[江苏省苏州市2008年高考数学二轮复习讲义]第40讲：填空题的解法

第40讲：填空题的解法
苏州工业园区第二高级中学 安金龙
一、高考要求
填空题是高考数学客观题之一，有6道小题，总分30分． 填空题具有设计跨度大、覆盖面广、形式灵活多变、能力要求较高等特点,绝大多数填空题是计算型（尤其是推理计算型）和概念判断型．
高考中的填空题题型主要有：基础知识型填空题、多选型填空题、组合搭配型填空题、探索型填空题、构造型填空题、图形、图像型填空题、新定义型填空题及信息给予型填空题等．
二、两点解读
重点：明确题目的问题背景，进行切实可行的计算或者合乎逻辑的推理判断． 常用的解题方法有：直接法、数形结合法、特殊值法、分析法、观察法、参数法等．
难点：如何解答一些背景较新、信息量较大、计算量较大的题目． 三、课前训练
1、已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5= ．
2、在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r
u u u r
的最小值是 ．
3、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a *b=⎩
⎨⎧>≤b a b b a a ,, ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数()sin cos f x x x =*的值域为 ．
4、观察223sin 20cos 50sin 20cos50,4
++=o o o o 223sin 15cos 45sin15cos 45.4
++=o o o o 请写出与以上两个规律相同的一个等式： ．
四、典型例题
例1 给出问题：12,F F 是双曲线22
11620
x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1
F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离．某学生的解答如下：
双曲线的实轴长为8，由128PF PF -=，即298PF -=，得21PF =或17． 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面的横线上． ．
例2 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，则cos cos 1cos cos A C
A C
+=+ ．
例3 某工程由下列工序组成，则工程总时数最少为 天．
例4 已知1x 是方程lg 3x x +=的一个根，2x 是方程103x x +=的一个根，那么1x +2x 的值是 ．
例5 老师给出了一个二次函数()y f x =四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一条性质：
甲：对于x R ∈，都有(1)(1)f x f x +=-． 乙：在(,0]-∞上函数单调递减； 丙：在(0,)+∞上函数单调递增；
丁：(0)f 不是函数的最小值．如果其中恰有三人说得正确，请写出这样的一个函数的解析式 ．
例6 设函数()sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
，给出以下四个论断：
①()f x 的图像关于直线12x π=
对称；②()f x 的图像关于点(,0)3
π
对称；③()f x 的的周期为π；④()f x 在[,0]6
π
-上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断为结论，写
出你认为正确的两个命题． ．
第40讲：填空题的解法 过关练习
1．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只．
2．给出下列六种变换：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12
；②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3
π
个单位；④图像向左平移
3π个单位；⑤图像向右平移23π个单位；⑥图像向左平移23
π个单位． 请用上述变换中的两种变换，将函数sin y x =的图像变换到函数sin()23
x y π
=+的图像，
那么这两种变换正确标号是 （按变换的先后顺序填上你认为正确的一组）
3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则
10
429
31a a a a a a ++++的值
是 ．
4．把一张长方形纸片按如图所示的方式连续对折，使每一次得到的折痕保持平行，这样对折7次后展开，问：长方形纸片中有_______条折痕．
第一次对折后 第二次对折后
5．有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式7)2(3+-⨯x ，其运算为：+-,7,*,,2,,3x ，若计算机进行运算：lg ,*,,2,,-x x ，那么使此表达式有意义的x 的范
围
.1
为 ．
6．定义运算符号：“∏”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作1n
i i =∏，
1
().n i i n
n N T a =*∈=∏记，其中a i 为数列{}()n a n N *∈中的第i 项．
①若12-=n a n ，则T 4= ；②若=∈=*
n n a N n n T 则),(2 ．
7．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序从高分开始，去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序低分开始，去掉一些低分，那么班级的平均分将提高． 这
两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21Λ 满足n a a a ≤≤≤Λ21，则 （结论用数学式子表示）．
8．设对任意实数[2,2]x ∈-，函数2
()lg(3)f x a ax x =--总有意义，则实数a 的取值范围是 ．
第40讲：填空题的解法 参考答案 课前训练部分
1．2． 2．-2． 3、],
1[2
2- 4、223sin 11cos 41sin11cos 414
++=o o o o
本题答案不唯一，只须满足223
sin cos (30)sin cos(30)4
αααα++++=
o o 即可． 典型例题部分
例1在双曲线中，需有22,a c <又212c =，所以1212F F =，若21PF =，则
12F F -1212931PF PF =-=>=，即12F F -12PF PF >，与“三角形两边之差小于第三边”
矛盾，所以217PF =.
