动的过程中高度是守恒的
C．小球在运动的过程中动能是守恒的
D．小球在运动的过程中能量是守恒的
解析：选D 伽利略的斜面实验中，小球的速度、高度、动能都随时间变化，而能量恒定不变，故D正确。

二、功、功的正负┄┄┄┄┄┄┄┄②
1. 功的概念：物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。

2．做功的两个必备条件
(1)物体受力的作用。

(2)物体在力的方向上发生位移。

3．公式
(1)力F与位移l同向时，W＝Fl。

(2)力F与位移l夹角为α时，W＝Fl cos α。

其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小和力与位移方向的夹角。

4．正功和负功
由公式W＝Fl cos α可知，力对物体做正功还是做负功，由F的方向与位移l的方向间的夹角α决定，具体情况见下表：
[注意]
(1)各物理量的单位：F的单位是牛顿，l的单位是米，W的单位是牛·米，即焦耳，简称焦，符号J。

(2)一个力对物体做负功，可以说成物体克服这个力做了功(正值)，如摩擦力对冰壶做了－2 J的功，可以说成冰壶克服摩擦力做了2 J的功。

(3)功是标量，没有方向，但有正、负之分。

而“正负”也不表示功的大小，只表示做功的性质。

②[判一判]
1．公式W＝Fl中的l是物体运动的路程(×)
2．物体受到某力的作用，并且在该力的方向上发生了一段位移，该力一定做功(√) 3．力F1做的功为10 J，力F2做的功为－15 J，力F1比F2做的功多(×)
4．正功与负功方向相反(×)
1.功的概念
(1)做功的两个必不可少的因素
理解功的概念，首先要知道做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移。

力对物体是否做了功只与这两个因素有关，与其他因素诸如物体运动的快慢、运动的性质、物体质量、物体是否受其他力等均无关。

(2)功是过程量，总是与一个具体的过程相对应，同时功与具体的某个力或某几个力相对应，通常我们说某个力或某几个力所做的功。

2．对功的公式的两点提醒
(1)公式中的F是恒力，即公式W＝Fl cos α并不是普遍适用的，它只适用于大小和方向均不变的恒力做功。

如果F是变力，W＝Fl cos α就不适用了。

(2)F与l必须具备同时性，即l必须是力F作用过程中物体的位移。

如果力消失后物体继续运动，力所做的功就只跟力作用的那段位移有关，跟其余的位移无关。

3.正功、负功的物理意义
功的正负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。

力与位移之间的夹角为钝角时力做负功。

[典型例题]
例1.[多选] (2016·长沙高一检测)如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动过程中，A、B之间有相互作用的摩擦力(B与地面之间无摩擦力)，则对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A不做功
C．摩擦力对B做负功
D．摩擦力对A、B都不做功
[解析] 对A、B水平方向受力分析如图所示，物体A在F f2作用下没有位移，B正确，A错误；对物体B，F f1与位移夹角为180°，摩擦力对B做负功，C正确，D错误。

[答案] BC
[点评] 判断正功和负功的方法
(1)看力F的方向和位移l的方向的夹角α——常用于恒力做功。

(2)看力F的方向和速度v的方向的夹角α——常用于曲线运动中。

在以上两种情况中，当α为锐角时力做正功，直角时不做功，钝角时做负功。

[即时巩固]
1．质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图所示，物体m始终相对斜面静止。

则下列说法中不正确的是( )
A．重力对物体m做正功
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．支持力对物体m做正功
解析：选A 物体m的受力及位移如图所示：
支持力F N与位移x的夹角α<90°，故支持力做正功，D正确；重力垂直于位移，故重力不做功，A错误；摩擦力F f与x夹角β>90°，故摩擦力做负功，C正确；合力为零，合力不做功，B正确。

总功指物体受到的所有力对物体做功的总和，由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：
(1)先求物体所受的合力，再根据公式W合＝F合l cos α求合力做的功。

(2)先根据W＝Fl cos α，求每个分力做的功W1、W2、……W n，再根据W合＝W1＋W2＋……＋W n，求合力做的功。

即合力做的功等于各个分力做功的代数和。

[典型例题]
例2.如图所示，一个质量m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F1＝10 N作用，在水平地面上移动的距离l＝2 m，物体与地面间的滑动摩擦力F2＝4.2 N，求外力对物体所做的总功。

