广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题8 第33课时 探索性问题

专题八 推理与证明、探索性问题
1 第一页，编辑于星期日：九点 三十六分。
考点1 条件探索性问题
例1 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的?基本
量”．设an是公比为q的无穷等比数列．下列关于数列
an的四组量：(其中n为大于1的整数，Sn为数列an的前
n项和)
①S1与S2;
②a2与S3；
③a1与an;
2 2c 4 c2
5，
所以c2 8c 16 0 c 4.
又a2 b2 c2，b 2，所以a2 20.
所以椭圆E的方程为 x2 y2 1. 20 4
第二十八页，编辑于星期日：九点 三十六分。28
2方法1：假设存在点M (x，y)，使MBF为等腰三角形，
则点M (x，y)满足 x 12 y2 5.
第三十页，编辑于星期日：九点 三十六分。 30
方法2：假设存在点M (x，y)，使MBF为等腰三角形． 下面分三种情况讨论： ⅰ( )当FM FB时，
因为B 0, 2关于x轴对称的点(0， 2)也在圆上，
所以M (0， 2)． (ⅱ)当BM BF时，因为BF 2 5， 又圆C的直径为2 5，所以BM为圆C的直径，
①
下面分三种情况讨论：
ⅰ( )当BM BF时，
有 x2 ( y 2)2 20，即x2 y 22 20. ②
由①②联立得
x y
2，所以M 2
(2，
2).
29 第二十九页，编辑于星期日：九点 三十六分。
(ⅱ)当MB MF时，
有 x2 ( y 2)2 (x 4)2 y2，即2x y 3. ③
此时由C 1, 0、B 0, 2 及中点公式得M (2， 2)．
31 第三十一页，编辑于星期日：九点 三十六分。
(ⅲ)当MB MF时，设M (x，y)，
则有
x2 ( y 2)2
(x 1)2 y2 5
所以M (1，1)．
数．若y k x 2是闭函数，求实数k的取值范围.
7 第七页，编辑于星期日：九点 三十六分。
解析 由题意知，存在[a，b] [2， )，使得y k
x 2在[a，b]上的值域为[a，b]．
因为y k x 2在[2， )上是增函数，
所以
a
k
a2 .
b k b 2
所以a，b是方程x k
设g x x2 2k 1 x k 2 2.
(2k
1)2
4(k
2
2)
2k 1 2
k
则有
2k 1 2
k
，
g(k) k 2 (2k 1)k k 2 2 0
解得 9 k 2. 4
故实数k的取值范围是( 9 ， 2]． 4
第十页，编辑于星期日：九点 三十六分。 10
考点2 结论探索性问题
OQ，试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求 出这个定值；若不是，请说明理由．
18 第十八页，编辑于星期日：九点 三十六分。
解析
1
设椭圆方程为
x a
2 2
y2 b2
1a
b
0，焦距为2c.
因为e 2 ，所以 c 2 ，
2
a2
1
据题意，点(c， 2 2
)在椭圆上，则
c2 a2
2 b2
1，
第二十四页，编辑于星期日：九点 三十六分。24
解析 1由题可知，b 2. 因为C t, 0，B 0, 2，所以BC t2 22 5，
则t 1，又t 0，所以t 1. 方法1：连接BC. 因为直线BF为圆C的切线， 所以BC BF， 所以BC2 BF 2 CF 2.
25 第二十五页，编辑于星期日：九点 三十六分。
y2
1，
y kx m
得 2k 2 1 x2 4kmx 2m2 2 0.
所以x1
x2
4km 2k 2
1，x1x2
2m2 2k 2
2. 1
于是y1 y2 kx1 m kx2 m k 2x1x2 km x1 x2 m2
k 2 2m2 2 km 4km m2 m2 2k 2 .
设F c, 0，则有2 2 0 1，所以 4.
0c 又a2 b2 c2，b 2，所以a2 20. 所以椭圆E的方程为 x2 y2 1.
20 4
第二十七页，编辑于星期日：九点 三十六分。27
方法3：因为直线BF为圆C的切线，
则圆心C 1, 0到直线BF的距离等于 5.
