2022-2023学年湖北省武汉市青山区八年级(下)期中数学试卷及参考答案

2022-2023学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期中数学试卷及参考答
案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）若√x −2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞2
B ．x ＞3
C ．x ≥2
D ．x ＜2
2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A ．1，2，3
B ．2，3，4
C ．2，2，5
D ．2，3，√5
3．（3分）若√a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ）
A ．2
B ．4
C ．﹣3
D ．1.5
4．（3分）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝110°，则∠1的度数为（ ）
A ．70°
B ．65°
C ．60°
D ．110°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A ．√2+√3=√5
B ．2+√2=2√2
C ．√18−√82=√9−√4
D ．√2×√3=√6
6．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A ．四个角都为直角
B ．对角线互相平分
C ．对角线相等
D ．对角线互相垂直
7．（3分）已知x =2+√3，则代数式x 2﹣4x +3的值为（ ）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．√3
8．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的大小为（ ）
A ．75°
B ．65°
C ．55°
D ．50°
9．（3分）如图，在Rt △ABC 中∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使CF =12BC ，若EF ＝4，则DE 的长为（ ）
A．4B．√3+1C．2D．√3
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，分别以AB，AC，BC为边向△ABC 外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点F作KF∥HI，交DE 于点K，过点G作GM∥DE，与HI，KF分别交于点M，L．则四边形KLMJ的面积为（）
A．90B．100C．110D．120
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）化简：√(−3)2=．
12．（3分）如图，受台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是m．
13．（3分）如图，在▱ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△COD的周长是．
14．（3分）如果√28n 是整数，则正整数n 的最小值是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD =√2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，过D 作AE 的垂线，垂足为点．H ，连接BH 并延长，交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，则下列结论：①△ABE ≌△AHD ；②∠AED ＝∠CED ；③BH ＝FH ；④CD ＝FH ；⑤BC ﹣CF ＝HE ，其中正确的是 ．（填序号）
16．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为6，点P 为BC 边上一动点，以P 为直角顶点，AP 为直角边作等腰Rt △APE ，M 为边AE 的中点，当点P 从点B 运动到点C ，则点M 运动的路径长为 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）√12−3√13
+√3；
（2）(√5−√3)×(√5+√3)．
18．（8分）如图在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，点D 是BC 上一点，且CD ＝3．
（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）求AD 的长．
19．（8分）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 上的点，且AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E为边AD中点．用无刻度直尺画出以下图形，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在边BC上找点F使直线EF平分正方形ABCD的面积；
（2）画出边AB的中点N；
（3）在边CD上找点Q使AQ⊥BE；
（4）在直线BC上找点P使DP∥CE．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝5，求AE的长．
