高中数学人教A版选修-学案第一章定积分的简单应用含解析

从而所求图形的面积
3
∫ S＝ [(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx 0
3
∫ ＝ (－x2＋3x)dx 0
( ) 1 3
9
＝ － x3＋ x2 Error!＝ .
32
2
10. 设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x＋2.
(1)求 y＝f(x)的表达式；
(4)一个物体在 2≤t≤4 时，运动速度为 v(t)＝t2－4t，则它在这段时间内行驶的路程为
4
∫ (t2－4t)dt.( ) 2
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
( )3π
2．曲线 y＝cos x 0 ≤ x ≤ 与坐标轴所围成的图形面积是( ) 2
A．2
B．3
04
11 ＝ x310＝ .
44
5．曲线 y＝x3－3x 和 y＝x 围成的图形面积为( )
A．4
B．8
C．10
D．9
解析：选 B 由Error!解得Error!或Error!或Error!∵两函数 y＝x3－3x 与 y＝x 均为奇
函数，
2
2
∫ ∫ ∴S＝2 [x－(x3－3x)]dx＝2· (4x－x3)dx
4
∫ ( ) 4
1
4
(t2－4t＋3)dt＝ t3－2t2＋3t Error!＝ (m)．
0
3
3
4 即在 t＝4 s 时该点距出发点 m.
3
又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
1
3
4
∫ ∫ ∫ 所以在 t＝4 s 时的路程为 s＝ (t2－4t＋3)dt－ (t2－4t＋3)dt＋ (t2－4t＋
3
3
3
6
∫ 当 t＝6 时，点 P 的位移为 (8t－2t2)dt 0
( )2
＝ 4t2－ t3 Error!＝0. 3
t
∫ (2)依题意， (8t－2t2)dt＝0， 0
2 即 4t2－ t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6，
3
因为 t＝0 对应于点 P 刚开始从原点出发的情况，所以 t＝6 为所求，
b
∫ [f(x)－g(x)]dx. a [点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形
为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积， 可直接利用相关面积公式求解．
2．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，
[解] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点沿 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝6 时，点 P 离开原点后运动的路程
4
6
∫ ∫ s1＝
(8t－2t2)dt－
(8t－2t2)dt
0
4
( ) ( ) 2
2
128
＝ 4t2－ t3 Error!－ 4t2－ t3 Error!＝ .
(2)求 y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解：(1)∵y＝f(x)是二次函数且 f′(x)＝2x＋2，
∴设 f(x)＝x2＋2x＋c.
又 f(x)＝0 有两个等根，
∴4－4c＝0，∴c＝1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
∫ (2)y＝f(x)的图象与两坐标所围成的图形的面积 S＝
0
1
(x2＋2x＋1)dx＝ x3＋x2＋
的曲边梯形的面积为 S.
f(x)的符号 f(x)≥0 f(x)<0
平面图形的面积与定积分的关系
b
∫ S＝ f(x)dx a
b
∫ S＝－ f(x)dx a
(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a，b]上有 f(x)>g(x)，那 么直线 x＝a，x＝b 与曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为 S＝
定积分的简单应用
预习课本 P56～59，思考并完成下列问题 (1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？
(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？
[新知初探] 1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数 f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线 y＝0，x＝a，x＝b 与曲线 y＝f(x)围成
答案：13 7．一物体沿直线以速度 v＝ 1＋t m/s 运动，该物体运动开始后 10 s 内所经过的路程
是______．
∫ ( ) 解析：S＝
10
23
23
1＋tdt＝ (1＋t) Error!＝ 11 －1 .
0
32
32
( ) 2 3
答案： 11 －1 32
1 8．由 y＝ ，x＝1，x＝2，y＝0 所围成的平面图形的面积为________．
a
a
[小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
2
∫ ∫ (1)曲线 y＝x3与直线 x＋y＝2，y＝0 围成的图形面积为
x3dx＋ (2－x)dx.( )
0
1
2
∫ (2)曲线 y＝3－x2 与直线 y＝－1 围成的图形面积为
(4－x2)dx.( )
－2
(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )
B．36 m
C．38 m
D．40 m
3
∫ 解析：选 B S＝
(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故应选 B.
0
3.如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 3
B．2－ 3
32
35
C.
D.
3
3
∫ 解析：选 C S＝
1
1
15
(3－x2－2x)dx，即 F(x)＝3x－ x3－x2，则 F(1)＝3－ －1＝ ，
-3
3
33
F(－3)＝－9＋9－9＝－9.
5 32
∴S＝F(1)－F(－3)＝ ＋9＝ .故应选 C.
3
3
1 4．由 y＝x2，y＝ x2 及 x＝1 围成的图形的面积 S＝( )
4
6
1
1
A.
B.
4
2
1
C.
D．1
3
解：选 A 图形如图所示，
∫ ∫ 1
11
S＝ x2dx－
x2dx
0
04
∫1 3
＝
x2dx
-1
3
1 xError!＝ .
