新巴尔虎左旗二中九年级数学上册第25章随机事件的概率25.2随机事件的概率25.2.1概率及其意义

25．2 随机事件的概率 25．2.1 概率及其意义
通过试验，理解事件发生的可能性问题，感受理论概率的意义．
重点
运用分析的方法在较为简单的问题情境下预测概率． 难点
对概率的理解．
一、情境引入
教师活动：拿出一枚硬币抛掷，提问：结果有几种情况？
学生活动：拿出一枚硬币抛掷，发现结果只有两种情况——“出现正面”和“出现反面”，而且发生的可能性均等，各占50%的机会．
教师引入：一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率．
学生联想：抛掷一枚硬币，“出现正面”的概率是12，“出现反面”的概率是1
2.
教师引导：可记作P(出现正面)＝12，P(出现反面)＝1
2.
二、探究新知
实践活动：引导学生在实验中寻找方法．
抛掷一枚普通的六面体骰子，“出现数字为5”的概率为多少？ 学生回答：16，可记作P(出现数字为5)＝1
6
.
上述例子可以经过分析很快地得出概率，但是实际中，许多问题是要通过进行重复试
验、观察频率值的办法来解决的．请看下面一个例子，见课本P 136
思路点拨：(1)关注的是哪个或哪些结果；(2)注意所有机会均等．(1)、(2)这两种结果个数的比就是所关注的结果发生的概率．
问题情境1：课本P 137问题1
学生活动：分四人小组展开对“问题1”的试验，并从中得到规律：如果掷的次数很多，试验的频率渐趋稳定，平均每6次就有1次掷出“6”．
【教学说明】通过试验，让学生逐步计算一个随机事件发生的试验频率，并观察其中的规律性，从而归纳出试验概率趋于理论概率这一规律．
例1 见课本P 139例1
思路点拨：本题是简单的古典概率，理论上很容易求出其概率．P(抽到男同学的名字)＝2242＝1121，P(抽到女同学的名字)＝2042＝1021<11
21
，得出结论为抽到男同学名字的概率大． 【教学说明】让学生感受到古典概率的内涵以及计算方式． 拓展延伸：课本P 140“思考”
【教学说明】分小组进行讨论，然后再在全班进行发言．
例2 见课本P 140例2
思路点拨：这是一个理论概率问题，袋中球的总数为8＋16＝24，由于红球有8只，因此，P(取出红球)＝824＝13，黑球有16只，P(取出黑球)＝1624＝2
3.也可以这样计算黑球：
P(取出黑球)＝1－P(取出红球)＝1－13＝2
3
.
例3 见课本P 140例3
思路点拨：这是一道通过比较取出黑球的概率大小进行判断的题目，首先要计算从甲、乙两只口袋中取出黑球的概率，P 甲
(取出黑球)＝
830＝415
，P 乙
(取出黑球)＝
80290
＝829>4
15
，所以选乙袋成功机会大． 三、练习巩固
教师利用课件展示练习，可由学生自主完成，第1，2，3题由学生抢答，第4题教师点名上台展示，再点评．
1．任意投掷均匀的骰子，4朝上的概率是________．
2．袋中装有6个红球和7个白球，且除颜色外，这些球都相同，从袋中任意摸出红球的概率是________．
3．一副扑克牌(去掉大王和小王)，随机抽取一张，抽取红桃的概率是________．
4．如图，有一个被等分为8个扇形的转盘，转动转盘，指针落在白色区域的概率是( )
A ．1
B .13
C .58
D .38
5．袋子里有1个红球，3个白球，5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸1个球：
(1)摸到红球的概率是多少？ (2)摸到白球的概率是多少？ (3)摸到黄球的概率是多少？ (4)哪一个概率最大？ 四、小结与作业 小结
1．什么叫概率？
2．本节中的试验结果所产生的趋势与理论概率之间有什么关系？ 3．试验次数的大小与所得的“估计值”有什么关系？ 4．谈谈你对概率的理解和体会． 布置作业
从教材相应练习和“习题25.2”中选取．
通过抛掷硬币，用学生喜欢的掷骰子和扑克牌试验导入新课，吸引学生迅速进入状态，让学生充分认识概率的意义；由学生自主探索，合作交流，运用分析的方法预测概率，使学生掌握本节课的知识，学生在解决问题的过程中，提高了思维能力，增强思维的缜密性，并且培养了学生解决问题的能力和信心．
第2课时用待定系数法求二次函数的解析式
【知识与技能】
利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.
