高一数学6月教学质量检测试题含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高一数学6月教学质量检测试题〔含解
析〕
第一卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题：〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕
{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，那么以下结论中正确的选项是〔〕
A.A B ⊆
B.B A ⊆
C.{}
2A B ⋂=
D.
(){}1U A B ⋂=
【答案】D 【解析】 【分析】
根据子集的定义可排除,A B ；由交集定义排除C ；根据补集和交集的定义可知D 正确.
【详解】
1B ∉，6A ∉,A B ∴错误；
{}2,4A B =，那么C 错误； {}1,8U C B =(){}1U A
C B ∴=，
D 正确.
此题正确选项：D
【点睛】此题考察集合间的关系、集合运算中的交集和补集运算，属于根底题. 2.以下函数中，在[]
1,1-上单调递减的是〔〕
A.
y x
= B.
12
log y x =
C.13x
y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
D.
2y
x
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一次函数单调性、对数函数定义域、指数函数单调性、二次函数单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】当[]0,1x ∈
时，y x x ==，此时函数单调递增，A 错误；
12
log y x =的定义域为()0,∞+，B
错误；
1013<<，那么13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
单调递减，C 正确；
当[]0,1x ∈
时，2y
x 单调递增，D 错误.
此题正确选项：C
【点睛】此题考察判断函数的单调性，属于根底题.
0a b >>，以下不等式一定成立的是〔〕
A.2
2a b < B.2
a a
b <
C.
11
a b
< D.
1b
a
< 【答案】D 【解析】 【分析】
通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可. 【详解】假设2a
=，1b =-，那么22a b >，A 错误；
()20a ab a a b -=->，那么2a ab >，B 错误； 10a >，10b <，那么11
a b
>，C 错误； 0a >，那么1b
a
<等价于b a <，成立，D 正确.
此题正确选项：D
【点睛】此题考察不等式的性质，属于根底题. 4.如下列图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，那么OA OC OE ++=〔〕
A.0
B.0
C.AE
D.EA
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量加法运算法那么和相反向量的定义即可求得结果.
【详解】
OA OC OB +=，OB OE =-0OA OC OE OB OE ∴++=+=
此题正确选项：
A
【点睛】此题考察向量的线性运算，涉及到向量的加法和相反向量的问题，属于根底题.
()1
ln f x x x
=-
的零点所在的区间是〔〕 A.
()0,1 B.
()1,e
C.
()2
,e e
D.
()2
,e +∞
【答案】B 【解析】 【分析】
首先判断出函数的单调性，根据零点存在定理求得结果. 【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增
当0x →时，()f x →-∞；()110f =-<；()110f e e =-
>；()
221
20f e e
=->；
当x →+∞时，
()f x →+∞ 可知：
()()10f f e ⋅<
()f x ∴零点所在区间为：B
【点睛】此题考察利用零点存在定理判断零点所在区间，属于根底题.
sin y x =的图象向左平移
3
π
个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数解析式为〔〕
A.
3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B.
12sin 233y x π
⎛⎫=+
⎪⎝⎭ C.
1
3sin 2
3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D.
123sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数左右平移变换、伸缩变换的原那么依次变换即可得到结果.
【详解】向左平移
3π
个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 横坐标扩大到原来的2倍得：
1
sin 2
3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
纵坐标扩大到原来的3倍得：
1
3sin 2
3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
此题正确结果：C
【点睛】此题考察求解三角函数图象变换后的解析式，涉及到相位变换和伸缩变换，属于常考题型. 7.0.33a
=，3log 0.3b =，30.3c =，那么〔〕
A.a b c >>
B.c a b >>
C.c b a >>
D.a c b >>
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系. 【详解】0.30331a
=>=；33log 0.3log 10b =<=；300.30.31c =<=且30.30c =>
此题正确选项：D
【点睛】此题考察利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于根底题.
()533
x
y x x =-⋅的图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性排除C ；根据x →+∞和()0,1x ∈
时，函数值的正负可排除,A D ，从而得到正确结果.
【详解】
()()()()
535353333x x x x x x x x x -⎡⎤---⋅=-+⋅=--⋅⎣⎦
()
533x
y x x =-⋅∴为奇函数，图象关于原点对称，可排除C 选项；
当x →+∞时，0y >，可排除A 选项；
当()0,1x ∈
时，0y <，可排除D 选项.
此题正确选项：B
【点睛】此题考察函数图象的识别，解决此类问题常用的方法是根据函数的奇偶性、特殊位置的符号、单调性来进展排除.
{}n a 的前n 项和为n S ，假设11a =，13n n a S +=，*n N ∈，那么5
a
=〔〕
A.334⋅
B.3
314⋅+ C.44 D.4
41+
【答案】A 【解析】 【分析】 根据1
1n n n a S S ++=-代入等式可求得14n n S S +=，从而可知{}n S 是等比数列，得到14n n S -=，利用
554a S S =-求得结果.
