概率论--数学期望和方差

,
k 0,1,
E(X)=p, D(X)=p(1-p)
E(X)=np, D(X)=np(1-p)
E(X)=λ D(X)=λ
三.常见重要随机变量的期望与方差
均匀分布
f (x)
b
1
a
,a

Hale Waihona Puke xb 0 , else
连 续 型
随 机
指数分布
f (x)
1

x
e
x, lim P{ n np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
例2 不断进行射击,设每次命中率为0.1
求:(1)射击500次,击中次数在区间(49,55] 之中的概率; (2)至少射击多少次,才能使击中次数超过 50次的概率大于正数p.
三.Liapunov定理(Th3)设随机变量 X1, X2,, Xn,
若
g(xi , y j )pij
绝对收敛,则有
i1 j1

E(Z ) E[g( X ,Y )]
g (xi , y j )pij
i1 j 1
(X,Y)是连续型:概率密度f(x,y)
若 g(x, y) f (x, y)dxdy 绝对收敛,则有
2.方差的计算 D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2
3.方差的性质
性质1 D(c)=0
性质2 D(cX ) c2D(X )
性质3 设X,Y相互独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y)
性质4 D(X)=0的充要条件是P{X=c}=1
• 引例 三位选手参加选拔赛,每人射击N次,
成绩如下:请你从中选一位选手代表你队参 加正式比赛.
相关系数 1. | rxy | 1,
2. | rxy | 1的充要条件是存在常数 a,b 使P{Y a bX} 1
§2.8 相关系数
一.相关系数,协方差的定义和求法 二.相关系数,协方差的性质 三.不相关与相互独立的关系 解答: 三.不相关与相互独立的关系
X,Y相互独立 X,Y不相关 X,Y不相关 X,Y相互独立
求法 Cov(X ,Y ) E(XY) E(X )E(Y )
§2.8 相关系数
一.相关系数,协方差的定义和求法 二.相关系数,协方差的性质 三.不相关与相互独立的关系 解答: 二.性质
协方差 1.Cov(X ,Y ) Cov(Y, X )
2.Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y ) 3.Cov(X1 X 2 ,Y ) Cov(X1,Y ) Cov(X 2 ,Y )
Yn k1
k 1 n
D( X k )
k 1
n
的分布函数满足 k1
n
X k n
x,
lim
n
Fn
(x)

lim
n
P{
k
1
n
x}
x
1
t2
e 2 dt
2
二.De Moivre-Laplace定理
Th2(Th1的特殊情况) 设随机变量 ηn(n=1,2,…)服从二项分布b(n,p),则
一.相关系数,协方差的定义和求法
二.相关系数,协方差的性质
三.不相关与相互独立的关系
解答: 一.定义
协方差 Cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
相关系数
rxy
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2Cov(X ,Y )
E(X k ) , D(X k ) 2
则
Yn

1 n
n
X k 依 概 率 收 敛 于
k 1
2.大数定律
• 推论2(Bernoulli定理) 设nA是n次
独立重复试验中事件A发生的次数,p是
每次试验事件A发生的概率,则
0, lim P{| nA p | } 1
若级数 xk pk 绝对收敛,则称级数
的和为随机变k 1量X的数学期望,记为E(X),
即

E( X ) xk pk
k 1
例1 火炮对目标射击,设各次射击相
互独立,每次射击命中率p,求命中一发
的弹药平均消耗量.
1.数学期望的定义
连收敛续,型则随称机积分变值量为随若机积变分量X的xf数(x学)dx期绝望对,
X～N(0,1),若 P{X z } ,0 1 则称 z 为N(0,1)的α分位点.
§4.4 大数定律
一.问题的引入
设n重Bernoulli试验,事件A发生nA次,
由统计概率知:
nA p(n ) n
问题是要证明“为什么”.
用随机变量表示:设
Xk
1, 0,
相互独立,且有期望和方差 E(X k ) , D(X k ) 2 0
第k次 事 件A发 生 否则
n
要证明 X k
k1 p n
( p E(X k ))
二.大数定理
• 1.Chebyshev不等式 设随机变量X
具有数学期望 E( X ) , D( X ) 2
则 0, lim P{| X | } 2
n
2
例1 已知正常男性成人血液中,白细 胞平均每毫升7300,均方差700.利用 Chebyshev不等式估计每毫升白细胞数在 5200-9400之间的概率.
例1 设X,Y是随机变量,且 Y X 2 求:X,Y
的相关系数.(1)X服从(-1,1)上均匀分布
(2)X服从(0,2)上均匀分布
解:(1)由题设知
f
( x)


1 2
,
x

(1,1)
0 , else
E( X ) 1 x dx 0, E(Y ) 1 x 2 dx,
§2.7 数学期望和方差
• 引例 三位选手参加选拔赛,每人射击
N次,成绩如下:
概率\环数 10
甲
0.9
乙
0.8
丙
0.8
9
8
0
0.1
0.2
0
0.1
0.1
如果你是教练请从中选出一位选手代表你 队参加正式比赛.
一.数学期望
1.数学期望的定义
离散型随机变量
P{X
xk}
pk , k 1,2,
记为E(X),即 E( X )

xf (x)dx

例2 设某设备在某规定时间里,用于最大负 荷的时间X(以分计)是随机变量,概率密度爲
f (x)
求E(X)