又lBF：2x cy 2c 0，所以
1．本题实质上是考查如何确定等比数列 的条件，属于条件探索性问题．
2．条件探索性问题经常和“新定义”问题 联系在一起，解决这类问题的关键是阅读理解“ 新定义”，将其转化为相应的知识进行处理．
第六页，编辑于星期日：九点 三十六分。 6
变式1 对于函数y f x x D,若同时满足下列条件： ①f x在D内为单调函数；②存在区间[a，b] D，使 f x在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y f x叫闭函
am 1
2am 1 (
1) 2
0，
所以2Sm2 Sm Sm1.
所以，当q
1 2
时，Sm，Sm
2，Sm
成等差数列．
1
第十三页，编辑于星期日：九点 三十六分。 13
方法2：因为2Sm2
2a1[1
(
1 2
)m2
]
1 1
4 3
a1[1
(
1 )m2 ]， 2
2
又Sm
S m 1
a1[1
(
1 2
)m
]
1 1
④q与an .
其中一定能成为该数列的“基本量”的是
(写出所
有符合要求的编号)．
2 第二页，编辑于星期日：九点 三十六分。
切入点：抓住“基本量”的定义进行判断．因为等
比数列an由首项a1和公比q确定，所以a1和q是等
比数列的“基本量”．判断上述每组的两个量是不 是“基本量”可转化为能否确定a1和q.
第三页，编辑于星期日：九点 三十六分。 3
解析
①由S1与S2可确定a1和a2，由
a1 a2
q可得公比q，
故能确定数列．
②由条件a2
a1q，且S3
a1
a1q
a1q 2
a2 q
a2
a2q，
所以a2q2 a2 S3 q a2 0.
则满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而
不能确定数列，即a2与S3不一定是数列an的基本量．
4 第四页，编辑于星期日：九点 三十六分。
③由a1与an可得an
a1q n 1，则q n 1
an a1
.当n为奇数时，q
可能有两个值，故不能确定数列，所以a1与an也不一定
是数列的一个基本量．
④已知q与an，则an a1qn1，故数列an能确定，所以q 与an是数列an的一个基本量．
第五页，编辑于星期日：九点 三十六分。 5
2．解决这类问题，关键是转化为相应知识 进行求解．如本题的关键是判断Sm+Sm+1是否 等于2Sm+2，若相等，则为等差数列，否则不是等
差数列．
第十六页，编辑于星期日：九点 三十六分。 16
3．结论不确定的原因，往往是公式存在
某些限制条件或位置关系存在不确定因素等．因 此，常常要分类讨论．本题存在两种可能的原因
则d
m
k2 1
m2 k2 1
2k 2 2
3 k2 1
6. 3
第二十一页，编辑于星期日：九点 三十六分。21
当直线l的斜率不存在时，因为OP OQ程分别为y x，y x，
可得P( 6 ， 6 )，Q( 6 ， 6 )
33
33
或P( 6 ， 6 )，Q( 6 ， 6 )．
设F c, 0，则有( 5)2 22 c2 1 c2 ，所以c 4.
又a2 b2 c2，b 2，所以a2 20. 所以椭圆E的方程为 x2 y2 1.
20 4
26 第二十六页，编辑于星期日：九点 三十六分。
方法2：因为直线BF为圆C的切线，所以BC BF， 所以kBC kBF 1
所以，当q
1时，Sm，Sm
2，Sm
不成等差数列．
1
当q
1 2
时，Sm，S
m
2，Sm
成等差数列.
1
第十二页，编辑于星期日：九点 三十六分。 12
下面给出三种证明方法：
方法1：因为 Sm Sm1 2Sm2
Sm Sm am1 2 Sm am1 am2
am1 2am2
2am1 2am1q
33
33
此时，原点O到直线l的距离仍为 6 . 3
综上，点O到直线l的距离为定值 6 . 3
第二十二页，编辑于星期日：九点 三十六分。22
考点3 存在探究性问题
例3 (2010 深圳二模)已知圆C： x t 2 y2 5(t 0)和椭
圆E：ax22
y2 b2
1a
b
0的一个公共点为B(0, 2)，F为
由①③联立得
x 1 ，所以M y 1
(1，1)．
(ⅲ)当FM FB时，
有 (x 4)2 y2 20，即x2 y2 8x 4 0. ④
由①④联立得
x0 y 2
.