【详解】由1
3n n a S +=得：13n n n S S S +-=，即14n n S S +=
又111a S =={}n S ∴是以1为首项，4为公比的等比数列14n n S -∴=
此题正确选项：
A
【点睛】此题考察数列通项与前n 项和之间关系的应用，关键是可以证得数列
{}n S 为等比数列.
()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
()()2log 3f x x =+，那么()()20182019f f +=〔〕
A.3
B.2
C.2-
D.3-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据
()()21f x f x +=-可得函数周期为3，从而将所求式子变为()()10f f -+；利用函数的奇偶性
的性质和在30,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时的解析式即可求得结果. 【详解】由()()21f x f x +=-得：()()3f x f x +=
即：
()f x 是周期为3的周期函数
()f x 为R 上的奇函数()()211log 42f f ∴-=-=-=-且()00f =
此题正确选项：C
【点睛】此题考察利用抽象函数的周期性和奇偶性求解函数值的问题，关键是可以将自变量通过周期性和奇偶性转化为区间内的值，从而利用区间的解析式来进展求解.
a ，
b 满足
111a b +=，那么19
11
a b +
--的最小值为〔〕 A.6 B.9
C.12
D.15
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等式可得1
a
b
a =
-且10a ->；代入所求式子可得根本不等式的形式，利用根本不等式求得最小值. 【详解】由11
1a b +=得：1111a b a a -=-=，即：1
a b a =-
0b >，0a >10a ∴->
当且仅当
()1911a a =--，即4
3
a =时取等号 此题正确选项：
A
【点睛】此题考察利用根本不等式求解和的最小值的问题，关键是可以通过代入消元的方式，整理出符合根本不等式的形式.
()223,0,0
x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩．假设0a >，0b <，且()()f a f b =，那么()f a b +的最小值为〔〕
A.3-
B.1-
C.0
D.1
【答案】B 【解析】 【分析】
令
()()f a f b t ==，用t 表示出,a b ，进而可得0a b +>；代入函数解析式可将()f a b +变为二次
函数，根据二次函数图象求得最值.
【详解】设()()f a f b t ==，那么2230a b t -==>3
2
t a +∴=
，b =
1=时，(min
121t -=-=-，即()min 1f a b +=-⎡⎤⎣⎦
此题正确选项：B
【点睛】此题考察函数最值的求解，关键是可以通过换元的方式将问题变为二次函数最值的求解问题.
第二卷〔非选择题，一共90分〕
二、填空题〔本大题一一共7小题，多空题每一小题6分，单空题每一小题4分，一共36分，把正确答案填写上在答题卡中的横线上．〕
()1,2a =，()1,1b =-，那么2b =________，a b ⋅=________．
【答案】(1).()2,2-(2).1
【解析】 【分析】
根据向量数乘运算和数量积运算法那么求解即可. 【详解】()()221,12,2b
=⨯-=-；()11211a b ⋅=⨯-+⨯=
此题正确结果：
()2,2-；1
【点睛】此题考察向量坐标运算中的数乘运算和数量积运算，属于根底题.
14.计算：lg 2lg5+=________，)
2221log 1-+
+=________．
【答案】(1).1(2).54
【解析】 【分析】
根据指数和对数运算的运算法那么直接计算可得结果.
【详解】()lg2lg5lg 25lg101+=⨯==；)
2
2152
1log 11044
-+
+=
++= 此题正确结果：1；
5
4
【点睛】此题考察指数运算和对数运算，属于根底题.
15.tan 3α
=，那么tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭________，
3sin cos sin cos αααα-=+________． 【答案】(1).2-(2).2 【解析】 【分析】
利用两角和差正切公式可求得tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭；分子分母同时除以cos α，从而构造出tan α，代入求得结果.
【详解】tan tan
314tan 241311tan tan 4
π
απα
πα++⎛⎫+=
==- ⎪-⨯⎝
⎭- 此题正确结果：2-；2
【点睛】此题考察利用两角和差正切公式求值、关于sin ,cos αα的齐次式的求解问题，属于根底题.
x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，那么2z x y =+的最大值为________，以x ，y 为坐标的点(),P x y 所
形成平面区域的面积等于________． 【答案】(1).3(2).94
【解析】 【分析】
由约束条件可得可行域，将2z
x y =+的最大值转化为2y x z =-+在y 轴截距的最大值，根据图象平移
可得过C 时最大，代入得到结果；平面区域为三角形区域，分别求出三个顶点坐标，从而可求得三角形的底和高，进而得到所求面积.
