2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题03 导数及其应用 Word版含解析

03 导数及其应用
1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则
f(1)+f'(1)=().
A.1
B.2
C.3
D.4
解析▶由条件知(1,f(1))在直线x-y+2=0上,且
f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=3+1=4,故选D.
答案▶ D
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为().
A.-
B.-2
C.-2或-
D.2或-
解析▶由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,
则f'(1)=0,f(1)=10,
即
--
-或-
解得
-满足题意,故=-,故选A.
经检验
答案▶ A
3.对于R上可导的任意函数f(x),若满足-≤0 则必有().
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f 2 ≤2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1)
D.f(0)+f 2 ≥2f(1)
解析▶当x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1).所以f(0)>f(1),f(2)>f(1),则
f(0)+f(2)>2f(1).故选A.
答案▶ A
4.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.
解析▶y'=-x2+a,若y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不等实根,Δ=4a>0,故a的取值范围是(0,+∞).
答案▶(0,+∞)
【例1】(1)已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为().
A.B.-C.-D.
(2)曲线f(x)=x2+ln x在点(1,f(1))处的切线方程为.
解析▶(1)对函数f(x)=求导,可得f'(x)=-.
因为曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的斜率为1,
所以f'(1)==1,得a=,故选D.
(2)因为f'(x)=2x+,
所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=2+=3.
因为f(1)=1,
所以切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
答案▶(1)D(2)3x-y-2=0
1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点
P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:先求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.
1.设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.
解析▶∵函数y e=x的导函数为y'e=x,
∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P的坐标为(x0,y0)(x0>0),
∵函数y=的导函数为y'=-,
∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-,
由题意知k1k2=-1,即1·-=-1,解得=1,
又x0>0,∴x0=1.
∵点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1,
故点P的坐标为(1,1).
答案▶(1,1)
2.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
解析▶(法一)令f(x)=x+ln x,求导得f'(x)=1+,则f'(1)=2.
又f(1)=1,∴曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为
y-1=2(x-1),即y=2x-1.
设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切的切点为P(x0,y0), 则当x=x0时,y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-.
又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,
∴x0=-,此时a=8.
(法二)求出曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1.
由-
得ax2+ax+2=0,
∴Δ=a2-8a=0,∴a=8或a=0(显然不成立).
【例2】(1)函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为().
A.(0,)
B.∞
C.-∞
D.
(2)若函数f(x)=ln x+ax2-2在内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是().
A.(-∞,-2]
B.-∞
C.--
D.(-2,+∞)
解析▶(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由题意得f'(x)=2x ln x+x=x(2ln x+1),
令f'(x)<0,解得0<x<,
所以函数f(x)的单调递减区间为.
故选D.
(2)由题意得f'(x)=+2ax,
若f(x)在内存在单调递增区间,
则f'(x ≥0在上有解,即a≥-.
又g(x)=-在上是单调递增函数,所以g(x)>g=-2,所以a>-2.故选D.
答案▶(1)D(2)D
利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b ”的区别.
1.已知函数f(x)=-+ln x,若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数a的取值范围为.
解析▶∵f(x)=-+ln x,
∴f (x)=-(a>0).
∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,
∴f (x)=-≥0对任意的x∈[1 +∞)恒成立,
∴ax-1≥0对任意的x∈[1 +∞)恒成立,
即a≥对任意的x∈[1 +∞)恒成立,∴a≥1.
答案▶[1,+∞)
2.已知函数f(x)=x2-2a ln x+(a-2)x.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
解析▶(1)当a=-1时,f(x)=x2+2ln x-3x,
则f'(x)=x+-3=-
=--.
当0<x<1或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当1<x<2
时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(2,+∞),单调递减区间为(1,2).
(2)假设存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增,
∴g (x)=f'(x)-a=x--2≥0恒成立.
即--≥0对任意的x∈ 0 +∞)恒成立.
∴x2-2x-2a≥0对任意的x∈ 0 +∞)恒成立,
∴a≤(x2-2x)=(x-1)2-(x∈ 0 +∞))恒成立.
又φ(x)=(x-1)2-,x∈ 0 +∞)的最小值为-,
∴当a≤-时,g'(x ≥0恒成立.
又当a=-时,g'(x)=-,当且仅当x=1时,g'(x)=0.
故当a∈-∞ -时,g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增.
【例3】若x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)e x的极值点,则f(x)的极大值等于().
