届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练理含解析新人教版

第八章 平面解析几何 第五节 椭圆
[A 组 基础对点练]
1．已知方程x 2|m |－1 ＋y 2
2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )
A ．⎝⎛⎭⎫－∞，3
2 B ．(1，2)
C ．(－∞，0)∪(1，2)
D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭
⎫1，3
2 解析：依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1＞0，
2－m ＞0，2－m ＞|m |－1， 解得m ＜－1或1＜m ＜3
2
.
答案：D
2．已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为5
3 ，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，
则b ＝( )
A ．8
B ．6
C ．5
D ．4
解析：由题意可得e ＝c a ＝5
3 ，由椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，可得2a ＝12，
即有a ＝6，c ＝25 ，b ＝
a 2－c 2 ＝4.
答案：D
3．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，1
2 ×2cb ＝1
⇒bc ＝1，2a ＝2
b 2＋
c 2 ≥22bc ＝22 ，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．
答案：D
4．(2020·东北三校联考)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12 ，则m
n ＝( )
A ．3
4
B ．43
C ．
32 或233
D ．34 或4
3
解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 2
1m ＋y 2
1n ＝1，依题意得1m －
1n 1m ＝14 ，所以m n ＝3
4 ；若
焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m
＝1，同理可得m n ＝43 .所以所求值为34 或4
3 .
答案：D
5．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3
3 ，过点
F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43 ，则C 的方程为( )
A ．x 23 ＋y 2
2 ＝1
B ．x 2
3 ＋y 2＝1
C ．x 212 ＋y 2
8
＝1
D ．x 212 ＋y 2
4
＝1
解析：由已知e ＝c a ＝3
3 ，又△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)
＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝2a ＋2a ＝43 ，
解得a ＝3 ，故c ＝1，b ＝
a 2－c 2 ＝2 ，
故所求的椭圆方程为x 23 ＋y 2
2 ＝1.
答案：A
6．设F 1，F 2分别是椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →
＋OF 2)·PF 2
＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：因为(OP → ＋OF 2)·PF 2＝(OP →
＋F 1O )·PF 2＝F 1P ·PF 2＝0， 所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4， m 2＋n 2＝12，所以mn ＝2， 所以S △F 1PF 2＝1
2
mn ＝1.。