【详解】由约束条件可得可行域如以下列图阴影局部所示：
2z x y =+的最大值即为：直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值
由
2y x =-平移可知，当2y x z =-+过C 时，在y 轴截距最大 由1
1
x y y +=⎧⎨
=-⎩得：()2,1C -max 413z ∴=-=
由1y x y =⎧⎨
=-⎩得：()1,1B --；由1
y x x y =⎧⎨+=⎩得：11,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴平面区域面积为：()119
211224
ABC S ∆⎛⎫=
⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 此题正确结果：3；
94
【点睛】此题考察线性规划中求解最值、区域面积类的问题，属于常考题型.
{}n a 的公差为2，73a =，其前n 项和为n S ，那么10S =________．
【答案】0 【解析】 【分析】
根据等差数列通项公式求得1a 和10a ，代入等差数列求和公式可得结果. 【详解】1
763629a a d =-=-⨯=-；10733329a a d =+=+⨯=
此题正确结果：
【点睛】此题考察等差数列前n 项和的求解，涉及到等差数列通项公式的应用，属于根底题.
x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+获得最小值，那么sin 4πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭________．
【答案】10
-
【解析】 【分析】
利用辅助角公式可得：
()()f θθϕ+=，其中sin ϕ=
，cos ϕ=
；可求得
()22k k Z π
θϕπ=--
+∈，代入可知sin sin 44ππθϕ⎛⎫⎛
⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，利用两角和差正弦公式即可求
得结果.
【详解】
()()2sin cos f x x x x ϕ=++，其中sin 5
ϕ=
，cos 5
ϕ=
那么
()()f θθϕ=+=()sin 1θϕ+=-
()22
k k Z π
θϕπ∴+=-
+∈，即()22
k k Z π
θϕπ=--
+∈
此题正确结果： 【点睛】此题考察利用辅助角公式、两角和差正弦公式求解三角函数值的问题，关键是可以利用辅助角公式，结合最值获得的点求得θ.
a ，
b 的夹角为60，()1
R 2
c
a t
b t =-+∈，那么
c c a
+-的最小值为________．
【解析】 【分析】
根据向量数量积运算法那么可求得2c 和
()
2
c a -，从而得到
c
和
c a
-，可得
c c a
+-的几何意义
为点(),0t 到1,44⎛ ⎝⎭，3,44⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
的间隔之和，从而利用对称求解出间隔之和的最小值.
【
详解
】
2
2
22222211
11113cos6024
424416c a tb a ta b t b t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅+=-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
c c a ∴+-的几何意义为点(),0t 到14⎛ ⎝⎭，34⎛ ⎝⎭的间隔之和
13,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭关于x 轴的对称点坐标为1,4⎛ ⎝
⎭
此题正确结果：
2
【点睛】此题考察向量数量积和模长运算的应用问题，关键是能明确所求模长之和的几何意义，将所求问题转化为直线上动点到两定点间隔之和的最小值的求解问题，从而利用对称的思想求得结果. 三、解答题：〔本大题一一共4小题，一共54分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕
()22sin cos 2sin 1f x x x x =+-．
〔Ⅰ〕求
4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
〔Ⅱ〕求函数
()f x 的最小正周期和单调递增区间．
【答案】〔Ⅰ〕1；〔Ⅱ〕π；()3,8
8k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
【解析】 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式整理可得
()24f x x π⎛
⎫- ⎝
=⎪⎭；〔Ⅰ〕代入4x π=求得结果；〔Ⅱ〕根
据正弦型函数的性质可知：22T π
π==；令()222242
k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得x 的范围即为所求单调递增区间.
【详解】
()22sin cos 2sin 1sin 2s 42co 2f x x x x x x x π=+-⎛
⎫=- ⎪⎝
=⎭-
〔Ⅰ〕
214444f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
〔Ⅱ〕()f x 的最小正周期：22
T π
π== 令()2222
4
2
k x k k Z π
π
π
π
π-
≤-
≤+
∈得：()38
8
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈ ()f x ∴的单调递增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
【点睛】此题考察三角函数函数值求解、周期性和单调区间的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，属于常考题型.
ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =3b =，sin 2sin C A =．
〔Ⅰ〕求边c 的值； 〔Ⅱ〕求ABC △的面积．
【答案】〔Ⅰ〕3
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕根据正弦定理求解即可；〔Ⅱ〕利用余弦定理求得cos A ，利用同角三角函数关系求得sin A ，代入
三角形面积公式求得结果.
【详解】〔Ⅰ〕由正弦定理sin sin c a C A =得：sin sin a C
c A
=
又sin 2sin C
A =2c a ∴==
〔Ⅱ〕由余弦定理得：222cos
25b c a A bc +-===
ABC ∆∴的面积：11sin 3322S bc A ==⨯⨯=
【点睛】此题考察利用正弦定理和余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于根底题.