(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)
[解析] 方法一：拉力F1对物体所做的功
W1＝F1l cos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力F2对物体所做的功
W2＝F2l cos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
重力、支持力与位移方向的夹角均为90°，对物体所做功为W3＝0
外力对物体所做的总功W等于W1、W2和W3的代数和
所以W＝W1＋W2＋W3＝7.6 J
方法二：物体受到的合力
F合＝F1cos 37°－F2＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
所以外力对物体所做的总功
W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J
[答案] 7.6 J
[点评] 求合力做功的方法的选择
(1)如果物体处于平衡状态或某一方向受力平衡时，或者物体在某一方向上做匀变速直线运动时(合力等于ma)，先求合力再求功的方法更简捷。

(2)如果已知物体所受的力之中有的不做功，有的做功且方便求得该力的功(如重力的功)时，选择W合＝W1＋W2＋……＋W n简单方便。

[即时巩固]
2．(2016·海南高一检测)如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l。

试求(重力加速度为g)：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功；各力对物体所做的总功。

解析：物体受力情况如图所示，
物体受到重力mg、摩擦力F f和支持力F N的作用。

物体相对斜面静止，物体相对地面水
平向左匀速移动距离l ，这些力均是恒力，故可用W ＝Fl ·cos α计算各力做的功。

根据物体的平衡条件，可得 F f ＝mg sin θ，F N ＝mg cos θ
(1)W f ＝F f ·l cos (180°－θ)＝－mgl sin θ·cos θ (2)W N ＝F N ·l cos (90°－θ)＝mgl cos θ·sin θ (3)W G ＝mgl cos 90°＝0
(4)斜面对物体做的功W 斜为斜面对物体施的力做功的代数和W 斜＝W f ＋W N ＝0 各个力对物体所做的总功等于各个力做功的代数和，即W 总＝W f ＋W N ＋W G ＝0 答案：(1)－mgl sin θ·cos θ
(2)mgl cos θ·sin θ (3)0 (4)0
A 、
B 在力F 作用下一起向右加速运动的静摩擦力做负功
[典型例题]
例3.质量为M 的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m 的滑块以某一速度沿木板表面从A 点滑至B 点，在木板上前进了L ，而木板前进了l ，如图所示。

若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？摩擦力做的总功为多少？
[解析] 滑块所受摩擦力F f ＝μmg ，位移为(l ＋L )，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑块做的功为
W 1＝－μmg (l ＋L )
木板受的摩擦力F ′f ＝μmg ，方向与其位移l 方向相同，故摩擦力对木板做的功W 2＝μmgl
摩擦力做的总功W ＝W 1＋W 2＝－μmgL
[答案] －μmg (l ＋L ) μmgl －μmgL
[点评] 一对静摩擦力的总功
因为物体间的静摩擦力总是大小相等、方向相反，而它们运动时相对地面的位移是相同的，所以物体之间的静摩擦力若做功，则必定对一个物体做正功，对另一个物体做等量负功。

[即时巩固]
3．[多选](2016·奉贤区高一检测)如图所示，滑块A 和B 叠放在固定的斜面体上，从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。

已知B 与斜面间光滑接触，则在A 、B 下滑的过程中，下列说法正确的是( )
A ．
B 对A 的支持力不做功 B ．B 对A 的支持力做负功
C ．B 对A 的摩擦力做正功
D ．B 对A 的摩擦力做负功
解析：选BC B 对A 的支持力竖直向上，与A 的位移方向夹角α满足90°<α<180°，故做负功，A 错误，B 正确；B 对A 的摩擦力水平向左，与A 的位移方向夹角β<90°，故做正功，C 正确，D 错误。

1.转换研究对象法
如图所示，人站在地上以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功。

拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功。

2．平均值法
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力对位移的平均值F －
＝
F 1＋F 2
2
，再由W ＝F －
l cos α计算功，如弹簧弹力做的功。

3．图象法
如图所示，在F ­l 图象中，若能求出图线与l 轴所围的面积，则这个面积即为F 在这段位移l 上所做的功。

类似在v ­t 图象中，图线与t 轴所围的面积表示位移。

[典型例题]
例4.(2016·南昌高一检测)静止在水平面上的物体M ，受到一水平向右的推力作用，在推力作用下向右运动了4 m ，水平推力随物体位移的变化图象如图所示，推力的最大值为4 N ，且力随位移的变化图线恰好为四分之一圆周，求水平推力在此过程中所做的功。