3
层级二 应试能力达标
1．一物体在力 F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝1 运
动到 x＝3 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为( )
B．②③
C．①④
D．③④
b
8
8
∫ ∫ ∫ 解析：选 D ①应是 S＝ [f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝ 2 2xdx－ (2x－8)dx，
a
0
4
③和④正确．故选 D.
2．一物体以速度 v＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在 t＝0 s 到 t＝3 s 时间段内的位移
是( )
A．31 m
即 0.1k＝200，得 k＝2 000，故 F(x)＝2 000x，
所以力 F 把弹簧从平衡位置拉长 10 cm 所做的功是
0.1
∫ W＝
2 000xdx＝1 000x2Error!＝10(J)．
0
5
层级一 学业水平达标 1．在下面所给图形的面积 S 及相应的表达式中，正确的有( )
A．①③
处，求变力所做的功．
[解] 变力 F(x)所做的功为
2
5
∫ ∫ W＝ (2x＋4)dx＋ (x2＋2x)dx
0
2
( ) 1
＝(x2＋4x) Error!＋ x3＋x2 Error!＝12＋60＝72(J)． 3
求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式 F(x)，确定物体在力的方向上的位移．
b
∫ (2)利用变力做功的公式 W＝ F(x)dx 计算． a
5 C.
2 答案：B
D．4
3．已知做自由落体运动的物体的速度为 v＝gt，则物体从 t＝0 到 t＝t0 所走过的路程为
( ) 1
A. gt20 3 1
C. gt20 2
答案：C
B. gt20 1
D. gt20 4
2
4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝27－0.9t，则列车从刹车到停车所前 进的路程为________．
答案：405
利用定积分求平面图形的面积
[典例] 求抛物线 y2＝2x 和直线 y＝－x＋4 所围成的图形的面积． [解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组Error!求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8，－4)．
法一：选 x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为
2
0
1
3
( ) ( ) ( ) t3
பைடு நூலகம்
t3
t3
3)dt＝ －2t2＋3t Error!－ －2t2＋3t Error!＋ －2t2＋3t Error!＝4(m).
3
3
3
求变力做功
[典例] 一物体在变力 F(x)＝Error!
(x 的单位：m，F 的单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向从 x＝0 运动到 x＝5
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关 键．
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若 符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
[活学活用] 一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求点在 t＝4 s 时的位 置及经过的路程． 解：在 t＝4 s 时该点的位移为
1
b
∫ b]上的定积分，即 s＝ v(t)dt. a
3．力做功 (1)恒力做功：一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同 的方向移动了 s，则力 F 所做的功为 W＝Fs. (2)变力做功：如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的
b
0
0
( )1
＝2 2x2－ x4 Error!＝8，故选 B. 4
6．若某质点的初速度 v(0)＝1，其加速度 a(t)＝6t，做直线运动，则质点在 t＝2 s 时的
瞬时速度为________．
2
2
∫ ∫ 解析：v(2)－v(0)＝
a(t)dt＝
6tdt＝3t2Error!＝12，
0
0
所以 v(2)＝v(0)＋3×22＝1＋12＝13.
8
∫ ∫ S＝S1＋S2＝2
2xdx＋ ( 2x－x＋4)dx
0
2
( ) 4
＝
23 x 20＋
2
23 1 x － x2＋4x
82＝18.
3 2 3 22
法二：
选 y 作积分变量，则 y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为
∫ ( ) 2
y2
S＝ －4 4－y－ dy
2
( ) ＝
y2 y3 4y－ －
x
1 解析：画出曲线 y＝ (x>0)及直线 x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积 S 为如图所示的阴影
x
部分面积．
7
∫ ∴S＝
21 dx＝ln xError!＝ln 2－ln 1＝ln 2.
1x
答案：ln 2
9．计算曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围图形的面积．
解：由Error!解得 x＝0 及 x＝3.
∫ 方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做的功为 W＝ F(x)dx. a
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为 v＝v(t)，则物体在区间[a，b]上的位移
b
b
∫ ∫ 为定积分
v(t)dt；物体在区间[a，b]上的路程为 |v(t)|dt.
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
[活学活用]
在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm 所用的力是 200 N，求变力 F 做的功．
解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为 F(x)＝kx(k>0)，当 x＝10 cm＝0.1
m 时，F(x)＝200 N，
－24＝18.
26
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用] 求曲线 y＝ex，y＝e－x 及直线 x＝1 所围成的图形的面积． 解： 如图，由Error!解得交点为(0,1)，
3
∫ 所求面积为 S＝
1
1
(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)10＝e＋ －2.
0
e
求变速直线运动的路程、位移
[典例] 有一动点 P 从原点出发沿 x 轴运动，在时刻为 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度
的正方向与 x 轴正方向一致)．求 (1)t＝6 时，点 P 离开原点后运动的路程和点 P 的位移； (2)经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．