例2法1：依题意，构造直角三角形，使3,4,5a b c ===，4
cos ,cos 05
A C ==
cos cos 4.1cos cos 5
A C A C +∴=+ 法2依题意，构造正三角形，由平面几何知识可知，60A
B
C ===o ，
1
1
54
2
23
2f e
d c
b
a
1cos cos cos ,2A B C ===
cos cos 4.1cos cos 5
A C A C +∴=+ 例3将该工程用树形图形式表示（如图），考虑到并行工序（a 与b 、d 与e ）可同时进
行，而串行工序（如a 与c 、c 与d 、d 与f ）只能在前一工序完成后，下一工序才能开始，故工程总时数为3+2+5+1=11（天）
例4在同一坐标系中分别作出()lg ,()10,()3x f x x g x h x x ===-的图像，设()g x 与()h x 的交点11(,)A x y ，()f x 与()h x 的交点22(,)B x y ，易知,A B 两点关于直线y x =对称，则有12x y =，21x y =由113x y +=得123x x +=.
例5由题设知，函数的定义为R.“甲”对⇔函数()f x 的图像关于直线1x =对称. 若“乙、丙”说得正确，则“甲、丁”两人的说法错误，于是可得：甲和丁的说法一定都是正确的.即乙、丙必有一人说法错误.
又因为甲和丙不能同时正确（可举反例：1113()(1)(1)()2
2
2
2
f f f f =-=+=），故丙错，于是可取2()(1) 1.f x x =--（答案不为一）
例6（1）①③⇔②④；（2）②③⇔①④.
解析：由③，()f x 的周期为π，则2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+. 由①，()f x 的图像关于直线12x π=对称，则22()122k k Z ππϕπ⨯+=±∈，又()22
ππϕ-<<，所以只能是2,122
π
π
ϕ⨯
+=
3π
ϕ=
，所以()sin(2)3
f x x π=+. ()sin(2)sin 23f x x x π
π+=+=-Q 为奇函数，()3
f x π
∴+的图像关于原点对称.
而()3f x π+的图像是由()f x 的图像向左平移3π个单位而得到，()f x ∴的图像关于(,0)
3
π
对称，即②成立.
由222()2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，得5()1212
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， ()f x ∴在5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-
+∈上为增函数. 当0k =时，得5[,]1212ππ-
，而[,0]6
π
-是5[,]1212ππ-真子集， ()f x ∴在[,0]6
π
-上为增函数，即④成立.同法可得②③⇔①④. 过关练习
1、90.
2、④②或②⑥
3、
13
16
4、127.
5、02x x <>或．
6、①、105；②、2
1)1
(,2;1,1-=≥==n n a n a n n 7、
)1(2121n m n
a a a m a a a n
m <≤+++≤+++ΛΛ，与
)1(2121n m n
a a a m n a a a n
n m m <≤+++≥-+++++ΛΛ．
8、函数()f x 有意义，有230a ax x -->，即2
30x ax a +-<在[2,2]x ∈-时恒成立.设2
()3g x x ax a =+-，则当[2,2]x ∈-时，()0g x <恒成立.依右图抛物线的特征，
有(2)0(2)0g g -<⎧⎨<⎩，得450
40a a -<⎧⎨-<⎩
，解得4a >.。