【全国百强校】安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题

【全国百强校】安徽省黄山市屯溪第一中学【最新】高一下
学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >
B ．
11a b
< C ．22a b > D ．33a b >
2．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ．2a =，4b =，060A =
B ．2a =，2c =，060A = C
．a
=6b =，060A =
D ．3a =，4b =，030A =
3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，3070S =，则40S =（ ） A ．80
B ．110
C ．130
D ．150
4．在ABC 中，若2sin sin cos 2
C
A B =，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
5．已知tan θ，tan φ
是方程240x ++=的两根，且θ，φ 3,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则+θφ的值为（ ） A ．
43
π B ．
73
π C ．
43π或
73
π
D ．
53π或
73
π
6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2
110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
7．已知数列{}n a 满足113
a =,111n
n n a a a ++=-*()n N ∈,则2012391a a a a ⋯⋯⋅⋅=（ ） A ．3-
B ．2-
C ．1
2
-
D ．13
-
8．已知不等式210ax bx -+≥的解集是11
[,]34
-,则不等式20x bx a -+<的解集是（ ） A ．()3,4-
B ．11(,)43
-
C ．(,3)(4,)-∞-⋃+∞
D ．11
(,)(,)43
-∞-⋃+∞
9
．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD =2AB =,则ABC ∆的面积S 为（ ）
A ．3
B ．
C ．
D ．10．如果ABC ∆的三个内角的正弦值分别等于DEF ∆的三个内角的余弦值，则下列正确的是（ ）
A ．ABC ∆与DEF ∆都是锐角三角形
B ．AB
C ∆与DEF ∆都是钝角三角形
C ．ABC ∆是锐角三角形且DEF ∆是钝角三角形
D ．ABC ∆是钝角三角形且DEF ∆是锐角三角形
11．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，若不等式2
1233n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅+≤恒成立，则n 的
最大值为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．已知数列{}n a 、{}m b 的通项公式分别为42n a n =-*(1100,)n n N ≤≤∈，
64m b m =-（*m N ∈），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，
求新数列的各项和（ ） A ．6788 B ．6800
C ．6812
D ．6824
二、填空题 13．已知3cos()4
5x π
+
=
，3744
x ππ
<<，则sin x =____；
14．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若215a ≤≤，327a ≤≤，则6S 的取值范围是_______.
15．已知数列{a n }满足：a 1，a 2−a 1，a 3−a 2，⋅⋅⋅，a n −a n−1，⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a n }的通项公式为_____；
16．把正整数排成如图()a 的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图()b 三角形阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2019k a =，则k = _______；
三、解答题
17．如图，在凸四边形ABCD 中，C ，D 为定点，CD =A ，B 为动点，满足
2DA AB BC ===．
（1cos 1C A -=；
（2）设BCD ∆和ABD ∆的面积分别为1S 和2S ，求22
12S S +的最大值．
18．函数2(3)f x x ax =++
（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围；
19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos cos a B c A b A =-,
a =（1）若2
b
c =，求cos B 的值； （2）求
1
2
b c +的取值范围. 20．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止【最新】年底该地区的绿化率只有
310
，计划从【最新】开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快
速播种，每年原来沙漠面积的15
将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的120还会被沙漠
化．设该地区的面积为1，【最新】年底绿洲面积为03
10
a =，经过一年绿洲面积为1a ……
经过n 年绿洲面积为n a ，
（1）求经过n 年绿洲面积n a ；
（2）截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过
3
5
？（取lg 20.30,lg30.48==） 21．已知数列{}n a 为等差数列，且0d ≠，{}n a 的部分项组成等比数列{}n b ，其中
n
n k b a =，若11k =，25k =，317k =，
（1）求n k ；
（2）若12a =，求数列{}n n a k 的前n 项和n S 。

22．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，其前n 项和为，且当2n ≥时，
110n n n n a S a S +--=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设19(3)(3)
n
n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .
