精品2019学年高二数学上学期期中试题 理

2019学年度第一学期期中考试
高二数学（理科）试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分
150分．
第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题
卡上．
２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干
净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知,a b c d >>，且,c d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）
（A ）ad bc > （B ）ac bd > （C ）a c b d ->- （D ）a c b d +>+
（2）若m 是4和9的等比中项，则圆锥曲线2
2
1y x m
+=的离心率是（ ）
（A ）
6 （B （C ）6 （D ）
6
（3）命题“存在R x ∈，使2
4x a x a +-＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）在数列}{n a 中，已知11=a ，且任意*
N n ∈，有n n a a 2121+=+，则数列}{n a 的前10
项
和为（ ）
（A ） 45 （B ）55 （C ）
265 （D ）2
55 （5）已知函数2
()+f x x x =，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）
（A ）
2017
2018
（B ）
2018
2017
（C ）
2018
2019
（D ）
2019
2018
（6）设不等式组4010x y y x x +≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域为D ，若圆
222:(1)(0)C x y r r ++=>不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是
（A
）(13,)+∞ （B
）+)∞
（C ）
(0 （D
）
（7）已知ABP ∆的顶点,A B 分别为双曲线22
1169
x y -=的左，右焦点，顶点P 在双曲线上， 则
sin |sin sin |
P
A B -的值等于（ ）
（A ）
45 （B
（C ）5
4
（D
（8）已知数列：,,4
1
,32,23,14,31,22,13,21,12,11 依它的前10项的规律，这个数列的 第2017项2017a 等于（ ）
（A ）
311 （B ）631 （C ） 64 （D ）2
63 （9）如图，在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，
若
AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B
M 相等的向量是（ ） （A ）1122a b c -++ （B ）11
22
a b c ++ （C ）
1122a b c -+ （D ）11
22
a b c --+ （10）直线3y x =-与抛物线2
2(0)y px p =>交与,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ,若梯形APQB 的面积为48，则p =（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
（11）设函数2
()1f x mx mx =--，若对于[1,3],()4x f x m ∈<-+恒成立，则实数m 的
取值范围为（ ）
（A ）0]∞（-， （B ）5
7[0,） （C ）5,07∞⋃（-）(0,) （D ）5,7
∞（-）
（12）已知椭圆
19252
2=+y x 的左、右顶点分别为,A B ，在第二象限内取双曲线19
252
2=-y x 上一点P ，连结BP 交椭圆与点M ，连结AP 并延长交椭圆与点N .若点M 为BP 的中点，则四边形ANBM 的面积为（ ）
（A ） （B ） （C ）30
（D ） 第II 卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分
（13）命题“3
210x R x x ∃∈-+=，”的否定是 . （14）已知向量)2,0,1(),0,1,1(-==，且b k a +与b a -2互相垂直，则k 的值是______. （15）在等差数列{}n a 中，0n a >，641
42
a a =
+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则15S = ．
（16）已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆22
(5)1x y +-=上一个动点，那么点
P 到点
Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）(本小题满分10分)
已知命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；命题:q 方程2
44-210x m x ++=（
）无
实数根.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围.
（18）(本小题满分12分)
等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知1030a =，2050a =.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列11
{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：24
1≤
n T .
（19）（本小题满分12分） 已知1a b +=，对(),0,a b ∀∈+∞，14
221x x a b
+≥--+恒成立． （Ⅰ）求
14
a b
+的最小值； （Ⅱ）求x 的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线1y =-相切． （Ⅰ）求圆心M 的轨迹方程；
（Ⅱ）动直线l 过点)3,0(-P ，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，
求证：直线AC 恒过定点．
（21）(本小题满分12分）
在等差数列}{n a 中，首项11=a ，数列}{n b 满足.64
1,)2
1(321=
=b b b b n a
n 且 （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .
（22）(本小题满分12分）
已知椭圆:C 122
22=+b y a x (0)a b >>的离心率为
,2
3短轴一个端点到右焦点的距离为
2．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
1
，求A O B ∆面积
的最大值．
商丘市一高2017—2018学年度第一学期期中考试
高二数学（理科）试卷参考答案
一、选择题
1. D
2.C
3.A
4. C
5. C
6. A
7. C
8. C
9. A 10. A 11. D 12. B 二．填空题
13. 3
210x R x x ∀∈-+≠， 14. 5
7
15. 120 16.
