2020高考数学讲练试题素养提升练(八)理(含2019高考+模拟题)

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题素养提升练(八)理（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019·银川质检）已知集合A＝｛1,2，3｝,集合B＝｛z|z ＝x－y，x∈A，y∈A｝，则集合B中元素的个数为（) A．4 B．5 C．6 D．7
答案B
解析∵A＝｛1,2，3}，B＝{z｜z＝x－y，x∈A，y∈A｝,∴x ＝1，2，3，y＝1,2,3，
当x＝1时,x－y＝0,－1，－2;当x＝2时，x－y＝1,0，－1；当x ＝3时，x－y＝2,1,0.
即x－y＝－2，－1，0,1，2，即B＝{－2,－1,0，1,2}，共有5个元素,故选B.
2．（2019·西安适应性测试)设复数z＝错误!,f（x)＝x2－x＋1,则f （z)＝( ）
A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i
答案A
解析∵z＝错误!＝错误!＝－i，∴f（z）＝f(－i)＝(－i)2－（－i)＋1＝i。

故选A.
3．(2019·榆林二模)某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600。

从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行；
32 21 18 34 29 78 64 56 07 35 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90
56 42
84 42 42 53 31 34 34 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96
08 04
32 56 56 08 43 67 67 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89
23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是( ）
A．522 B．324 C．535 D．578
答案D
解析从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，开始
的数为608不合适，436合适，767不合适，535,577,348合适，994,837不合适，522合适，535与前面的数字重复，不合适,578合适．则满足条件的6个编号为436，535,577,348,522，578,则第6个编号为578。

故选D。

4．（2019·南阳一中模拟)在等差数列{a n}中,若a3＋a5＋2a10＝4，则S13＝( ）
A．13 B．14 C．15 D．16
答案A
解析∵数列{a n}是等差数列，设首项为a1,公差为d，
∴a3＋a5＋2a10＝4可转化为4a1＋24d＝4，即a1＋6d＝1,
∴S13＝13a1＋错误!d＝13(a1＋6d)＝13，故选A。

5．（2019·淮北一中模拟)已知a＝（－2,－1），b＝(λ，1），若a 与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为( )
A.错误!
B.错误!∪(2，＋∞)
C.错误!D．(－2，2)
答案B
解析a·b＝－2λ－1,∵a，b的夹角为钝角，
∴a·b〈0，且a，b不平行．
∴错误!解得λ>－错误!，且λ≠2.
∴λ的取值范围为错误!∪(2，＋∞）．故选B。

6．(2019·南开一模）函数f(x）是奇函数，且在（0，＋∞)内是增函数，f（－3)＝0，则不等式xf(x）〈0的解集为（) A．（－3，0）∪(3，＋∞） B．（－∞，－3)∪（0，3)
C．(－∞，－3）∪（3，＋∞) D．（－3，0）∪(0,3）
答案D
解析∵f（x）在R上是奇函数，且f(x)在（0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0）上也是增函数，由f(－3）＝0，得f（－3）＝－f(3)＝0，即f(3)＝0，作出f(x）的草图，如图所示：
由图象,得xf(x)<0⇒错误!或错误!
解得0<x<3或－3<x<0,
∴xf（x）<0的解集为(－3，0)∪（0,3),故选D。

7．(2019·南昌外国语学校模拟)正四棱锥V－ABCD的五个顶
点在同一个球面上，若其底面边长为4,侧棱长为2错误!，则此球的体积为( ）
A．722π B．36π C．9错误!π D。

错误!
答案B
解析正四棱锥的高为错误!＝4，
设外接球的半径为R,则R2＝（4－R）2＋(2错误!）2,
∴R＝3，∴球的体积为错误!πR3＝错误!π·33＝36π，故选B。

8．(2019·合肥质检）“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件．已知第一层
货物单价1万元，从第二层起,货物的单价是上一层单价的9
10。

若这堆货物总价是100－200错误!n万元，则n的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为
2×9
10
万元，第三层货物总价为3×错误!2万元，…,第n层货物总价为n×错误!n－1万元，
设这堆货物总价为W万元,则W＝1＋2×错误!＋3×错误!2＋…＋n×错误!n－1，
错误!W＝1×错误!＋2×错误!2＋3×错误!3＋…＋n×错误!n，
两式相减得错误!W＝－n×错误!n＋1＋错误!＋错误!2＋错误!3＋…＋错误!n －1＝－n×错误!n＋错误!＝－n×错误!n＋10－10×错误!n，
则W＝－10n×错误!n＋100－100×错误!n＝100－200错误!n，解得n＝10，故选D。