【过程与方法】
通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.
【情感态度】
经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.
【教学重点】
待定系数法求二次函数的解析式.
【教学难点】
选择恰当的解析式求法.
一、情境导入，初步认识
问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？
【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件.
二、思考探究，获取新知
在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式.
回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：（1）顶点在原点，可设为y=ax2;
（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k;
（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2;
（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx;
(5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k;
（6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c;
（7）已知抛物线与x 轴两交点坐标为（x 1,0）,(x 2,0)时，可设交点式为y=a(x-x 1)(x-x 2).
【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握.
三、典例精析，掌握新知
例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式.
（1）已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式.
（2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）； （3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）. 分析：
(1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解.
(2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解. （3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但若注意到顶
点坐标实际上存在着两个独立等式，即有2b
a
-=-1, 244ac b a -=3,因此仍可求出相应二次函
数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a （x-h ）2
+k ，其中h ，k 可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a 值，可快速获得该二次函数表达式.
解：（1）方法一：设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则a(-2-1)(-2+5)=9/2,∴a=-1/2,y=-1/2(x-1)(x+5)=-1/2x 2
-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2
-2x+5/2.
方法二：∵图象过（1,0），（-5,0），则对称轴为直线x=-2,设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2
+9/2,
则a(1+2)2+9/2=0,解得a=-1/2.
∴y=-1/2(x+2)2
+9/2=-1/2x 2
-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2
-2x+5/2. （2）设所求的二次函数解析式为y=ax 2
+bx+c （a ≠0)，由题意，有：
104427a b c a b c a b c -+=++=++⎩=⎧⎪⎨⎪，，， 解这个方程组，得235.a b c =⎧⎪=⎩
=-⎪⎨，
， 故所求二次函数解析式为y=2x 2
-3x+5；
（3）方法一：设所求的二次函数表达式为y=ax 2
+bx+c （a ≠0），由题意，有：
242512434a b c b a ac b a ++=-
=--=⎧⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩
，，， 解得：29
4929.9a b c ⎧⎪⎪
==⎪⎨=⎪
⎪⎪⎩，， 故所求二次函数解析式为y=2/9x 2
+4/9x+29/9；
方法二：设所求的二次函数表达式为y=a （x-h ）2
+k(a ≠0)，由题意,有: h=-1，k=3，即y=a （x+1）2
+3.
把（2，5）代入，得5=a ×9+3.∴a=2/9.
故所求二次函数解析式为y=2/9(x+1)2
+3，即y=2/9x 2
+4/9x+29/9.
【教学说明】可让学生先独立思考，求出解析式，并交流结果，让快速完成的同学体验成功的喜悦；对出现的问题，让他们自查并反思，加深印象，在学生完成后，师生共同探索，总结收获.教师给出完整解答，规范学生的答题过程，最后教师引导学生做教材第40页练习.
四、运用新知，深化理解
1.抛物线y=ax 2
+bx-3过点（2,4），则代数式8a+4b+1的值为（ ） A.3 B.9 C.15 D.-15
2.抛物线y=mx 2-3x+3m-m2过原点，则m=_____,该抛物线的关系式为________.
3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：
（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1），B （1，0），C （-1，2）； （2）二次函数的图象顶点为（3，-2），且图象与x 轴两个交点间的距离为4； （3）抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点（1，4）和（5，0）.
【教学说明】1、2两题较为简单，可让学生自主完成，第2题注意抛物线解析式中的二次项系数不能为0.解第3题时，应注意关注学生是否能根据不同条件设二次函数的解析式.
【答案】1.C 2.3 y=3x 2
-3x 3.（1）y=2x 2
-x-1;
(2)y=1/2(x-3)2
-2，即y=1/2x 2
-3x+5/2.