22．（10分）如图，一架梯子AB斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B 处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．
（1）如图1，若顶端A距离地面的高度AC为2.4米，BC为0.7米．
①则梯子的长为米；
②若顶端E距离地面的高度EF比AC少0.4米，求走廊的宽是多少米？
（2）如图2，G是线段AE上中点左侧一点，若BG＝2，AG•GE=2√3，则梯子的长为米．
23．（10分）在▱ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是BC 上一点，连接DE ，交AP 于点M ．N 是AP 上一点，且AM ＝MN ，连接BN 并延长交DC 于点F ．
（1）如图1，求证：四边形EBFD 是平行四边形；
（2）如图2，连接MC 交BF 于点H ，过点A 作AG ∥MC 交DE 于点G ．
①求证：MC ＝2AG ；
②当点P 为BC 中点时，若BF ＝a ，AP ＝b ，且
254AB 2=a 2+4b 2，直接写出▱ABCD 的面积（用含a ，
b 的式子表示）．
24．（12分）如图，点B （m ，n ）为平面直角坐标系内一点，且m ，n 满足n =√m −6+√6−m +6，过点B 分别作BA ⊥y 轴于点A ，BC ⊥x 轴于点C ．
（1）求证：四边形ABCO 是正方形；
（2）点E （0，b ）为y 轴上一点，点F （a ，0）为x 轴上一点．
①如图1，若a ＝2，b ＝4，点G 为线段BE 上一点，且∠EGF ＝45°，求线段FG 的长；
②如图2，若a +b ＝6，直线AF 与BE 交于点H ，连接CH ，则CH 的最小值为 ．
2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）若√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞2B．x＞3C．x≥2D．x＜2
【解答】解：∵√x−2在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
故选：C．
2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．2，3，√5
【解答】解：A、1+2＝3不能构成三角形，错误；
B、22+32≠42；
C、2+2＜5不能构成三角形，错误；
D、22+（√5）2＝32．
故选：D．
3．（3分）若√a是最简二次根式，则a的值可能是（）
A．2B．4C．﹣3D．1.5
【解答】解：A、√2是最简二次根式，符合题意；
B、√4=2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、√−3，不是二次根式，不符合题意；
D、√1.5=√3
2
=√
6
2
，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝110°，则∠1的度数为（）
A．70°B．65°C．60°D．110°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A ＝110°，
∴∠C ＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠C ＝180°﹣110°＝70°，
故选：A ．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A ．√2+√3=√5
B ．2+√2=2√2
C ．√18−√82=√9−√4
D ．√2×√3=√6
【解答】解：A 、√2与√3不属于同类二次根式，不能运算，故A 不符合题意；
B 、2与√2不属于同类二次根式，不能运算，故B 不符合题意；
C 、√18−√82=3√2−2√22=√22
，故C 不符合题意； D 、√2×√3=√6，故D 符合题意；
故选：D ．
6．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A ．四个角都为直角
B ．对角线互相平分
C ．对角线相等
D ．对角线互相垂直
【解答】解：正方形、矩形都具有四个角都是直角，
正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，
故选：D ．
7．（3分）已知x =2+√3，则代数式x 2﹣4x +3的值为（ ）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．√3
【解答】解：原式＝x 2﹣4x +4﹣4+3
＝（x ﹣2）2﹣1，
当x ＝2+√3时，
原式＝（2+√3−2）2﹣1
＝3﹣1
＝2，
故选：A ．
8．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的大小为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．50°【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO=1
2
∠BAD=
1
2
×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC
到点F，使CF=1
2
BC，若EF＝4，则DE的长为（）
A．4B．√3+1C．2D．√3【解答】解：如图，连接DC，