A.-1
B.3
C.-2e3
D.6e-1
解析▶∵函数f(x)=(x2+ax+1e)x,
∴f (x)=[x2+(2+a)x+a+1]e x.
∵x=3是函数f(x)=(x2+ax+1)e x的极值点,
∴f (3)=0,解得a=-4,
故f'(x)=(x2-2x-3)e x,
∴当x=-1时,f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=6e-1.故选D.
答案▶ D
【例4】已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a<0时,求函数f(x)在上的最小值.
解析▶(1)由函数f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x,可得
f'(x)=2ax+(1-2a)-=-.
令f'(x )>0,∵a>0,x>0,∴
>0,
∴x -1>0,得x>1,
∴f (x )的单调递增区间为(1,+∞).
(2)由(1)可得f'(x )=
-
-
-
.
已知a<0,令f'(x )=0,得x 1=-
,x 2=1.
①当- >1,即- <a<0时,x ∈ ,f'(x )<0,因此f (x )在
上
是减函数,
∴f (x )在
上的最小值为f (1)=1-a. ②当
≤-
≤1 即-1≤a ≤-
时,
若x ∈
-
,则f'(x ≤0;若x ∈ - ,则f'(x ≥0. 因此f (x )在
-
上是减函数,在 -
上是增函数,
∴f (x )的最小值为f -
=1-
+ln(-2a ).
③当-
<
,即a<-1时,x ∈
,f'(x )>0,因此f (x )在
上是
增函数,
∴f (x )的最小值为f
= -
a+ln 2.
综上,函数f (x )在
上的最小值为
f (x )min =
-
- - - - -
- -
利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程f'(x )=0的根,再检查f'(x )在方程根的左右两边函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况,则将问题转化为已知方程f'(x )=0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f (x )在闭区间[a ,b ]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f (a ),f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值.(4)
研究函数的极值或最值时应注意
的问题:①利用导数研究函数的极值和最值时,应先考虑函数的定义域;②导数值为0的点不一定是函数的极值点,它是函数在该点取得极值的必要不充分条件.
已知f(x)=ln x+.
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若对任意x>0,均有x(2ln a-ln x ≤a恒成立,求正数a的取值范围.
解析▶(1)f'(x)=-=-,x∈ 0 +∞).
①若a≤0 则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.
②若a>0,当x∈ 0 a)时,f'(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减;
当x∈ a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
故f(x)在(0,+∞)有极小值,无极大值,f(x)的极小值为f(a)=ln a+1.
(2)若对任意x>0,均有x(2ln a-ln x ≤a恒成立,
则对任意x>0,均有2ln a≤+ln x恒成立,
由(1)可知f(x)的最小值为ln a+1,
故问题转化为2ln a≤ln a+1,即ln a≤1 解得0<a≤e 故正数a 的取值范围是(0,e].
一、选择题
1.曲线f(x)=2x-e x在点(0,f(0))处的切线方程是().
A.x+y+1=0
B.x-y+1=0
C.x+y-1=0
D.x-y-1=0
解析▶由题意得f'(x)=2e-x,f'(0)=1,f(0)=-1,
故切线方程为x-y-1=0.故选D.
答案▶ D
2.已知函数f(x)=x+sin x,若a=f(3),b=f(2),c=f(log26),则a,b,c 的大小关系是().
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<a<c
D.b<c<a
解析▶因为f'(x)=1+cos x≥0
所以函数f(x)为定义域上的增函数,
而2<log26<3,所以b<c<a.故选D.
答案▶ D
3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是().
A.0
B.1
C.2
D.3
解析▶函数f(x)的定义域为(0,+∞),且
f'(x)=6x+-2=-,
令g(x)=6x2-2x+1,因为方程6x2-2x+1=0的判别式Δ=-20<0,所以g(x)>0恒成立,
故f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.故选A.
答案▶ A
4.如图,可导函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0))处的切线为
l:y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是().
A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点
B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点
C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点
D.h'(x0 ≠0
解析▶由题设有g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0),
故h(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),
所以h'(x)=f'(x)-f'(x0).
因为h'(x0)=f'(x0)-f'(x0)=0,
又当x<x0时,有h'(x)<0,当x>x0时,有h'(x)>0,
所以x=x0是h(x)的极小值点,故选B.
答案▶ B
5.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为().
A.(-∞,2)
B.(-∞,2]
C.-∞
D.-∞
解析▶∵f (x)=6x2-6mx+6,当x∈ 2 +∞)时,f'(x ≥0恒成立,即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.令g(x)=x+,g'(x)=1-,∴当x>2时,g'(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增,∴m≤2+=.