9．(2019·大兴一模)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( ）
A。

错误!B．2错误!C．3 D．2错误!
解析由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A－BCD，
∴CD＝3，BD＝22＋12＝错误!,
AB＝错误!＝错误!,
AC＝错误!＝3，
BC＝22＋22＝2错误!,
AD＝222＋22＝2错误!。

∴AD是最长的棱．故选B.
10．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO 的面积为（)
A。

错误!B。

错误!C．2错误!D．3错误!
答案A
解析双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!,0)，一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝｜PF｜，则点P的横坐标为错误!,纵坐标为错误!×错误!＝错误!,即△PFO的底边长
为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!.故选A.
11．（2019·南平市三模）已知(1－x＋mx2)6的展开式中x4的系数小于90，则m的取值范围为( )
A．（－∞，－5)∪(1，＋∞)
B．(－5,1）
C.错误!∪错误!
D．（－∞，－错误!）∪（错误!，＋∞）
答案B
解析（1－x＋mx2）6的通项公式为T r＋1＝C错误!(1－x）6－r(mx2)r,r ＝0，1, (6)
(1－x）6－r的通项公式为T l＋1＝C l，6－r(－x)l，l＝0，1，…，6－r。

令l＋2r＝4，则错误!或错误!或错误!
则展开式中x4的系数为C错误!C错误!＋C错误!C错误!m＋C错误!m2〈90.
即m2＋4m－5<0，解得－5<m<1.故选B。

12．（2019·黄冈调研)函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x)在D内是单调函数；②存在[a,b］⊆D，使f(x）在[a，b]上的值域为
错误!，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”．若函数f(x）＝log a（a x＋t2）（a>0且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为( )
A.错误!
B.错误!∪错误!
C.错误! D 。

错误!
答案 B
解析 函数f （x ）＝log a (a x ＋t 2)（a 〉0且a ≠1)是“半保值函数”,且定义域为R ,
由a >1时,z ＝a x ＋t 2在R 上单调递增，y ＝log a z 在(0，＋∞）上单调递增，可得f （x )为R 上的增函数;
同样当0<a <1时，f （x )仍为R 上的增函数，
∴f (x ）在其定义域R 内为增函数，
∵函数f （x )＝log a （a x ＋t 2)（a 〉0且a ≠1)是“半保值函数”，
∴y ＝log a (a x ＋t 2）与y ＝12
x 的图象有两个不同的交点，即log a (a x ＋t 2)＝错误!x 有两个不同的根,
∴a x ＋t 2＝a 错误!，a x －a 错误!＋t 2＝0，
可令u ＝a 错误!,u 〉0，即有u 2－u ＋t 2＝0有两个不同的正数根, 可得1－4t 2>0，且t 2>0，解得t ∈错误!∪错误!.故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．
13．(2019·黄山质检)若整数x，y满足不等式组错误!则z＝错误!的最小值为________．
答案错误!
解析画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点．
由图可知,在点（2，1）处,目标函数取得最小值为错误!.
14．(2019·广州模拟）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间错误!内,则输入的实数x的取值范围是________．
答案[－2,－1]
解析由题意可知,该程序的作用是计算分段函数f(x）＝错误!的函数值．
又∵输出的函数值在区间错误!内，
∴x∈［－2，－1］．
15．（2019·福建毕业考试）某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛,A，B，C，D，E五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：
A团队说：C第一，B第二；B团队说：A第三，D第四；C团队说：E第四，D第五;D团队说：B第三，C第五;E团队说：A第一,E第四．
如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是________团队．
答案D
解析将五个团队的猜测整理成下表：
名
第五
D，C
名
由于实际上每个名次都有人猜对，若第五名为C，则第一名为A，第三名为B,从而第二名没有人猜对，不符合题意要求．故获得第五名的是D团队．
16．(2019·虹口二模)若函数f(x）＝x｜x－a|－4(a∈R)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
答案（4,＋∞）
解析函数f(x)＝x｜x－a|－4有三个不同的零点，就是x｜x－a｜＝4有三个不同的根；
当a>0时,函数y＝x｜x－a|＝错误!与y＝4的图象如图:
函数f(x)＝x｜x－a|－4（a∈R）有3个零点，必须错误!解得a〉4；
当a≤0时，函数y＝x｜x－a｜＝错误!与y＝4的图象如图：
函数f(x）＝x｜x－a|－4（a∈R)不可能有三个不同的零点，综上，a∈（4,＋∞）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一）必考题：60分．
17．(本小题满分12分）(2019·抚顺一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4a sin B＋3b cos A.
（1）求sin B的值；
(2）若c＝14,求b的值．
解（1）由3c＝4a sin B＋3b cos A且A＋B＋C＝π，
由正弦定理得3sin C＝4sin A sin B＋3sin B cos A,
即3sin(A＋B）＝4sin A sin B＋3sin B cos A,由于sin A〉0，整理可得3cos B＝4sin B，
又sin B〉0，∴sin B＝错误!.
（2）∵角B是最小的内角,∴0〈B≤错误!，
又由（1）知sin B＝错误!，∴cos B＝错误!，
由余弦定理得b2＝142＋102－2×14×10×错误!＝72，即b＝6错误!。