在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是边AB的中点，
∴DC=1
2
AB，BC=
1
2
AB，
∴BC＝DC，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥CF，DE=1
2 BC，
∵CF=1
2 BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝4，
∴BC＝4，
∴DE=1
2
×4＝2．
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，分别以AB，AC，BC为边向△ABC 外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直线ED，HI交于点J，过点F作KF∥HI，交DE 于点K，过点G作GM∥DE，与HI，KF分别交于点M，L．则四边形KLMJ的面积为（）
A．90B．100C．110D．120
【解答】解：延长AC至O，则CO⊥ML，如图：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
由勾股定理可得BC＝5，
∵四边形ABED，ACHI，BCGF都是正方形，
∴四边形的四个角都是90°，四条边平行且相等，
∵KF∥HI，GM∥DE，
∴∠JKL＝∠KJM＝90°，
∴四边形KLMJ，DGLA都是矩形，
∴ED＝DA＝AB＝3，AI＝AC＝IH＝4，BC＝BF＝CG＝5，
∴DJ＝AI＝4，JI＝DA＝3，
∵∠ACB+∠GCO＝90°＝∠ACB+∠ABC，
∴∠ABC＝∠GCO，
∴∠BAC＝∠COG，BC＝CG，
∴△ABC≌△OCG（AAS），
∴AB＝OC＝3，
∴∠COG＝90°，
∴∠JML＝90°，
∴四边形COMH是矩形，
∴CO＝HM＝3，
同理可得，四边形EKQB是矩形，
∴KE＝QB＝4，
∴四边形KLMJ的面积＝HJ•JM＝（KE+ED+DJ）•（JI+IH+HM）＝（4+3+4）×（3+4+3）＝110．故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）化简：√(−3)2=3．
【解答】解：√(−3)2=√9=3，
故答案为：3．
12．（3分）如图，受台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是16m．
【解答】解：由题意得BC＝8m，AB＝6m，
在直角△ABC中，根据勾股定理得：AC=√62+82=10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故答案为：16．
13．（3分）如图，在▱ABCD两对角线A，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△COD的周长是29．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝11，
∴OC+OD=1
2
（AC+BD）＝18，
∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝18+11＝29．
故答案为：29．
14．（3分）如果√28n是整数，则正整数n的最小值是7．
【解答】解：因为√28n是整数，可得：正整数n的最小值是7，
故答案为：7．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，过D作AE的垂线，垂足为点．H，连接BH并延长，交CD于点F，连接DE交BF于点O，则下列结论：①△ABE≌△AHD；
②∠AED＝∠CED；③BH＝FH；④CD＝FH；⑤BC﹣CF＝HE，其中正确的是①②③⑤．（填序
号）
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE ＝∠DAH ＝45°，
∴△ABE 和△ADH 是等腰直角三角形，
∴AE =√2AB ，AD =√2AH ，
∵AD =√2AB ＝AH ，
∴AD ＝AE ，AB ＝AH ＝DH ＝DC ，
∴∠ADE ＝∠AED ，
∴∠AED ＝∠CED ，
∴②正确；
在△ABE 和△AHD 中，
{∠BAE =∠DAE
∠ABE =∠AHD =90°AE =AD
，
∴△ABE ≌△AHD （AAS ），故①正确；
∴BE ＝DH ，
∵AB ＝AH ，
∵∠AHB =12（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE ＝∠AHB ＝67.5°，
∴∠DHO ＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠EBH ＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH ＝∠OHD ，
在△BEH 和△HDF 中，
{∠EBH =∠OHD =22.5°BE =DH ∠AEB =∠HDF =45°
，
∴△BEH ≌△HDF （ASA ），
∴BH ＝HF ，故③正确；
∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，
∴△ABH 不是等边三角形，
∴AB ≠BH ，
∴CD ≠HF ，故④错误；
过H 作HK ⊥BC 于K ，
可知KC =12BC ，HK ＝KE ，
由上知HE ＝EC ，
∴12BC ＝KE 十EC ， 又KE ＝HK =12
FC ，HE ＝EC ，