1 三、解答题：
（17）解：由p 得：，⎩
⎨⎧>>-=∆00
42m m 则2m >
由q 知：'∆=2
2
16(2)1616(43)0m m m --=-+<,则13m << ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真. 则,3
12312⎩⎨⎧<<≤⎩⎨
⎧≥≤>m m m m m 或或
解得3,m ≥或12m <≤.
（18）解：（1）由1(1)n a a n d =+-，102030,50a a ==， 得方程组11930
1950
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得112,2a d ==,
210n a n ∴=+ (2)
)1
1...1111(21),11(2111
322111+++-++-+-=∴-=n n n n n n n a a a a a a T a a a a ，
所以24
1
)1221121(21)11(2111≤+-=-=
+n a a T n n （19）解：（Ⅰ）∵0,0a b >>且1a b +=， ∴
14144()()59b a
a b a b a b a b +=++=++≥， 故14
a b
+的最小值为9． （Ⅱ）因为对,(0,)a b ∈+∞，使14
221x x a b
+≥--+恒成立，
所以2219x x --+≤，
当1x ≤-时，不等式化为39x -≤， 解得61x -≤≤-； 当 11x -<<时，不等式化为139x -≤，解得11x -<<； 当 1x ≥时，不等式化为39x -≤，解得112x ≤≤； ∴ x 的取值范围为612x -≤≤．
（20）（1）由题意得点M 与点(0,1)的距离始终等于M 与直线1y =-的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，则
1, 2.2
p
p == ∴圆心M 轨迹方程为24.x y = ……………………………………4分
（2）设直线),(),,(,32211y x B y x A kx y 点-=，则22(,)C x y -,
联立,0124342
2=+-⇒⎩
⎨⎧-==kx x kx y y x 由求根公式得⎩⎨⎧==+1242121x x k x x …………………6分
22
1212121212444AC
x x y y x x k x x x x -
--===++,AC 方程为1211().4
x x y y x x --=-…………8分 即212121*********()(),444444
x x x x x x x x x x x x
y y x x x x ----=+-=-+=+…………10分 34
,122
121+-=
∴=x x x y x x ，即直线AC 恒过点
）（3,0…………12分
（21）解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ， n a
n b a )2
1
(,11== ，
.)21
(,)21(,21,)21(,12131211d d a n b b b b a n ++===∴==∴
由64
1
321=b b b ，解得d=1.
.1)1(1n n a n =⋅-+=∴ （2）由（1）得.)2
1(n
n b =
n n n n n b a b a b a T )21
()21(3)21(2211322211⋅++⋅+⋅+⋅
=+++= ， 则.)2
1()21(3)21(2)21(1211
432+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T 两式相减得.)21()21()21()21(21211
32+⋅-++++=n n n n T
.
（22）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意22c a a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，……………………………2分
1b ∴=…………………………………………3分
∴所求椭圆方程为2
214
x y +=…………………………………………………4分
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ， （1）当AB x ⊥
轴时，2
AB =
………………………………………………5分 （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+
1
2
=，得221(1)4m k =+……………………………………………6分
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2
2
2
(41)8440k x kmx m +++-=，
0)14(16)44)(14(4)8(22222>-+=-+-=∆∴m k m k km
122
841
km
x x k -∴+=+，21224(1)41m x x k -=+……………………………………………8分 2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
6416(1)(1)(41)
41k m m k k k ⎡⎤
-=+-⎢⎥++⎣⎦ 222222222
16(1)(41)12(1)(51)
(41)(41)k k m k k k k ++-++==++
221
41,4
t k t k -+==设则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=22
23145434)15)(3(3||t t t t t AB 当12||112
最大，最大值为时，AB t
=。

此时1
=02
k m =±
，
当AB x ⊥轴时，2
AB =……………………………………11分
综上所述max AB =
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 11222
S AB =
⨯⨯=……………12分。