吉林省五平市2021届新高考数学五模试卷含解析

吉林省五平市2021届新高考数学五模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A
1
B
1 C
D
．12
【答案】B
【解析】
【分析】
设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】
设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点， 所以()()0,1,0,1A F -， 则
PA
m PF ===
= 当0y =时，1m =，
当0y >
时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P
±，
2PA PF ==， Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，
∴
由椭圆的定义得22a PA PF =+=
，
所以椭圆的离心率212c c e a a =
===，故选B. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，
一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
2．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是（ ）
A ．③④
B ．①②
C ．②④
D ．①③④ 【答案】A
【解析】
【分析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.
【详解】 由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52
+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856
x ⨯乙,则x x <甲乙,故②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
【点睛】
本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
3．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）
A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x
B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x …
C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x …
D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x …
【答案】C
【解析】
【分析】
套用命题的否定形式即可.
【详解】
命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”.
故选：C
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
4．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy
+的最小值为（ ）
A ．3-
B ．1
C 1
D 1
【答案】B
【解析】
23x y
xy +2(2)2111x x y y x y xy y x ++==++≥+=+,选B 5．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A ．48
B ．60
C ．72
D ．120
【答案】A
【解析】
【分析】
对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，
共有22232212C A A =个 数字2出现在第4位时，同理也有12个
数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，
共有1222232224C C A A =个
故满足条件的不同的五位数的个数是48个
故选A
【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

6．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的
主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住
B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%
D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%
【答案】D
【解析】
【分析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占
23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.
【详解】
A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
7．已知函数()22018tan 1
x
x m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ） A ．-3
B ．-1
C ．3
D ．0
【答案】D
【解析】
分析：因为题设中给出了()1f 的值，要求()1f -的值，故应考虑()(),f x f x -两者之间满足的关系. 详解：由题设有()2212018tan 2018tan 11
x x x m f x x x x x m m ---=-+=-+++，
故有()()2
12f x f x x +-=+，所以()()113f f +-=， 从而()10f -=，故选D.
点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.
8．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >
B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >
C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <
D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f <
【答案】A
【解析】
【分析】
设()()x f x g x e
=，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e
'''--'==， 又由()()f x f x '
<，所以()()()0x
f x f x
g x e '-'=>，即函数()g x 在R 上单调递增， 则()0(3)(2018)g g g <<，即032018(0)(3)(2018)(0)f f f f e e e =<<， 变形可得32018(3)(0),(2018)(0)f e f f e
f >>.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
9．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.
【详解】
圆222230x x y y ++--=的标准方程22
(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径为5,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25,所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.
故选：A
【点睛】
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.
10．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为23的等边三角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( )
A ．34
B ．73
C ．377
D ．74
【答案】C
【解析】
【分析】
设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ，得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论．
【详解】
设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =I
PA ⊥Q 平面ABC PA CD ∴⊥
ABC ∆Q 是等边三角形 CD AB ∴⊥
又PA AB A =I
CD \^平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角
ABC ∆Q 是边长为3
3CD AE ∴==，223
AF AE ==且F 为ABC ∆所在截面圆的圆心 Q 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA =
1OF ∴==
PA ⊥Q 平面ABC 22PA OF ∴==
PD ∴=
tan 7CD CPD PD ∴∠=== 本题正确选项：C
【点睛】
本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．
11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）
A ．1
B ．12 C
．2 D
【答案】A
【解析】
【分析】 设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002
244OM y k y p y p y p p ==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(
,0)2
p F ， 设200(,),(,)2y P y M x y p
， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM
的斜率020*******OM y k y p y p y p p ==≤=++，
当且仅当00y p y p
=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12．设22(1)1z i i
=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A
B ．1
C ．2 D
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ．
【详解】 ∵22)1121(1z i i i i i
=-+=+=+++
，∴||z == 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知2()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠）有最小值，且最小值不小于1，则a 的取值范围为__________.
【答案】(1,4]
【解析】
【分析】
真数24x +有最小值，根据已知可得a 的范围，求出函数()f x 的最小值，建立关于a 的不等量关系，求解即可.
【详解】
244x +≥Q ，且2()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠）有最小值，
min 1,()log 41,4,14a a f x a a ∴>=≥≤∴<≤，
a ∴的取值范围为(1,4].
故答案为：(1,4].
【点睛】
本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题.
14．已知x ，y 满足约束条件0,1,22,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
则z x y =-的最大值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数z x y =-的最大值．
【详解】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域，
由于z x y =-，则y x z =-，
要求z x y =-的最大值，则求y x z =-的截距z -的最小值，
显然当平行直线过点()1,0A 时，
z 取得最大值为：101z =-=.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.