参考答案
1．D 【解析】 当0c
时，选项A 错误；
当1,2a b ==-时，选项B 错误； 当2,2a b ==-时，选项C 错误； ∵函数3y x =在R 上单调递增， ∴当a b >时，33a b >． 本题选择D 选项.
点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 2．D 【分析】
利用sin b A a b <<判断出有两解的选项. 【详解】
对于A 选项，由于sin b A a =>，没有两解.对于B 选项，a c =，没有两解.对于C 选项a b >，没有两解.对于D 选项，sin 2b A a b =<<，三角形有两解，故选D. 【点睛】
本小题主要考查三角形解的个数的判断，当sin b A a b <<时三角形有两解，属于基础题. 3．D 【分析】
利用10201030204030,,,S S S S S S S ---成等比数列列方程组，由此求的40S 的值. 【详解】
依题意20204010,10,70,70S S S ---成等比数列，
故()()2
2020101070S S -=⨯-，解得2030S =，或2020S =-. 易知20S 和10S 同号，所以2030S =
当2030S =时，4010,20,40,70S -成等比数列，所以40407080,150S S -==.
本小题选D. 【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，考查运算求解能力以及方程的思想，属于基础题. 4．A 【分析】
首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据A B C π++=把C 换成A 与B 的关系，进一步化简即可． 【详解】
2
11
cos cos
222
C C =+，A B C π++=， ()()2
111111111
cos cos cos cos cos cos sin sin 2222222222
C C A B A B A B A B π⎡⎤∴=+=+-+=-+=-+⎣⎦
111
sin sin cos cos sin sin 222
A B A B A B ∴=
-+ ()cos 1A B ∴-=
0,0A B ππ<<<<
()cos 1cos00A B A B A B ∴-==⇒-=⇒=,选A.
【点睛】
本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题． 5．A 【分析】
利用韦达定理写出tan tan ,tan tan θφθφ+⋅的值，再求得()tan θφ+的值，并由此求得
θφ+的值.
【详解】
由于tan θ，tan φ是方程240x ++=的两根，所以
tan tan tan tan 4θφθφ+=-⋅=，所以tan ,tan θφ同时为负数，且
(
)tan θφ+=
=又因为θ，φ 3,22ππ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
，π,,π2θφ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以()π,2πθφ+∈，故4π
3
θφ+=，故选A. 【点睛】
本小题主要考查根与系数关系，考查两角和的正切公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 6．C 【解析】
因为{}n a 是等差数列，所以112m m m a a a -++=，则由2110m m m a a a -++-=可得2
20m m a a -=，
解得0m a =或2m a =。

因为121
21(21)(21)382
m m m a a S m m a --+=
⨯-=-=，所以0m a ≠，故2m a =。

代入可得，2(21)38m -=，解得10m =
7．B 【分析】
列举出数列的前5项，找到数列的周期，由此求得表达式的结果. 【详解】
依题意，113
a =，111n
n n a a a ++=-，所以2345112,3,,,
23a a a a ==-=-=，所以数列是周
期为4的数列，且每4项的积为()1
12313
2⎛⎫
⋅⋅-⋅-
= ⎪⎝⎭
，故1232019a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1232a a a ⋅⋅=-，故选B.
【点睛】
本小题主要考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题. 8．A 【分析】
根据不等式210ax bx -+≥的解集求得,a b 的值，再解一元二次不等式求得20x bx a -+<的解集.
【详解】
由于不等式210ax bx -+≥的解集是11,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故111093
111016
4a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得12,1a b =-=，
所以不等式()()2
12430x x x x --=-+<的解集是()3,4，故选A.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查方程的思想以及运算求解能力，属于基础题. 9．D 【分析】
根据三个内角A ，B ，C 依次成等差数列求得B 角的大小，利用余弦定理求得BD ，进而求得BC 的值，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】
由于ABC ∆的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，即2B A C =+,由于πA B C ++=,故
π
3
B =
.设,2BD x BC x ==在三角形ABD
中，由余弦定理得(
2
22π
222cos
3
x x =+-⋅⋅⋅，解得4x = 故8BC =，所以三角形ABC
的面积为1π
28sin 23
S =⨯⨯⨯= D.