故12BC ＝HK +HE ，BC ＝2HK +2HE ＝FC +2HE ，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤．
16．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为6，点P 为BC 边上一动点，以P 为直角顶点，AP 为直角边作等腰Rt △APE ，M 为边AE 的中点，当点P 从点B 运动到点C ，则点M 运动的路径长为 3√2 ．
【解答】解：连接AC ，BD 交于点O ，连接EC ，过点E 作ET ⊥BC 交BC 的延长线于T ．
∵△APE 为等腰直角三角形，
∴∠APE ＝90°，AP ＝PE ，
∵∠ABP ＝∠PTE ＝90°，
∴∠APB +∠EPT ＝90°，∠EPT +∠PET ＝90°，
∴∠APB ＝∠PET ，
∴△ABP ≌PTE ，
∴AB ＝PT ，PB ＝TE ，
∵AB ＝BC ，
∴BC＝PT，
∴BP＝CT＝ET，
∴∠ECT＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠AOD＝90°，
∴OD∥CE，
∵AO＝OC，
∴OD与AE的交点即为AE的中点M，∴点M移动的距离就是OD的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴OD=
6
√2
=3√2．
故答案为：3√2．三、解答题（共72分）17．（8分）计算：
（1）√12−3√1
3
+√3；
（2）(√5−√3)×(√5+√3)．
【解答】解：（1）原式＝2√3−√3+√3
＝2√3；
（2）原式＝5﹣3
＝2．
18．（8分）如图在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，点D是BC上一点，且CD＝3．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求AD的长．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB2＝132＝169，BC2＝122＝144，AC2＝52＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）在△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝5，CD＝3，
∴AD=√AC2+CD2=√52+32=√34．
19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF．
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E为边AD中点．用无刻度直尺画出以下图形，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在边BC上找点F使直线EF平分正方形ABCD的面积；
（2）画出边AB的中点N；
（3）在边CD上找点Q使AQ⊥BE；
（4）在直线BC上找点P使DP∥CE．
【解答】解：（1）如图，点F为所作；
（2）如图，点N为所作；
（3）如图，点Q为所作；
（4）如图，点P为所作．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝5，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AB＝13，∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝10，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴132﹣BE2＝102﹣（13﹣BE）2，
∴BE=119 13
，
∴AE=√AB2−BE2=√132−(119
13
)2=
120
13
．
22．（10分）如图，一架梯子AB斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B 处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．
（1）如图1，若顶端A距离地面的高度AC为2.4米，BC为0.7米．
①则梯子的长为 2.5米；
②若顶端E距离地面的高度EF比AC少0.4米，求走廊的宽是多少米？
（2）如图2，G是线段AE上中点左侧一点，若BG＝2，AG•GE=2√3，则梯子的长为（√3+1）米．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，
AB=√AC2+BC2
=√2．42+0．72
＝2.5（米），
故答案为：2.5；
②∵梯子的长度不变，
∴BE ＝AB ＝2.5，
∵顶端E 距离地面的高度EF 比AC 少0.4米，
∴EF ＝2.4﹣0.4＝2，
在Rt △BEF 中，
BF =√BE 2−EF 2
=√2．52−22
＝1.5，
∴CF ＝BC +BF ＝0.7+1.5＝2.2（米），
答：走廊的宽是2.2米；
（2）如图，设AE 的中点为H ，连结BH ，
设AG ＝x 米，
∵AG •GE =2√3，
∴GE =2√3x
米， 设梯子的长为y 米，
∵AB ＝BE ，AE 的中点为H
∴BH ⊥AE ，
在Rt △ABH 中，BH 2＝AB 2﹣AH 2＝y 2﹣（x+2√3x 2
）2， 在Rt △BGH 中，BH 2＝BG 2﹣GH 2＝22﹣（
x+2√3x x −x ）2， ∴y 2﹣（x+2√3x 2）2＝22﹣（x+2√3x x −x ）2，