答案▶ D
6.设函数f(x)=ln x+ax2-x,若x=1是函数f(x)是极大值点,则函数f(x)的极小值为().
A.ln 2-2
B.ln 2-1
C.ln 3-2
D.ln 3-1
解析▶∵f(x)=ln x+ax2-x,
∴f (x)=+2ax-.
∵x=1是函数f(x)的极大值点,
∴f (1)=1+2a-=0,∴a=,
∴f(x)=ln x+x2-x.
∴f (x)=+-=-=--(x>0),
∴当x∈ 0 1 时,f'(x)>0;
当x∈ 1 2 时,f'(x)<0;
当x∈ 2 +∞)时,f'(x)>0.
∴当x=2时,f(x)取极小值,极小值为ln 2-2.故选A.
答案▶ A
7.已知y=f(x)是奇函数,当x∈ 0 2 时,f(x)=ln x-ax,当
x∈ -2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于().
A.B.C.D.1
解析▶由f(x)是奇函数,当x∈ -2,0)时,f(x)的最小值为1知,当x∈ 0 2 时,f(x)的最大值为-1.
令f'(x)=-a=0,得x=.
当0<x<时,f'(x)>0;当x>时,f'(x)<0.
∴f(x)max=f=-ln a-1=-1,解得a=1.故选D.
答案▶ D
8.已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a>0,b∈R 若对任意x>0,f(x ≥f(1),则().
A.ln a<-2b
B.ln a≤-2b
C.ln a>-2b
D.ln a≥-2b
解析▶f'(x)=2ax+b-,由题意可知f'(1)=0,即2a+b=1,由选项可知,只需比较ln a+2b与0的大小,而b=1-2a,所以只需判断ln
a+2-4a的符号.构造一个新函数g(x)=2-4x+ln x,则g'(x)=-4,令
g'(x)=0,得x=.所以当0<x<时,g(x)为增函数;当x>时,g(x)为减函数,所以对任意x>0有g(x ≤g=1-ln 4<0,所以有g(a)=2-4a+ln a=2b+ln a<0⇒ln a<-2b.
答案▶ A
二、填空题
9.已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f的值为.
解析▶因为f'(x)=-f'sin x+cos x,
所以f'=-f'sin +cos ,
所以f'=-1,
故f=f'cos +sin =1.
答案▶ 1
10.直线y=kx+1与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2),则b的值
为.
解析▶由直线y=kx+1与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2),知点M(1,2)满足直线y=kx+1的方程,即2=k+1,解得k=1,即y=x+1.
由y=x3+bx2+c,知y'=3x2+2bx,则y'|x=1=3+2b=1,解得b=-1.
答案▶-1
11.若函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.
解析▶由题意知f'(x)=3x2+a,
已知f(x)在(1,+∞)上是增函数,
则f'(x)=3x2+a≥0对任意x∈ 1 +∞)恒成立,
即a≥-3x2对任意x∈ 1 +∞)恒成立,∴a≥-3.
答案▶[-3,+∞)
12.若函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是.
解析▶f'(x)=-x+4-=--=---,
由f'(x)=0及判断可知函数f(x)的两个极值点为1,3,
则只要这两个极值点有一个在(t,t+1)内,函数f(x)在[t,t+1]上就不单调,所以t<1<t+1或t<3<t+1,
解得0<t<1或2<t<3.
答案▶ 0 1 ∪ 2 3
三、解答题
13.已知函数f(x)=a(x+1)ln x-x+1(a∈R .
(1)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a≥时,求证:对任意x∈[1 +∞),f(x ≥0恒成立.
解析▶(1)由f(x)=2(x+1)ln x-x+1得f'(x)=2ln x++1,
又切点为(1,0),斜率为f'(1)=3,
故所求切线方程为y=3(x-1),即3x-y-3=0.
(2)当a≥时,f(x)=a(x+1)ln x-x+1(x≥1
欲证f(x ≥0 注意到f(1)=0,只要f(x ≥f(1)即可,
f'(x)=a-1(x≥1
令g(x)=ln x++1(x≥1
则g'(x)=-=-≥0 x≥1
所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以g(x ≥g(1)=2,
所以f'(x ≥2a-1≥0,
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,于是有f(x ≥f(1)=0.
综上,当a≥时,对任意x∈[1 +∞),f(x ≥0恒成立.。