【点睛】
本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查等差中项的性质，考查三角形内角和定理，属于基础题. 10．D 【分析】
先根据三角形DEF 三个内角的余弦值为正数，得出三角形DEF 是锐角三角形.先假设三角形ABC 分别为锐角三角形或直角三角形，推导出矛盾，由此判断出三角形ABC 是钝角三角形. 【详解】
因为三角形ABC 的三个内角的正弦值都大于零，所以三角形DEF 的三个内角的余弦值都大于零，所以三角形DEF 是锐角三角形.若三角形ABC 是锐角三角形，不妨设
πsin cos sin 2A D D ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,πsin cos sin 2B E E ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,πsin cos sin 2C F F ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
即πππ,,222A D B E C F =
-=-=-,三个式子相加，得3π
2
A B C D E F +++++=，这与三角形内角和定理矛盾，故三角形ABC 不是锐角三角形.若三角形ABC 是直角三角形，该直角的正弦值为1，对应锐角三角形DEF 内角的余弦值为1，这个显然不成立，所以三角形ABC 不是直角三角形.综上所述，ABC ∆是钝角三角形且DEF ∆是锐角三角形，故选D. 【点睛】
本小题主要考查三角形形状的判断，考查三角函数诱导公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题. 11．B 【分析】
根据已知判断出n a 为等差数列，利用等差数列的前n 项和公式化简不等式，根据一元二次不等式有解，判别式大于或等于零列不等式，由此求得n 的最大值. 【详解】
由于12n n a a +-=，故数列是公差为2d =的等差数列，其前n 项和()
112
n n n S na d -=+
，故2
12n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅+2211133n na n a a =+--+≤，即()2
2
111330a n a n n +-+--≤，此
不等式有解，其对应一元二次方程的判别式()()
2
2
14330n n n ∆=----≥，即
2321330n n --≤，()()73190n n -+≤，解得17n ≤≤，故n 的最大值为7.
【点睛】
本小题主要考查等差数列的定义，考查等差数列前n 项和公式，考查一元二次不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12．B 【分析】
根据4和6的最小公倍数为12，得到新的数列是首项为2，公差为12的等差数列n c ，根据
n c 项数求得新数列的各项和.
【详解】
依题意，数列2,6,10,14,,398n a =，公差为4，数列2,8,14,,596n b =，公差为6.4和
6的最小公倍数为12，故新的数列是首项为2，公差为12的等差数列1210n c n =-，由
1210398n c n =-≤，解得34n ≤.故新数列前34项的和为3433
3421268002
⨯⨯+
⨯=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查等差数列的通项，考查等差数列前n 项和公式，考查分析与解决问题的能力，属于中档题. 13
． 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+
⎪⎝
⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦和两角差的正弦公式，求得sin x 的值.
【详解】 由于
3744x ππ<<，故ππ2π4x <+<
，故π4sin 45x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.所以ππsin sin 44x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 4444x x ⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭10=-【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14．[3,60] 【分析】
根据等差数列的通项公式列不等式组，将6S 表示为23,a a 的线性和的形式，由此求得6S 的取值范围. 【详解】
依题意1115
227
a d a d ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，设()()61116152S a d x a d y a d =+=+++，
由6152x y x y
=+⎧⎨=+⎩解得3,9x y =-= ()()111533189263a d a d ⎧-≤-+≤-⎪
⎨
≤+≤⎪⎩
，两式相加得6360S ≤≤，即6S 的取值范围是[]3,60.
【点睛】
本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题. 15．
【解析】 试题分析：
.
考点：等比数列的前项和. 16．1032 【分析】
先求得图（b ）左边第一列数的通项公式，由此求得项值接近2019的行数，再根据公差为2求得k 的值. 【详解】
观察图（b ），设其左边第一列数为1231,2,5b b b ===，通过观察可知
()1232n n b b n n --=-≥，故()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+，
()()223251122n b n n n n =-+-+
++=-+.令2019n b ≥，即2222019n n -+≥，
2220170n n --≥，当46n =时上式成立此时462026b =，而451937b =，由
20191937
412
-=可知，2019是这一行的第42个数，前44行的项数为
1244990++
+=项，故2019对应的k 为429901032+=.