化简得：y 2＝4+2√3，
∴y =√3+1．
∴梯子的长为（√3+1）米，
故答案为：（√3+1）．
23．（10分）在▱ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是BC 上一点，连接DE ，交AP 于点M ．N 是AP 上一点，且AM ＝MN ，连接BN 并延长交DC 于点F ．
（1）如图1，求证：四边形EBFD 是平行四边形；
（2）如图2，连接MC 交BF 于点H ，过点A 作AG ∥MC 交DE 于点G ．
①求证：MC ＝2AG ；
②当点P 为BC 中点时，若BF ＝a ，AP ＝b ，且
254AB 2=a 2+4b 2，直接写出▱ABCD 的面积（用含a ，
b 的式子表示）．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴AE ＝EB ，AM ＝MN ，
∴EM ∥BN ，
∴BE ∥DF ，DE ∥BF ，
∴四边形EBFD 是平行四边形．
（2）①证明：如图2，作FK ∥MC 交DE 于点K ，
∵FK ∥MH ，FH ∥MK ，
∴四边形MHFK 是平行四边形，
∴MH ＝FK ，
∵FD ＝BE =12AB ，AB ＝CD ，
∴FD =12CD ，
∴CF ＝FD ，
∵∠CFH ＝∠FDK ，∠FCH ＝∠DFK ，
∴△CFH ≌△FDK （ASA ），
∴CH ＝FK ，
∴MC ＝2FK ，
∵AG ∥MC ，FK ∥MC ，
∴AG ∥FK ，
∴∠AGD ＝∠FKE ，
∴180°﹣∠AGD ＝180°﹣∠FKE ，
∴∠AGE ＝∠FKD ，
∵∠AEG ＝∠FDK ，AE ＝BE ＝FD ，
∴△AEG ≌△FDK （AAS ），
∴AG ＝FK ，
∴MC ＝2AG ．
②解：如图3，延长AP 交DC 的延长线于点R ， ∵∠PCR ＝∠PBA ，CP ＝BP ，∠CPR ＝∠BP A ， ∴△CPR ≌△BP A （ASA ），
∴RC ＝AB ，RP ＝AP ＝b ，
∴AR ＝2AP ＝2b ，
作RL ∥BF 交AB 的延长线于点L ，作CQ ⊥AL 于点Q ， ∵RF ∥BL ，
∴四边形RFBL 是平行四边形，
∴RL ＝BF ＝a ，
∵CF =12CD =12AB ，
∴BL ＝RF ＝RC +CF ＝AB +12AB =32AB ，
∴AL ＝AB +BL ＝AB +32AB =52AB ，
∵254AB 2＝a 2+4b 2，
∴（52AB ）2＝a 2+（2b ）2，
∴AL 2＝RL 2+AR 2，
∴△ARL 是直角三角形，且∠ARL ＝90°，
∴S △ARL =12RL •AR =12a ×2b ＝ab ，
∵S △ARL =12AL •CQ =12×52AB •CQ =54AB •CQ ，
∴54AB •CQ ＝ab ， ∴S ▱ABCD ＝AB •CQ =45
ab ，
∴▱ABCD 的面积为45ab ．
24．（12分）如图，点B （m ，n ）为平面直角坐标系内一点，且m ，n 满足n =√m −6+√6−m +6，过点B 分别作BA ⊥y 轴于点A ，BC ⊥x 轴于点C ．
（1）求证：四边形ABCO 是正方形；
（2）点E （0，b ）为y 轴上一点，点F （a ，0）为x 轴上一点．
①如图1，若a ＝2，b ＝4，点G 为线段BE 上一点，且∠EGF ＝45°，求线段FG 的长； ②如图2，若a +b ＝6，直线AF 与BE 交于点H ，连接CH ，则CH 的最小值为 3√5−3 ．
【解答】（1）证明：由题意得，{m −6≥06−m ≥0
， ∴m ＝6，
∴n ＝6，
∴B （6，6），
∵BA ⊥y 轴，BC ⊥x 轴，∠AOC ＝90°，
∴四边形ABCO 是矩形，
∴BC ＝6，AB ＝6，
∴BC ＝AB ，
∴四边形ABCO 是正方形；
（2）解：①连接AF ，交BE 于点H ，
∵E （0，4），F （2，0），
∴OF ＝2，OE ＝4，
∵四边形ABCO 是正方形，
∴AB ＝OA ＝6，∠BAO ＝∠AOC ＝∠ABC ＝90°，
∴AE ＝OA ﹣OE ＝2，
∴AE ＝OF ，
在△BAE 和△AOF 中，
{AB =AO
∠BAE =∠AOF =90°AE =OF
，
∴△BAE ≌△AOF （SAS ），
∴∠ABE ＝∠OAF ，
∵∠ABE +∠AEB ＝90°，
∴∠OAF +∠AEB ＝90°，
∴AF ⊥BE ，
在Rt △AOF 中，
AF =√OF 2+OA 2=√62+22=2√10，
在△AHE 和△AOF 中，
{∠AHE =∠AOF ∠HAE =∠OAF
， ∴△AHE ∽△AOF ，
∴
AE AF =AH AO ， ∴2√10=AH
6
， ∴AH =3√105
， ∴HF ＝AF ﹣AH ＝2√10−
3√105=7√105， 在Rt △FHG 中，∠HGF ＝45°，HFG ＝45°，
∴∠HGF ＝∠HFG ，
∴HG ＝HF =7√105
， ∴FG =√HF 2+HG 2=√(7√105)2+(7√105)2=
14√55； ②∵E （0，b ），F （a ，0），
∴OF ＝a ，OE ＝6，AE ＝OA ﹣OE ＝6﹣6＝0，
∴OF ＝AE ，
在△BAE 和△AOF 中，
{AB =OA
∠BAE =∠AOF AE =OF
，
∴△BAE ≌△AOF （SAS ），
取AB 的中点为M ，连接CM 交圆弧于点H ′，CH 的最小值为CH ′，
在Rt△CBM中，OM＝3，BC＝6，
∴CM=√BC2+BM2=√62+32=3√5，∴CH′＝CM﹣MH′＝3√5−3，
∴CH的最小值为3√5−3．
故答案为：3√5−3．。