15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R r
=__________．
【答案】41 2
【解析】【分析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出
41
2
R=，内切球1O在侧面PAD内的正视图是PAD
∆的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出
R
r
．
【详解】
Q四棱锥P ABCD
-为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，
且3
PA=，4
BC AB
==，设该阳马的外接球半径为R，
∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，
()2222
21616941
R AB AD AP
∴=++=++=，
41
R
∴=，
Q侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，
∴内切球
1
O在侧面PAD内的正视图是PAD
∆的内切圆，
∴内切球半径为
2
1
PAD
PAD
S
r
L
∆
∆
==，
故
41
2
R
r
=．
故答案为
41
．
【点睛】
本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心
位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.
16．（5分）已知曲线C 的方程为3()=-+∈y ax x a R ，其图象经过点(1,0)P ，则曲线C 在点P 处的切线方程是____________． 【答案】220x y +-= 【解析】 【分析】 【详解】
依题意，将点(1,0)P 的坐标代入曲线C 的方程中，解得1a =.由3=-+y x x ，得231'=-+y x ，则曲线C 在点P 处切线的斜率1|2='==-x k y ，所以在点P 处的切线方程是2(1)y x =--，即220x y +-=． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.
【答案】（1）见解析；（2）（i ）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii ）若
采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，()3
4
E X =. 【解析】 【分析】
（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.
（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.
（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望. 【详解】
（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为
5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.282
5.2220
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，
∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
X 的可能取值有0，1，2，3，
()31532091
0228C C P X ===；
()2115532035
176C C C P X ===；
()121553205
238C C C P X ===；
()353201
3114
C P X C ===.
所以X 的分布列为
P
91228
35
76 538 1114
所以()12376381144
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.
18．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点.
（1）求证：//OB 平面1ACD ； （2）求二面角11C AD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（23
【解析】 【分析】
（1）取AC 的中点M ，连接BM 、1D M ，连接11B D ，证明出四边形1MBOD 为平行四边形，可得出
1//OB MD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角11C AD C --的余弦值，进而可求得其正弦值. 【详解】
（1）取AC 中点M ，连接MO 、BM 、1D M ，
11//AA CC Q 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，
O Q 、M 分别为11A C 、AC 中点，1//AM AO ∴且1AM AO =， 则四边形1
AAOM 为平行四边形，1//OM AA ∴且1OM AA =， 11//AA BB Q 且11AA BB =，1//OM BB ∴且1OM BB =，
所以，四边形1BB OM 为平行四边形，1//BM OD ∴且1BM OD =，
∴四边形1MBOB 为平行四边形，1//OB D M ∴，
1MD ⊂Q 平面1ACD ，OB ⊄平面1ACD ，//OB ∴平面1ACD ；
（2）以点1A 为坐标原点，11A D 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1A xyz -，则()2,2,2C 、()0,0,2A 、()12,2,0C 、()12,0,0D ，
()12,0,2AD =-u u u u r ，()2,2,0AC =u u u r ，()110,2,0DC =u u u u r ， 设平面1ACD 的法向量为()111,,m x y z =u r
，
由100
m AC m AD ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，得1111220220x y x z +=⎧⎨-=⎩，取11x =，则11y =-，11z =，()1,1,1m ∴=-u r ，
设平面11AD C 的法向量为()222,,n x y z =r
， 由11100
n D C n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，得22220220y x z =⎧⎨-=⎩，取21x =，则20y =，21z =，()1,0,1n ∴=r ，
6cos 332m n m n m n ⋅<⋅>===⨯⋅u r r
u r r Q u r r ，23sin ,1cos ,3
m n m n ∴<>=-<>=u r r u r r ，
因此，二面角11C AD C --3
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()2
2f x x x =+．
（1）解关于x 的不等式()()1g x f x x ≥--；
（2）如果对x R ∀∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围． 【答案】（1）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦（2）9,8
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】
试题分析：（1）由函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称可得()g x 的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对x R ∀∈，不等式()()1g x c f x x +≤--成立等价于2
12x x c -≤-，去绝对值得不等式组，
即可求得实数c 的取值范围.
试题解析：（1）∵函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称， ∴()()2
2g x f x x x =--=-+，
∴ 原不等式可化为2
12x x -≥，即212x x -≥或212x x -≤-，
解得不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦；
（2）不等式()()1g x c f x x +≤--可化为：2
12x x c -≤-，
即22212x c x x c -+≤-≤-，
即()()2
2210210x x c x x c ⎧+-+≥⎪⎨-+-≥⎪⎩
，则只需()()18101810c c ⎧++≤⎪⎨--≤⎪⎩， 解得，c 的取值范围是9,8⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦. 20．已知函数()f x x x a =+-.
（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；
（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}
13x x -<<（2）(][),11,-∞-+∞U 【解析】 【分析】
（1）把2a =代入，利用零点分段讨论法求解；
（2）()1f x ≥对任意x ∈R 成立转化为求()f x 的最小值可得.
【详解】
解：（1）当2a =时，不等式()4f x <可化为24x x +-<. 讨论：
①当0x <时，()24x x ---<，所以1x >-，所以10x -<<； ②当02x ≤≤时，()24x x --<，所以24<，所以02x ≤≤； ③当2x >时，()24x x +-<，所以3x <，所以23x <<. 综上，当2a =时，不等式()4f x <的解集为{}
13x x -<<. （2）因为()x x a x x a --≤+-， 所以x x a a +-≥.