[解析] 推力随位移逐渐减小，不属于恒力做功，不能直接用功的定义式求功。

由分析可知力的方向始终与位移方向相同，仅大小变化，可把位移分成无数小段，在每一小段位移内，力可认为是恒力，则每一小段恒力做的功可求出来，再把每小段恒力做的功求和。

由图象的物理意义可知图线与坐标轴所包围的面积恰好是推力所做的功，所以可根据面积求推力做功，
W ＝14πR 2＝14
×3.14×42 J ＝12.56 J
[答案] 12.56 J
[即时巩固]
4．如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为 m 的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，弹簧处于自然状态，用水平力F 缓慢拉木块，使木块前进x 0，求这一过程中拉力对木块做了多少功。

解析：方法一：平均值法
因该力与位移成正比，可用平均力F －＝kx 0
2
求功，即
W ＝F －
x 0＝1
2
kx 20
方法二：图象法
F ­x 图象如图所示，△Ox 0A 的面积大小即为克服弹力做的功W ＝12
kx 20
即拉力做的功W 拉＝W ＝12kx 20
答案：12
kx 2
1．关于伽利略的斜面实验，以下说法中不正确的是( )
A．无论斜面是否光滑，小球滚上的高度一定与释放的高度相同
B．实际上，小球滚上的高度会比释放的高度要小一些
C．只有在斜面绝对光滑的理想条件下，小球滚上的高度才与释放的高度相同
D．伽利略的理想斜面实验反映了在小球的运动过程中存在某个守恒量
解析：选A 斜面粗糙时，有机械能转化为内能，此时小球不能上升到原来的高度，故A错误，B、C正确；伽利略的理想斜面实验正是反映了小球的运动过程中存在某个守恒量，故D正确。

2．[多选]下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正、负表示方向
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功，还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
解析：选BCD 功是标量，但有正功、负功之分，其正负由力和位移的方向关系决定，正功表示外力对物体做功，负功表示物体克服外力做功，力做功与物体运动过程有关，是个过程量，A错误，B、C、D正确。

3．(2016·长沙高一检测)关于摩擦力做功，下列说法中正确的是( )
A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功
B．静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不做功
C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D．静摩擦力可能对物体做正功
解析：选D 功的计算公式W＝Fl cos α中的l是指相对于地面的位移，滑动摩擦力(静摩擦力)仅起阻碍物体间的相对运动(相对运动趋势)的作用，它与物体对地“绝对位移”的方向既可能相同也可能相反，所以它可能做正功，也可能做负功，A、C错误；物体间有静摩擦力作用时两物体相对静止，但物体可以相对地面移动，所以静摩擦力也可能做功，B错误；物体间的静摩擦力可能是动力，也可能是阻力，因此可能做正功，也可能做负功，D正确。

4．[多选]如图所示，重物P放在粗糙的水平板OM上，当水平板绕O端缓慢抬高，在重物P没有滑动之前，下列说法中正确的是( )
A．P受到的支持力不做功
B．P受到的支持力做正功
C．P受到的摩擦力不做功
D．P受到的摩擦力做负功
解析：选BC 摩擦力始终与P的速度垂直，不做功，支持力的方向始终与P的速度同向，做正功，B、C正确。

5．(2016·资阳高一检测)如图所示，静止在光滑水平面上的物体质量m＝25 kg，在与水平方向成60°角斜向上的力F作用下运动10 s，已知F＝10 N，求在这10 s内力F所做的功。

(取g＝10 m/s2)
解析：力F 在竖直方向上的分力 F 1＝F sin 60° ＝10×
3
2
N ＝5 3 N 而重力G ＝mg ＝250 N ，显然F 1<G ， 故物体受力情况如图所示，
F N 为水平面对物体的支持力。