18．(本小题满分12分）(2019·六盘水中学模拟）某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：
(1)从这3040个的概率;
（2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E（X)＝错误!；现有员工建议扩大生产一天制作45个,试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y）,并以此判断此建议该不该被采纳．
解（1）从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C错误!，
2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C210,
∴两天的日需求量均为40个的概率P＝错误!＝错误!。

（2）由该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y,得
P(Y＝－20)＝错误!，P（Y＝60)＝错误!，P（Y＝140）＝错误!，P(Y ＝180）＝错误!，∴Y的分布列为
Y －
20
60140180
P错误!错误!错误!错误!
E(Y)＝－20×错误!＋60×错误!＋140×错误!＋180×错误!＝错误!，
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E （X)＝错误!，错误!<错误!，
∴此建议不该被采纳．
19．(本小题满分12分)(2019·南开一模)如图，在三棱锥S－ABC 中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D,E分别是AC，BC的中点，F在SE上且SF＝2FE.
（1）求证:AF⊥平面SBC;
(2)求直线SA与平面SBD所成角的正弦值；
(3）在线段DE上是否存在点G，使二面角G－AF－E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．解（1）证明：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB,AS 为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
则A（0，0，0)，B（0,2，0），C（2，0,0)，S（0，0，2），D（1，0，0)，E(1，1,0）,
由SF＝2FE得F错误!，∴错误!＝错误!,错误!＝（2，－2,0）,错误!＝(2,0，－2），
∵错误!·错误!＝0,错误!·错误!＝0，
∴错误!⊥错误!，错误!⊥错误!，∴AF⊥平面SBC。

（2）设n1＝（x1,y1，z1)是平面SBD的一个法向量，
由于错误!＝(－1，0,2），错误!＝（－1，2，0),
则有错误!
令x1＝2，则y1＝1，z1＝1，即n1＝（2，1，1)．
设直线SA与平面SBD所成的角为α，而错误!＝(0，0，2）,
∴sinα＝｜cos<n1,错误!〉|＝错误!＝错误!。

(3）假设满足条件的点G存在，并设DG＝t。

则G（1,t,0)．
∴错误!＝(1,1，0)，错误!＝（1，t,0)，
设平面AFG的法向量为n2＝(x2，y2,z2），
则错误!
取y2＝1，得x2＝－t,z2＝t－1，即n2＝(－t,1，t－1)．
设平面AFE的法向量为n3＝（x3,y3,z3），
则错误!
取y3＝1,得x3＝－1,z3＝0，即n3＝（－1，1，0），
由二面角G－AF－E的大小为30°,
得cos30°＝错误!＝错误!＝错误!，
化简得2t2－5t＋2＝0,
又0≤t≤1，求得t＝错误!,于是满足条件的点G存在,且DG＝错误!.
20．（本小题满分12分)（2019·张家口一模)以P为圆心的动圆经过点F(1，0),并且与直线x＝－1相切．
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若A，B，C，D是曲线C上的四个点，AB⊥CD，并且AB，CD相交于点F,直线AB的倾斜角为锐角．若四边形ACBD的面积
为36,求直线AB的方程．
解(1)设圆P与直线x＝－1相切于点E，
则|PE|＝｜PF｜，
即点P到F的距离与点P到直线x＝－1的距离相等,
∴点P的轨迹为抛物线，F是焦点,x＝－1是准线．
∴C的方程为y2＝4x。