又因为()f x x x a =+-，()1f x ≥对任意x ∈R 成立， 所以1a ≤， 所以1a ≤-或1a ≥.
故实数a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞U . 【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
21．已知直线1l ：y x b =+与抛物线2:2(0)C y px p =>切于点P ，直线2l ：2210x my m --+=过定
点Q ，且抛物线C 上的点到点Q （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；
（2）设直线2l 与抛物线C 交于(异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为12k k 、，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）24y x =，（1，2）；（2）存在，
83
【解析】 【分析】
（1）由直线2l 恒过点点及抛物线C 上的点到点Q 物线的方程，再由直线1l 与抛物线相切，即可求得切点的坐标；
（2）直线2l 与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA ，PB 的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值. 【详解】
（1）由题意，直线2l 变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q 的坐标为11,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点坐标,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由抛物线C 上的点到点Q 的距离与到其焦点F
，
可得QF ==，解得2p =或4p =-（舍去）， 故抛物线C 的方程为2
4y x =
又由2y 4x b y x
=+⎧⎨=⎩消去y 得22
2(2)0x b x b +-+=，
因为直线1l 与抛物线C 相切，所以()2
2
2240b b ⎡⎤∆=--=⎣⎦
，解得1b =， 此时1x =，所以点P 坐标为（1，2）
（2）设存在满足条件的实数λ，点1122(,),(,)A x y B x y ，
联立2
22104x my m y x
--+=⎧⎨
=⎩，消去x 得2
4220y my m --+=， 则12124,.22y y m y y m +==-，
依题意，可得2
(4)4(22)0m m ∆=-->，解得m<-1或1
2
m >， 由（1）知P （1，2）， 可得
1111111
222(2)
1123(21)12
y y y k x my m my m ---=
==
-+-+--，
同理可得2222(2)
23
y k my m -=
+-，
所以[]12121222121212243(1)()4(3)22)22)
232342(3)()(3)
my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m λ-++----=
+=+-+-+-++-（（
=
[]
222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3
m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+， 故存在实数λ=8
3
满足条件. 【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程
$y bx a =+，
其中1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，a y bx =-.
【答案】（1）不同的样本的个数为4
3
2418C C . （2）①分布列见解析，()E ξ9
7
=
. ②线性回归方程为$0.6533.60y x =+.可预测该同学的物理成绩为96分. 【解析】 【分析】
（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）7名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数ξ服从超几何分布，
故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩. 【详解】
（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为7
24442
⨯=名， 18名男同学中应抽取的人数为
7
18342
⨯=名， 故不同的样本的个数为4
3
2419C C .
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， ∴ξ的取值为0，1，2，3.
∴()3
4374
035C P C ξ===，()21433
711835C C C P ξ===， ()12433712235C C C P ξ===，()33375
31
3C C P ξ==
=. ∴ξ的分布列为
∴()0123353535357
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ②∵526
0.65912
b =
≈，830.657633.60a y b x =-⨯=-⨯=. ∴线性回归方程为$0.6533.60y x =+. 当96x =时，$0.659633.6096y =⨯+=. 可预测该同学的物理成绩为96分. 【点睛】
在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 23．在①23
16b b a =，②412b a =，③5348S S -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的
正整数k 存在，求k 的值；若不存在，说明理由.
设正数等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，{}n a 是等差数列，
__________，34b a =，12a =，35730a a a ++=，
是否存在正整数{}n b ，使得132k k k S S b +=++成立？
【答案】见解析 【解析】
【分析】
根据等差数列性质及12a =、35730a a a ++=，可求得等差数列{}n a 的通项公式，由34b a =即可求得3
b 的值；根据等式1
32k k k S S b +=++，变形可得132k k b b +=+，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数
列通项公式代入化简，检验是否存在正整数k 的值即可. 【详解】
∵在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，
∴510a =， ∴公差51
251
a a d -=
=-， ∴()112n a a n d n =+-=， ∴3
48b a ==，
若存在正整数k ，使得132k k k S S b +=++成立，即132k k b b +=+成立，设正数等比数列的公比为{}n b 的
公比为()0q q >， 若选①，∵2316b b a =，
∴24b =， ∴3
2
2b q b =
=， ∴2n
n b =， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.
若选②，∵41224b a ==，
∴4
3
3b q b ==， ∴383n n
b -=⋅，
∴23838332n n --⋅=⋅+， ∴332n -=方程无正整数解， ∴不存在正整数k 使得132k k b b +=+成立.
若选③，∵5348S S -=，
∴45
48b b +=，
∴28848q q +=，
∴260q q +-=，
∴解得2q =或3q =-（舍去），
∴2n n b =，
∴当5k =时，满足6
532b b =+成立.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n 项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.。