2019-2020数学人教A版必修4 1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 作业 Word版含解析

[学业水平训练]
1．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A ．[－π4，π4]
B ．[π4，3π4
] C ．[0，π2] D ．[π2，π] 解析：选C.若函数y ＝cos 2x 递减，应有2k π≤2x ≤π＋2k π，k ∈Z ，即k π≤x ≤π2
＋k π，k ∈Z ，令k ＝0可得0≤x ≤π2
. 2．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )
A ．[－1，0]
B ．[0，1]
C ．[－1，1]
D ．[－2，0]
解析：选D.y ＝sin x －|sin x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧0， sin x≥02sin x ， sin x<0 ⇒－2≤y ≤0.
3．函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣
⎡⎦⎤kπ－3π4，kπ＋π4(k ∈Z ) B.⎣
⎡⎦⎤2kπ－3π4，2kπ＋π4(k ∈Z ) C.⎣
⎡⎦⎤kπ－3π8，kπ＋π8(k ∈Z ) D.⎣
⎡⎦⎤2kπ－3π8，2kπ＋π8(k ∈Z ) 解析：选C.周期T ＝π，
∴2πω
＝π，∴ω＝2. ∴y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 4．函数f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x 的最小值和最大值分别是( )
A ．－2，2
B ．－2，52
C ．－12，2
D ．－52
，2 解析：选D.f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －2＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－52
. ∵－1≤cos x ≤1，
∴当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－52
， 当cos x ＝1时，f (x )max ＝2.故选D.
5．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在区间[0，π2
]上的单调性相同，则φ的一个值是( ) A.π6 B.π4
C.π3
D.π2
解析：选D.由函数y ＝cos 2x 在区间[0，π2]上单调递减，将φ代入函数y ＝sin(x ＋φ)验证可得φ＝π2
. 6．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．
解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2
(k ∈Z )． 答案：4k π＋π2
(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π3
]，则f (x )的值域是________． 解析：x ∈[0，π3]，x ＋π3∈[π3，23
π]． sin(x ＋π3)∈[32，1]，则2sin(x ＋π3
)∈[3，2]． 答案：[3，2]
8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．
解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 150°<cos 760°<sin 470°.
答案：cos 150°<cos 760°<sin 470°
9．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y ＝1－12
cos x ； (2)y ＝3＋2cos(2x ＋π3
)． 解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－12cos x≥0，－1≤cos x≤1.
所以12≤1－12cos x ≤32
. 所以当cos x ＝－1时，y max ＝
62
； 当cos x ＝1时，y min ＝22. (2)因为－1≤cos(2x ＋π3
)≤1， 所以当cos(2x ＋π3
)＝1时，y max ＝5； 当cos(2x ＋π3
)＝－1时，y min ＝1. 10．求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin(π6
－x )； (2)y ＝log 12
cos x .
解：(1)y ＝1＋2sin(π6－x )＝1－2sin(x －π6)． 令u ＝x －π6
，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间， 即π2＋2k π≤x －π6≤3π2
＋2k π(k ∈Z )， 亦即23π＋2k π≤x ≤53
π＋2k π(k ∈Z )， 故函数y ＝1＋2sin(π6
－x )的单调递增区间是 [23π＋2k π，53
π＋2k π](k ∈Z )． (2)由cos x >0，得－π2＋2k π<x <π2
＋2k π，k ∈Z . ∵12<1，∴函数y ＝log 12
cos x 的单调递增区间即为u ＝cos x ，x ∈(－π2＋2k π，π2＋2k π)(k ∈Z )的递减区间，
∴2k π≤x <π2＋2k π，k ∈Z .
故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为[2k π，π2
＋2k π)(k ∈Z )．
[高考水平训练]
1．对于函数y ＝sin x ＋1sin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值也无最小值
解析：选B.∵y ＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，
又x ∈(0，π)，∴sin x ∈(0，1]．
∴y ∈[2，＋∞)，故选B.
2．f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)，在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．
解析：因为0≤x ≤π3，
所以0≤ωx ≤π3ω＜π3.
因为f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上是增函数，
所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，即2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＝2，
所以π3ω＝π4，所以ω＝34.
答案：34
3．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞
f (π)，求f (x )的单调递增区间．
解：由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立知
2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )，
得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6(k ∈Z )，
代入f (x )并由f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)检验得，φ的取值为－5π6，
所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z )．
4．已知：f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(a ∈R ，a 为常数)．
(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；
(2)若f (x )在[－π6，π6]上最大值与最小值之和为3，求a 的值．
解：(1)∵2sin[2(x ＋π)＋π6]
＝2sin[(2x ＋π6)＋2π]
＝2sin(2x ＋π6)，
∴函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1的最小正周期为π.
(2)x ∈[－π6，π6]⇒2x ∈[－π3，π3]⇒
2x ＋π6∈[－π6，π2
]． ∴－12≤sin(2x ＋π6
)≤1. 即⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ）max ＝2＋a ＋1＝3＋a f （x ）min ＝－1＋a ＋1＝a ， ∴2a ＋3＝3⇒a ＝0.。