江西省九江市高中数学 第一章 计数原理 3 组合(二)教案 北师大版选修23

3 组合
一、教学目标：1、掌握组合数的两个性质；2、进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 。

二、教学重难点：掌握组合数的两个性质 三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程 （一）、复习引入：
1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个
不同元素中取出m 个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m
()m n ≤个元素的所有组合的个数，
叫做从n 个
不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m
n C 表示．
3、组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m
n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m
m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m
m A ⋅．
（2）组合数的公式：
(1)(2)(1)!m m n n
m m A n n n n m C A m ---+==或
)!(!!
m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*
且 （二）、探析新课：
1、组合数的性质1：m n n m n C C -=．
一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：
m
n n
m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵
)!(!!
)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=
---=
-
又
)!(!!
m n m n C m n -=
，∴m
n n m n C C -=
说明：①规定：
10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③
y
n x n C C =y x =⇒或n y x =+． 2、组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1
-m n C ．
一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m
n C 1+，这些组合
可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从
132,,,+n a a a 这n
个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1
-m n C 个；不含有1a 的组合是从13
2,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m
n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另
一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：
)]!1([)!1(!
)!(!!1
---+-=
+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=
m n m m n m n n
)!1(!!)1(+-++-=
m n m n m m n )!1(!)!
1(+-+=m n m n m
n C 1+=
∴m n C 1+＝m n C +1
-m n C ．
3、例题
2．解方程：（1）
3213
1
13
-+=x x C
C
；（2）解方程：
3
33222101+-+-+=
+x x x x x A C C ．
解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，
又由
1113
12313x x x N *⎧≤+≤⎪
≤-≤⎨⎪∈⎩
得28x ≤≤且x N *
∈，∴原方程的解为4x =或5x =
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.
（2）原方程可化为
2333110x x x C A -++=
，即5333
110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，
∴11
120(2)!10(1)(2)!x x x x =
-⋅-⋅-，
∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，
经检验：4x =是原方程的解
3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查． (1)全是合格品的抽法有多少种？ (2)次品全被抽出的抽法有多少种？ (3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？ (4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？
4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
（三）、课堂小结：本课学习了组合数的两个性质1、组合数的性质1：m
n n m n C C -=．2、组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1
-m n C ．
(四)、课堂练习：第17页练习
（五）、课后作业：第17页习题1-3中B 组3、4；练习册19页4、5、7。