(2）设A(x1，y1)，B（x2，y2),
直线AB的方程为y＝k(x－1），k>0.
由错误!得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0,
x1＋x2＝错误!。

｜AB｜＝x1＋x2＋2＝4＋错误!。

同理，｜CD|＝4＋4k2。

∴四边形ACBD的面积S＝错误!|AB|·｜CD｜
＝错误!错误!（4＋4k2）＝8错误!(1＋k2）．
由8错误!（1＋k2)＝36，得k2＝2或k2＝错误!，
∴k＝错误!或k＝错误!。

∴直线AB的方程为y＝错误!(x－1)或y＝错误!(x－1)．
21．（本小题满分12分)（2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x）＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．解（1）f′（x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a）．
令f′（x）＝0,得x＝0或x＝错误!。

若a〉0，则当x∈(－∞，0)∪错误!时，f′（x）>0;
当x∈错误!时，f′(x)〈0.
故f(x)在（－∞,0），错误!单调递增,在错误!单调递减．
若a＝0,则f(x）在(－∞，＋∞)单调递增．
若a〈0，则当x∈错误!∪（0，＋∞）时，f′(x）>0；
当x∈错误!时，f′(x)<0。

故f（x)在错误!，（0，＋∞)单调递增,在错误!单调递减．
(2)满足题设条件的a,b存在．
①当a≤0时，由（1)知，f（x）在[0,1]单调递增，所以f（x）在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f（1)＝2－a＋b.此时a,b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1,即a＝0，b＝－1.
②当a≥3时，由(1)知，f(x)在［0，1］单调递减，所以f(x）在区间[0，1］的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b
满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4,b ＝1.
③当0＜a ＜3时，由(1）知，f (x ）在[0,1]的最小值为f 错误!＝－错误!＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .
若－错误!＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝3错误!，与0＜a ＜3矛盾．
若－a 327
＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝3错误!或a ＝－3错误!或a ＝0,与0＜a ＜3矛盾．
综上,当a ＝0，b ＝－1或a ＝4,b ＝1时，f （x )在[0，1］的最小值为－1，最大值为1。

（二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分）［选修4－4:坐标系与参数方程］
（2019·黄山质检）设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋cos α，，y ＝sin α(α是参数),直线l 的极坐标方程为3ρsin θ－
ρcos θ＋1＝错误!m .
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;
(2）设点P (1,m )，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜
＝错误!，求m的值．
解（1)由题可得，曲线C的普通方程为（x－1）2＋y2＝1.
直线l的直角坐标方程为错误!y－x＋1＝错误!m,即
x－3y－1＋错误!m＝0，
由于直线l过点P（1,m）,倾斜角为30°，
故直线l的参数方程为错误!（t是参数）．
(直线l的参数方程的结果不是唯一的)
（2）设A,B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并化简得错误!2＋错误!2＝1⇒t2＋mt＋m2－1＝0.
∴｜PA|·｜PB｜＝|t1t2｜＝|m2－1｜＝8，解得m＝±3.
23．(本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]
（2019·上饶二模)已知函数f（x)＝｜ax－1｜（a>0）．
(1）若不等式f（x)≤2的解集为A，且A⊆（－2，2）,求实数a 的取值范围；
(2)若不等式f(x）＋f错误!>错误!对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围．
解（1)由｜ax－1|≤2,得－2≤ax－1≤2,又∵a〉0，∴－错误!≤x≤错误!，得A＝错误!。

∵A⊆(－2，2)，∴错误!解得a>错误!，∴a的取值范围是错误!.
（2)由题意，｜ax－1｜＋｜x＋1|〉3
2
恒成立，
设h（x）＝|ax－1|＋|x＋1|，
h(x)＝错误!
①当0〈a≤1时,由函数单调性知h（x）min＝h（－1）＝a＋1，a ＋1>错误!,∴错误!<a≤1，
②当a〉1时，h(x）min＝h错误!＝错误!，错误!>错误!，
∴1<a<2，
综上所述,a的取值范围为错误!。