一类矩阵的特征值与特征向量之反问题

一类矩阵的特征值与特征向量之反问题
周慧倩
【期刊名称】《《洛阳师范学院学报》》
【年(卷),期】2019(038)008
【总页数】2页(P17-18)
【关键词】特征值; 特征向量; 对角矩阵
【作者】周慧倩
【作者单位】洛阳师范学院数学科学学院河南洛阳471934
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21; G642.0
线性代数中，已知矩阵求特征值和特征向量是重要而常见的问题，通常称为特征值反问题，这个领域的研究已经进行多年并得到许多结论.本文针对这一类问题进行讨论，当n阶矩阵有n个互不相同的特征值时，由特征值和特征向量可以得到矩阵的求法公式，并且可以证明该矩阵是唯一的.为方便起见，我们以3阶方阵为例. 已知3阶方阵A的三个特征值λ1,λ2,λ3互不相同，为分别对应于λ1,λ2,λ3的特征向量，求A，A是否唯一？
由于A的三个特征值互不相同，可知A相似于对角矩阵除了对角线上的元素顺序外唯一确定.因此有可逆矩阵使
P-1A P=Λ
从而
A=PΛP-1
(1)
因此矩阵A可以通过上述矩阵乘积求出，且A是唯一的.
下面分三种情况证明.
1)当Λ确定时，A是唯一的.因为若有矩阵B也满足P-1BP=Λ,则
P-1AP=P-1BP
于是
P-1(A-B)P=O
从而
A-B=POP-1=O
因此
A=B
即A是唯一的.
2)当Λ主对角元素顺序变化时，P中三列的顺序也随之变化，但A保持不变.事实上，若
设则
(2)
若变换Λ主对角元素顺序，不妨令
那么
此时
不变.
3)由于分别对应于每个特征值λ1,λ2,λ3的特征向量并不唯一，其中k1,k2,k3为任意常数)也是对应于λ1,λ2,λ3的特征向量.当P中某列取时，不妨设
此时
A=PΛP-1
仍不变.
根据以上的讨论我们知道，当3阶矩阵有3个互不相同的特征值时，已知特征值和特征向量的情况下，该矩阵可以通过公式(1)唯一确定地求出.
不难断定，推广至n阶有同样的结论.
参考文献
【相关文献】
[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社,2011.
[2] 王萼芳.高等代数[M].5版.北京：高等教育出版社,2013.。