又B 0, 2，所以M (0， 2)．
综上，圆C上存在点M (2， 2)或M (1，1)或M (0， 2)，
使MBF为等腰三角形
例2 已知等比数列an的前n项和为Sn，若am，am2，am1
(m N*)成等差数列，试判断Sm，Sm2，Sm1是否成等差 数列，并证明你的结论
切入点：Sm，Sm2，Sm1是否成等差数列，关键是判断
Sm
Sm
1是否等于2Sm
，再作结论．
2
第十一页，编辑于星期日：九点 三十六分。 11
解析 设等比数列an的首项为a1，公比为q(a1 0，
Sm
S m 1
a1(1 qm 1 q
)
a1(1 qm1) 1 q
a1 1 qm 1 qm1 1 q
a1 1 q
2
qm
1
q
a1 1 q
[2
2qm
q2
]
2
a1(1 qm2 1 q
)
2S m 2 .
故Sm，Sm
2，Sm
成等差数列．
1
第十五页，编辑于星期日：九点 三十六分。 15
1．本题结论有多种可能，其一是成等差数 列，其二是不成等差数列，其三有可能是等差 数列也有可能不是等差数列，这类探索性问题 属于结论探索性问题．
a1[1
(
1 2
)m1
]
1 1
2
2
2 3
a1[2
(
1)m 2
(
1 )m1] 2
a1[2
4
(
1 )m2 2
2
(
1 )m2 2
]
4 3
a1[1 (
1 2
)
m
2
]，所以2Sm
2
Sm
Sm1.
所以，当q
1 2
时，Sm，Sm
2，Sm
成等差数列．
1
14 第十四页，编辑于星期日：九点 三十六分。
方法3：当q 1 时， 2
是等比数列的求和公式中存在q=1和q≠1两种情 况．
第十七页，编辑于星期日：九点 三十六分。 17
变式2(2011 惠州一模)已知椭圆中心在原点，焦点在x轴 上，离心率e 2 ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦
2 长为 2.
1 求椭圆的标准方程； 2 已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP
x 2的两个相异实根．
第八页，编辑于星期日：九点 三十六分。 8
由x k x 2 x 2 x k
x 2 (x k)2
x k
x2
(2k
1)
x
k
2
2
0，
x k
即方程x2 2k 1 x k 2 2 0在[k， )上有两
个相异的实数根．
第九页，编辑于星期日：九点 三十六分。 9
q
0)．若am，am
2，am
成等差数列，
1
则2am2 am am1，所以2a1qm1 a1qm1 a1qm.
因为a1 0，q 0，所以2q2 q 1 0，
解得q 1或q 1 . 2
当q 1时，
因为Sm ma1，Sm1 m 1 a1，Sm2 m 2 a1，
所以2Sm2 Sm Sm1.
2k 2 1
2k 2 1
2k 2 1
第二十页，编辑于星期日：九点 三十六分。 20
因为OP OQ，
所以x1x2
y1 y2
2m2 2k 2
2 1
m2 2k 2 2k 2 1
3m2 2k 2 2 2k 2 1
0，
即3m2 2k 2 2 0，所以m2 2k 2 2 . 3
设原点O到直线l的距离为d，
1
于是 1 2
2 b2
1，解得b
1.
因为a 2c，a2 c2 b2 1，则c 1，a 2，
故椭圆的方程为 x2 y2 1. 2
第十九页，编辑于星期日：九点 三十六分。 19
2当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y kx m，
点P(x1，y1)，Q(x2，y2 )．
由
x2 2
椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.
23 第二十三页，编辑于星期日：九点 三十六分。
1 求t的值和椭圆E的方程； 2 圆C上是否存在点M，使MBF为等腰三角形？若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
切入点：(2)是存在探索性问题，可先假设存在，然后 根据条件进行探索．若得出满足条件的结论，则存 在；若出现矛盾，则说明不存在