1

15002 1
150002,

x, (3000

0 x),1500
x 1500
x 3000 else
E(Y ) E( X 2 ) 2 x2 dx 4 ,
02
3
E( XY) 2 x3 dx 2, E(Y 2 ) 2 x4 dx 16,
02
02
5
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 1 , D(Y ) 64
3
65
Cov(X ,Y ) 2 , 3
淘汰甲
∴选乙参加比赛
• 例5 民航班车载有20名乘客,途中有10个
站可下车,如车站无人下车则不停车,设每名 乘客在各车站下车是等可能的,且各乘客是 否下车相互独立,求班车的平均停车次数.
• 解:设X表示班车停站次数
• 引入随机变量:
1, 第i站有人下车 X i 0, 第i站无人下车 i 1,2,,10
n
n
推论3(辛钦定理) 设随机变量 X1, X 2 ,, 相互独立,服从同一分布,且具有数学期
望 E( X k ) ,,则


0, lim P{| n
1 n
k 1
Xk

| } 1
§4.5 中心极限定理
引例 设炮弹射击的目标位置是原点,设
炮弹落点为坐标(X,Y),X是落点对目标沿 X轴的偏差,X是随机的. 产生偏差的原因很多,如:瞄准误差X1,炮 弹本身结构引起的误差X2,空气阻力产生 的误差X3,…
2.随机变量函数的数学期望
定理 设Y=g(X)是随机变量X的函数(g连续)
(1)X是离散型:
P{X

xk }
pk ,k
1,2,
若 g(xk ) pk 绝对收敛,则有
k 1

E(Y ) E[g( X )] g(xk ) pk
k 1
(2)X是连续型:概率密度f(x)
2.大数定理
定理1 设随机变量 X1, X 2 ,, X n ,相互 独立,且具有相同的数学期望和方差:
E(X k ) , D(X k ) 2


0, lim n
P{|
Yn


|
}

lim
n
P{|
1 n
k 1
Xk


|
}
1
推论1 设随机变量 X1, X 2 ,, X n , 相互 独立,且具有相同的数学期望和方差:
1 2
1 2
1 x3
E( XY)
dx 0
1 2
Cov( X ,Y ) E( XY) E( X )E(Y ) 0,
rxy
Cov( X ,Y ) 0 D( X ) D(Y )
解:(2)
f
( x)

1 2
,
x

(0,2)
0 , else
E(X ) 2 x dx 1, 02
易见 X X1 X 2 X10
三.常见重要随机变量的期望与方差
(0-1)分布
X
10
pk
p 1-p
离 散
二项分布
型 随
P{X xk } Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
机
变 Poisson分布
量
P{X

xk }
e k
k!
若

g(x) f
(x)dx
绝对收敛,则有


E(Y ) E[g( X )] g(x) f (x)dx
推广:二维随机变量函数的数学期望
定理 设Z=g(X,Y)是(X,Y)的函数(g连续)
(X,Y)是离散型:
P{X

xi ,Y

yj}

pij ,i,
j
1,2,
则偏差X=X1+X2+...
一.独立同分布的中心极限定理
Th1 设随机变量 X1, X 2 ,, X n相,互独立, 服从同一分布,且具有数学期望和方差:
E( X k ) , D( X k ) 2 0(k 1,2, )
随机变量
n
n
n
X k E( X k ) X k n
概率\环数 10
甲
0.9
乙
0.8
丙
0.8
9
8
0
0.1
0.2
0
0.1
0.1
解:设X,Y,Z分别表示甲,乙,丙射击环数
E(X)=9.8,E(Y)=9.8,E(Z)=9.7,淘汰丙
D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2 0.36 D(Y ) E(Y 2 ) [E(Y )]2 0.16
E( X k ),
k 1,2,
E{[ X E( X )]k }, k 1,2,
E( X kY l ), k,l 1,2,
4.k+l混合中心矩 E{[ X E( X )]k [Y E(Y )]l }, k,l 1,2,
二.标准正态分布的分位点

E(Z) E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy

例3 设随机变量(X,Y)的概率密度
为
x y,0 x 1,0 y 1
f (x, y)
0,
else
求E(X),E(Y),E(XY).
3.数学期望的性质
• 性质1 E(c)=c
• 性质2 E(cX)=cE(X)
• 性质3 E(X+Y)=E(X)+E(Y) • 性质4 设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)
二.方差
1.方差的定义
X是随机变量,若
E{[ X E(X )]2} 存在,则称为X的方差,记 为D(X)或Var(X),即
D(X ) Var(X ) E{[ X E(X )]2}
,
x

0
0 , else
变 量
正态分布 f (x)
1
( x )2

e , 2 2
2
x
E(X) a b 2
D(X ) (b a)2 12
E(X ) D( X ) 2
E(X ) D( X ) 2
§2.8 相关系数
rxy
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
15 4
b Cov( X ,Y ) 2, a E(Y ) bE( X ) 2 , y 2x 2
D(X )
3
3
§4.3 随机变量函数的数字特征
一.矩的定义 1.k阶原点矩 2.k阶中心矩 3.k+l阶混合矩