由牛顿第二定律得物体的加速度
a ＝F cos 60°m ＝525
m/s 2＝0.2 m/s 2
10 s 内物体的位移 l ＝12
at 2＝12
×0.2×102 m ＝10 m
10 s 内力F 所做的功
W ＝Fl cos 60°＝10×10×12
J ＝50 J
答案：50 J
[基础练]
一、选择题
1．(2016·保定高一检测)关于力对物体做功的说法中，正确的是( ) A ．力作用到物体上，力一定对物体做功
B ．只要物体通过一段位移，就一定有力对物体做了功
C ．只要物体受到力的作用，而且还通过了一段位移，则此力一定对物体做了功
D ．物体受到力的作用，而且有位移发生，则力有可能对物体做功，也可能没有做功 解析：选D 做功的两个必备条件是：物体受力和在力的方向上发生位移。

物体受力而且有位移，不一定有力做功。

如物体沿光滑水平面做匀速运动时，所受的两个力(重力和支持力)都不做功，A 、B 、C 错误；再如沿粗糙斜面下滑的物体，重力和摩擦力做功，支持力不做功，D 正确。

2．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速后匀速再减速的运动过程，则电梯对人( )
A ．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B ．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C ．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D ．始终做正功
解析：选D 在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，D 正确。

3．如图所示，质量为m 的物体A 静止于倾角为θ的斜面体B 上，斜面体B 的质量为M ，现对该斜面体施加一个水平向左的推力F ，使物体随斜面体一起沿水平方向向左匀速运动的位移为L ，则在此匀速运动过程中斜面体B 对物体A 所做的功为( )
A ．0
B ．mgL C.
FLm
M ＋m
D ．FL 解析：选A 物体A 向左匀速运动的过程中，所受合力为零，由平衡条件可知，斜面体B 对A 的作用力大小为mg ，方向竖直向上，故斜面体B 对物体A 所做的功为零，A 正确。

4．以一定速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为F f ，则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A ．0
B ．－F f h
C ．－2F f h
D ．－4F f h
解析：选C 上升阶段，空气阻力做功W 1＝－F f h ；下落阶段空气阻力做功W 2＝－F f h ，整个过程中空气阻力做功W ＝W 1＋W 2＝－2F f h ，故C 选项正确。

5．如图所示，水平粗糙地面上的物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着，现以大小恒定的拉力F 拉绳的另一端，使物体从A 点起由静止开始运动。

若从A 点运动至B 点和从B 点运动至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1、W 2，图中AB ＝BC ，且动摩擦因数处处相同，则在物体的运动过程中( )
A ．摩擦力增大，W 1>W 2
B ．摩擦力减小，W 1<W 2
C ．摩擦力增大，W 1<W 2
D ．摩擦力减小，W 1>W 2 解析：选D 设系在物体上的细绳与水平方向间夹角为α，则物体对地面的压力F N ＝mg －F sin α，而物体所受的滑动摩擦力F f ＝μF N ，可见，随α的增大，F f 逐渐减小；因细绳拉力F 的水平分力F cos α随α的增大而减小，AB ＝BC ，故W 1>W 2，D 正确。

二、非选择题
6．(2016·南通高一检测)如图所示，质量m 1＝20 kg 的小孩坐在雪橇上，现用一个与
水平方向成α＝37°角、大小为60 N 的力F 拉着雪橇沿水平地面从静止开始以a ＝0.5 m/s 2
的加速度做匀加速直线运动，已知雪橇的质量m 2＝20 kg ，求2 s 内雪橇上各力做的功；合力做的功。

(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：2 s内雪橇的位移l＝1
2
at2＝1 m
重力、地面对雪橇的支持力和小孩对雪橇的压力做功为零。

拉力F做功
W拉＝Fl cos α＝60×1×0.8 J＝48 J
雪橇所受合力为
F合＝(m1＋m2)a＝40×0.5 N＝20 N
合力对雪橇做的功
W合＝F合l＝20×1 J＝20 J
摩擦力对雪橇做的功
W f＝W合－W拉＝20 J－48 J＝－28 J
答案：重力、支持力和压力做功为零拉力做功48 J 合力做功20 J 摩擦力做功－28 J
[提能练]
一、选择题
1．如图所示，一个可以看成质点的物体以一定的初速度沿水平面由A点滑到B点，摩擦力做功为W1；若该物体从C点以一定的初速度沿两个斜面滑到D点，两斜面用光滑小圆弧连接(圆弧未画出)，摩擦力做功为W2；已知该物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则W1和W2的关系是(已知x AB＝x CD)( )
A．W1＞W2 B．W1＝W2
C．W1＜W2 D．无法确定
解析：选B 由题图可知，W1＝－μmg·x AB，W2＝－μmg cos α·x CE－μmg cos β·x ED ＝－μmg(x CE cos α＋x ED cos β)＝－μmgx CD，故得W1＝W2，B正确。