【解析】依题意，可设此二次函数表达式y=a(x-3)2
-2，又它的对称轴为x=3，且图象与x 轴两交点间距离为4,可知图象与x 轴的交点坐标应分别为(1,0)和(5,0),从而可求出二次函数表达式;
(3)∵对称轴为直线x=2，且过点（5，0），则必过点（-1，0）. 故可设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1).
又抛物线过点(1,4),∴4=a(1-5)(1+1),∴a=-1/2.
故抛物线的解析式为
y=-1/2(x-5)(x+1),即y=-1/2x2+2x+5/2.
五、师生互动，课堂小结
求解析式时，要灵活运用待定系数法设出适当的解析式，师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.
1.布置作业：教材习题2
2.1第8、10、12题.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。

本课时的主要内容是利用待定系数法求二次函数解析式，教师应让学生体会求解过程，关键是让学生学会如何运用三点式，顶点式，交点式等来求解析式.
专题(一) 一元二次方程的解法
1．用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－16＝0；
(2)3x2－27＝0；
(3)(x－2)2＝9；
(4)(2y－3)2＝16.
2．用配方法解下列方程：
(1)x2－4x－1＝0；
(2)2x2－4x－8＝0；
(3)3x2－6x＋4＝0；
(4)2x2＋7x＋3＝0.
3．用公式法解下列方程：
(1)x2－23x＋3＝0；
(2)－3x2＋5x＋2＝0；
(3)4x2＋3x－2＝0；
(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．
4．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－3x＝0；
(2)(x－3)2－9＝0；
(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；
(4)2(t－1)2＋8t＝0；
(5)3x＋15＝－2x2－10x；
(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．
5．用合适的方法解下列方程：
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(2)5(x－3)2＝x2－9；
(3)t 2－
22t ＋18
＝0.
参考答案
1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4.
(2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3.
(3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1.
(4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12
. 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.
(2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝± 5.
∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.
(3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13
.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．
(4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74
)2＝2516.直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12，x 2＝－3. 3.(1)∵a＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1
＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，
∴x ＝－（－5）±492×3＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13
. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝
－3±412×4＝－3±418.∴x 1＝－3＋418
，x 2＝－3－418
. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝11>0，∴x ＝3±11
22＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224. 4.(1)x(x －3)＝0，∴x ＝0或x －3＝0，∴x 1＝0，x 2＝3.
(2)∵(x－3)2－32＝0，∴(x －3＋3)(x －3－3)＝0.∴x(x－6)＝0.∴x＝0或x －6＝0.∴x 1＝0，x 2＝6.
(3)原方程可化为(3x －2)2－(3x －2)＝0，∴(3x －2)(3x －2－1)＝0.∴3x－2＝0或3x －3＝0，∴x 1＝23
，x 2＝1. (4)原方程可化为2t 2＋4t ＋2＝0.∴t 2－2t ＋1＝0.∴(t－1)2
＝0，∴t 1＝t 2＝1.
(5)移项，得3x ＋15＋(2x 2＋10x)＝0，∴3(x ＋5)＋2x(x ＋5)＝0，即(x ＋5)(3＋2x)＝0.∴x＋5＝0或3＋2x ＝0.∴x 1＝－5，x 2＝－32
. (6)原方程可化为x(x －3)＝(2－x)(x －3)．移项，得x(x －3)－(2－x)(x －3)＝0.∴(x－3)(2x －2)＝0.∴x－3＝0或2x －2＝0.∴x 1＝3，x 2＝1.
5.(1)变形为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x－6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，
即(7x －16)(－3x ＋4)＝0.∴x 1＝167，x 2＝43
.
(2)5(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，整理得5(x －3)2
－(x ＋3)(x －3)＝0.∴(x－3)[5(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －
3)(4x －18)＝0.∴x－3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92
. (3)方程两边都乘以8，得8t 2－42t ＋1＝0，∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0.∴t ＝－（－42）±02×8＝24.∴t 1＝t 2＝24
.。