()222f x x x =++．
〔Ⅰ〕求函数()()10g
x f x =-的单调递增区间；
〔Ⅱ〕假设对任意的实数1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
，都有()31f x mx -≥成立，务实数m 的取值范围； 〔Ⅲ〕假设()()()236h
x f x a x =+--，[]13,x ∈-的最大值是0，务实数a 的取值范围．
【答案】〔Ⅰ〕
()4,1--和()2,+∞；〔Ⅱ〕4,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦；〔Ⅲ〕13a =-或者1a =-． 【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕求得()g
x 解析式后，根据解析式可画出()g x 图象，利用图象确定所求单调区间；
〔Ⅱ〕通过别离变量的方式整理为：1
32m x x
≤++；根据对号函数的单调性可求得()12x x x μ=++的最小值，从而得
到()min
3m x μ≤，进而解得范围；〔Ⅲ〕得到()h x 解析时候，根据二次函数图象和性质，分别在3
2
a ≥、
1322a -<<、5122a -≤≤-、5
2
a ≤-四种情况下构造关于最值的方程，从而解得结果. 【详解】〔Ⅰ〕由题意得：()()2
22819g x x x x =+-=+-
令2
280x x +-=，解得：4x =-或者2x =
可得函数()g
x 图象如以下列图所示：
由图象可知，()g
x 单调递增区间为：()4,1--和()2,+∞
〔Ⅱ〕对任意的实数1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
，都有()31f x mx -≥成立 得：2
2231x x mx ++-≥，即：2321mx x x ≤++
132m x x ∴≤++，1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
令()1
2x x x
μ
=+
+ 那么()x μ
在1,12⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
上单调递减，在(]1,2上单调递增 即4,
3m ⎛
⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
〔Ⅲ〕由题意得：()()()2222236214h x x x a x x a x =+++--=+--
对称轴为：211
22
a x
a -=-
=-+[]13,x ∈- ①当112a -+≤-，即3
2
a ≥时
()()()max 3932140h x h a ==+--=，解得：1
3
a =-
〔舍〕 ②当1112a -<
-+
<，即1322
a -<<时 ()()()max 3932140h x h a ==+--=，解得：1
3
a =-
，符合题意 ③当1132a ≤
-+
≤，即5122
a -≤≤-时 ()()max 112140h x h a =-=-+-=，解得：1a =-
④当132a -+
≥，即52
a ≤-时 ()()max 112140h x h a =-=-+-=，解得：1a =-〔舍〕
综上可知：1
3
a
=-
或者1a =- 【点睛】此题考察二次函数图象和性质的综合应用问题，涉及到函数图象、单调性求解、恒成立问题的求解、二次函数最值与图象之间的关系，考察学生对于二次函数知识的掌握情况.
{}n a 满足11a =，()21n n n a g n a a +=+．
〔Ⅰ〕假设()1g
n =，求证：对一切的*n N ∈，2n ≥，都有1n a >；
〔Ⅱ〕假设()12g
n =，记12111222n
n
b a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，求证：数列{}n b 的前n 项和1n S <； 〔Ⅲ〕假设()g
n n =，求证：12111
1111n
a
a a ++⋅⋅⋅+<+++． 【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕证明见解析；〔Ⅲ〕证明见解析. 【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕由
21n n n a a a +=+得2
10n n n a a a +-=≥，当且仅当0n a =时等号成立；而110a =>可得
1n n
a a +>，进而证得结论；〔Ⅱ〕由2
112
n n n a a a +=+整理可得：
1122n n n a a a +=+；代入
n
b 可得
111
22
n n n
n a b a +<=，进而2111222n
n S ⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，根据等比数列求和公式可证得结论；〔Ⅲ〕由
2
1n n n a na a +=+整理可得：111111
1n n n n n n a a na a a n
+=-=-++
，可知1111
1
n n n a a a +<-+，利用累加的方法可证得结论. 【详解】〔Ⅰ〕由()1g n =得：21n n n a a a +=+
故有2
10n n n a a a +-=≥，当且仅当0n a =时等号成立
而1
10a =>，故有210n n n a a a +-=>，即有1n n a a +>
∴对一切的*n N ∈，2n ≥，都有1n a >
〔Ⅱ〕当()12
g
n =
时，有2112n n n a a a +=+，那么有：()2
1222n n n n n a a a a a +=+=+
122n n n
a a a +∴
=+，即有
11
22n n n a a a +=+ ∴数列{}n b 的前n 项和1n S <
〔Ⅲ〕由2
1
n n n a na a +=+得：
()()11111111n n n n n n n n n a a na na na na na +⎛⎫
===- ⎪+++⎝⎭
即
1
111
1n n n a a a +<-+
累加可得：
12111
111111
11111n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<-=-<+++ 【点睛】此题考察数列与不等式的综合应用问题，涉及到放缩法证明不等式、数列中的递推关系、等比数列求和公式的应用、累加累乘法的应用等知识，难点在于对数列通项进展合理的放缩，属于难题.。