【点睛】
本小题主要考查数列通项公式的求法，考查数列项数的判断，考查分析与思考问题的能力，考查图标分析，属于中档题
.
17．(1)见证明；(2)14 【分析】
（1）在三角形ABD 和三角形BCD 中分别用余弦定理表示出BD ，由此列方程，化简得到
cos 1C A -=.（2）先求得1S 和2S 的表达式，进而求得22
12S S +的表达式，并利用配
方法求得最大值. 【详解】 证明：（1）2222cos 44222cos 88cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⋅⋅=-
又
2222cos 4122216BD BC CD BC CD C C C =+-⋅=+-⋅⋅=-
所以88cos 16A C -=-
cos 1C A -=
（2）1S C =,22sin S A =
()()
2222221212sin 4sin 121cos 41cos S S C A C A +=+=-+-
)
2
2164
112cos C C =---
224cos 12C C =-++
2
24cos 1414
6C ⎛=--+≤ ⎝⎭
当cos C =时，22
12S S +有最大值为14. 【点睛】
本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查二次型函数求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，所以中档题.
18．(1) [7,2]-- (2) (,3[3)x ∈-∞-⋃-+∞ 【分析】
（1）根据函数的对称性2
a
x =-
与区间[]22-,
的位置关系对函数()f x 的最小值进行分类讨论，由此解不等式，求得a 的取值范围.（2）构造一次函数()2
3h a x a x =⋅++，由不等式
组()()4060
h h ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，求解出x 的取值范围. 【详解】 解：（1）①当22
a
-
<-，即4a >时 ()()min 2423f x f a a =-=-+≥，所以7
3
a ≤
,此时a 不存在； ②当222
a
-≤-
≤，即44a -≤≤时 ()2
2min
324
2a a
a f x f a ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭，所以24120a a +-≤，解得62a -≤≤
此时[]
4,2a ∈- ③当22
a
-
>，即4a <-时 ()()min 2423f x f a a ==++≥，所以7a ≥-．
此时[
)7,4a ∈--
综上所述：实数a 的取值范围是[]
7,2-- （2）令()2
3h a x a x =⋅++
所以()()2
2
4430
6630h x x h x x ⎧=++≥⎪⎨=++≥⎪⎩
解得3133x x x x 或≤-≥-⎧⎪
⎨
≤-≥-+⎪⎩
所以
[()
,33x ∈-∞-⋃-++∞ 【点睛】
本小题主要考查二次函数的最值问题，考查一元二次不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 19．(1) cos 0B =
(2) 【分析】
（1）利用正弦定理化简cos 2cos cos a B c A b A =-，求得cos A 的值，进而求得A 的大小.利用余弦定理和2b c =，解得c 和cos B 的值.（2）利用正弦定理，求得4sin b B =，4sin c C =,
由此求得12b c +的表达式并利用辅助角公式合二为一，求得1
2
b c +的取值范围. 【详解】
（1）由cos 2cos cos a B c A b A =- 则sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-
sin 2sin cos C C A =，sin 0C ≠,所以1cos 2A =
，则3
A π
= 由2222cos b c bc A a +-= 且2b c =
2221
44122
c c c +-⋅
=所以2c =，4b = 则222
cos 02a c b B ac +-==
（2
）由4
sin sin sin
3
b c B C π
=== 所以4sin b B =
，4sin 4sin 2sin 3c C B B B π⎛⎫
==+=+ ⎪⎝
⎭
故
12sin 2sin 4sin cos 27b c B B B B B B B ⎫+=++=+=+⎪⎪⎭
令cos φ=，0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
则sin φ=
12⎛∈ ⎝⎭
，所以,63ππφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
故
()12b c B φ+=+而3A π=,20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2,3B πφφφ⎛⎫
+∈+ ⎪⎝⎭
当2
B π
ϕ+=
时，
1
2
b c +
有最大值
且
1214232b c πφ⎛⎫⎛⎫+>+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以
1
2
b c +
的取值范围是
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查辅助角公式，考查三角函数的值域的求法，属于中档题.