2．[多选]如图所示，恒力F通过定滑轮将质量为m的物体P提升，物体P向上的加速度为a，在P上升高度h的过程中，力F做功为( )
A．mgh B．Fh
C．(F＋ma)h D．m(g＋a)h
解析：选BD 根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，所以F＝m(g＋a)，则恒力F做功为W ＝Fh＝m(g＋a)h，B、D正确。

3．[多选](2016·金华高一检测)质量为2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速运动，拉力F作用2 s后撤去，物体运动的速度图象如图所示，则下列说法正确的是(取g＝10 m/s2)( )
A．拉力F做功150 J
B．拉力F做功350 J
C．物体克服摩擦力做功100 J
D．物体克服摩擦力做功175 J
解析：选AD 由题图可以求出0～2 s内的加速度a1＝2.5 m/s2,2～6 s内的加速度a2＝－2.5 m/s2，由F＋F f＝ma1，F f＝ma2联立，得F＝10 N，F f＝－5 N，由题图还可求出前2 s 内的位移l1＝15 m,2～6 s内的位移l2＝20 m，所以拉力做功W拉＝Fl1＝10×15 J＝150 J，摩擦力做功W f＝F f(l1＋l2)＝－5×(15＋20)J＝－175 J，即物体克服摩擦力做功175 J，A、D正确。

4．[多选]如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体的做功情况可能是( )
A．始终不做功
B．先做负功后做正功
C．先做正功后不做功
D．先做负功后不做功
解析：选ACD 要判断传送带对物体的做功情况需分析物体所受摩擦力的可能方向。

设传送带速度大小为v1，物体刚滑上传送带时的速度大小为v2。

①当v1＝v2时，物体随传送带一起匀速运动，故传送带与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功，A正确；
②当v1<v2时，物体相对传送带向右运动，物体受到的滑动摩擦力方向向左，则物体先做匀减速运动，直到速度减为v1，再做匀速运动，故传送带对物体先做负功后不做功，D正确；
③当v1>v2时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，则物体先做匀加速运动，直到速度达到v1，再做匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功，B错误，C正确。

5．(2016·瑞安高一检测)如图所示，两个物体与水平地面间的动摩擦因数相等，它们的质量也相等。

在甲图用力F1拉物体，在乙图用力F2推物体，夹角均为α，两个物体都做匀速直线运动，通过相同的位移。

设F1和F2对物体所做的功分别为W1和W2，物体克服摩擦力做的功分别为W3和W4，下列判断正确的是( )
A．F1＝F2 B．W1＝W2
C．W3＝W4 D．W1－W3＝W2－W4
解析：选D 由受力分析可知，F1cos α＝μ(mg－F1·sin α)，F2cos α＝μ(mg＋F2sin α)，则F1<F2，A错误；由W＝Fx cos α，位移大小相等，夹角相等，则有W1<W2，B错误；
由F f ＝μF N ，可知F f1＝μ(mg －F 1sin α)，F f2＝μ(mg ＋F 2sin α)，则有W 3<W 4，C 错误；两物体都做匀速直线运动，合外力做功之和为零，则有W 1－W 3＝W 2－W 4，所以D 正确。

二、非选择题
6．人在A 点拉着绳，通过一定滑轮吊起一质量m ＝50 kg 的物体，如图所示。

开始时绳与水平方向间的夹角为60°，在匀速提起物体的过程中，人由A 点沿水平方向运动了l ＝2 m
到达B 点，此时绳与水平方向成30° 角。

求人对绳的拉力做了多少功。

(取g ＝10 m/s 2)
解析：人对绳的拉力的方向时刻在变，是变力，故不能用W ＝Fl cos α直接求拉力做的功。

但人对绳的拉力所做的功和绳对物体的拉力所做的功是相等的，物体匀速
上升，则绳的拉力恒等于重力。

设滑轮距人手的高度为h ，则h tan 30°－h tan 60°＝l 人由A 运动到B 的过程中，重物上升的高度
Δh ＝h sin 30°－h sin 60°
故人对绳的拉力所做的功W ＝mg Δh
代入数据得W ≈732 J
答案：732 J。