20．(1) 413()524
n
n a =- (2) 2022年年底 【分析】
（1）根据“每年原来沙漠面积的
15将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的120
还会被沙漠化”写出数．列n a 的递推关系式，然后利用配凑法配成等比数列，并由此求得数列n a 的通项公式.（2）令3
5
n a >，解指数不等式求得n 的取值范围，并根据n 的最小值求得截止的年份. 【详解】
解：（1）由题：()111111205n n n a a a --⎛⎫=-
+- ⎪⎝⎭，所以131
45
n n a a -=+ 1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，而04152a -=-，故413524n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. （2）41335245n n a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ ，得131
245
n
⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以
34
2lg
2lg2lg50.60110
5log 35lg32lg20.480.603lg 4
n -->====--
所以4n =，即截止到2022年年底. 【点睛】
本小题主要考查数列在实际生活中的应用，考查递推数列求通项公式，考查指数不等式的解法，属于中档题. 21．(1)1
231n n k -=⋅- (2) ()()2213312
n n
n n n S +-++=
【解析】 【分析】
（1）根据123,,b b b 成等比数列，列方程，解方程求得12a d =，求得n a 的通项公式，进而求得n b 的公比，利用n k a 和n b 的通项公式，求得n k 的表达式.（2）当12a =时，由（1）求得数列n a 的通项公式，利用分组求和法以及错位相减法，求得n S 的值. 【详解】
（1）由11k =，25k =，317k =，知()()2
111164a a d a d ，+=+得12a d = 从而()1n a n d =+，所以112b a d ==，256b a d ==,则等比数列{}n b 的公比为3.
()11123n n k n a a k d d -=+-=⋅所以1231n n k -=⋅-
（2）12a =，则1n a n =+，()()21
3223343132
n n n n S n -+⎡⎤=+⋅+⋅+⋯++⋅-
⎣⎦
令()2
1
2334313
n n T n -=+⋅+⋅+⋯++⋅ ，①
3n T = ()212333313n n n n -⋅+⋅+⋯+⋅++⋅ ②
由①-②()()2
1
1322333
1311313
n
n n
n n T n n ---=+++⋯+-+⋅=+-+⋅-
()21314
n n
n T +-=
所以()()()221331322
2
n n n n n n n n S T +⋅-+++=-=
【点睛】
本小题主要考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，考查错位相减求和法，属于中档题.
22．(1) 21,1{34,2n n n a n -==⋅≥ (2) 171841
n
n T -=-+ 【分析】
（1）将111,n n n n n n a S S a S S -++=-=-代入已知等式，证得n S 是等比数列，由此求得n S 的
表达式，利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数
列的前n 项和n T . 【详解】
（1）由110n n n n a S a S +--=
()()()11102n n n n n n S S S S S S n +-----=≥故211n n n S S S +-=又110S =≠且24S =
所以数列{}n S 是一个以1为首项，4为公比的等比数列
所以14n n S -=……①,2
14n n S --=……②()2n ≥ 由①-②2
34n n a -=⋅ ()2n ≥且111a S ==不满足上式
所以21,1
{
34,2
n n n a n -==⋅≥ （2）193468b =
=⋅，13
8
T =，2n ≥时 ()()()()()()
22212121192743411
334141
3433434141n n n n n n n n n n n n a b a a --------+⋅⋅====-
++++⨯+⨯+++
22212113111
171841414141841
n n n n T -----⎛⎫⎛⎫=
+-++-=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭ 而13
8
T =
也满足上式，所以1
71841n n T -=-+ 【点睛】
本小题主要考查数列通项公式的求法，考查裂项求和法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。