江西省吉安市春风中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

江西省吉安市春风中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且
，则实数a的值等于（）
A. 2或10
B. 4或8
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
由圆的性质可得出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数的值.
【详解】由可得.
在中，，，
可得点到直线，即直线的距离为.
所以，解得或.故选B.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便.
2. 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积．
【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，
一个四棱锥体积V1=×1×=，
故八面体体积V=2V1=．
故选B．
3. 函数y=2x﹣x2的图象大致是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D
【解答】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，
由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，
所以y=2x﹣x2=0，有3个解，
即函数y=2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，
当x=﹣3时，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D
故选：A
4. 二项式（﹣）8的展开式中常数项是（）
A．28 B．﹣7 C．7 D．﹣28
参考答案：
C
【考点】二项式系数的性质．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：二项式（﹣）8的展开式的通项公式为 T r+1=??（﹣1）r?
=（﹣1）r??2r﹣8?，
令 8﹣=0，解得 r=6，故展开式中常数项是?2﹣2=7，
故选C．
5. 已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质；直线的斜率．
【专题】计算题．
【分析】根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设出A，B和P的坐标，把A，B点坐标代入双曲线方程可求得直线PA和直线PB的斜率之积，进而求得a和b的关系，进而根据a，b和c的关系求得a和c的关系即双曲线的离心率．
【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），
则，，．
故选D
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线的对称性质，考查了学生对双曲线基础知识的全面掌握．
6. 若的三个内角满足,则【】.
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能
是钝角三角形
参考答案：
C
因为，所以，不妨设，由余弦
定理得：，所以角C为钝角，所以一定是钝角三角形。

7. 已知函数在单调递减，则的取值范围( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
8. 某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800
，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为
18，抽到的40人中，编号落在区间[1，200]的人做试卷A，编号落在[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为( )
(A)10 (B)12 (C)18 (D)28
参考答案：
B
9. 给出30个数：1,2,4,7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A. B. . D.
参考答案：
D
略
10. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )
(A)．所有实数的平方都不是正数（B）．有的实数的平方是正
数
（C）．至少有一个实数的平方是正数（D）．至少有一个实数的平方不是正数
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m的取值范围是__________．
参考答案：
略
12. 已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…8}，均有∈{2，1，﹣ }．（1）记S=++…+，则S
的最小值为．
（2）数列{a n }的个数为．
参考答案：
6，491。

【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】令，则对每个符合条件的数列{a n}，满足b i===1，且
b i∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．由此能求出结果．
【解答】解：令，则对每个符合条件的数列{a n}，
满足b i===1，且b i∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．
记符合条件的数列{b n}的个数为N，
由题意知b i（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1，
且k的所有可能取值为0，1，2．
（1）对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．
（2）N=1++=491．
【点评】本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 13. (几何证明选做题)如图，直线与圆
相切于点
，割线
经过圆心
，弦
⊥
于点
，
，
，则
.
参考答案：
略 14. 已知
是奇函数,
则
的值
是 .
参考答案：
2
15. P
为内一点，且,则与面积的比为 。

参考答案：
16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且，若
，则S n 取最小值时
n =__________.
参考答案：
10 【分析】
由题意结合递推关系可得，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得
取最
小值时的值.
【详解】由，
，
两式作差可得：，即
，
由
，
，
两式作差可得：，
则
，
，故，
进一步可得：， 又
，则
， 且，
则
取最小值时
.
【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17. 三棱锥
中，
平面
且
，
是边长为
的等边三角形，则该三棱锥
外接球的表面积为 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=2cos 2
x+sin （2x ﹣
）
（1）求函数f （x ）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；
（2）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）=，b+c=2，求实数a 的取值范围．
参考答案：
【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性． 【分析】（1）化简可得解析式f （x ）=sin （2x+
）+1，从而可求函数f （x ）的单调增区间；函数
f （x ）的最大值，并写出f （x ）取最大值时x 的取值集合；
（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知b c≤1，即a2≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，
2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．
当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．
所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．…
（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=．
∵A∈（0，π），∴2A+=，
∴A=．
在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc．
由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．
∴当b=c=1时，取等号．
又由b+c＞a得a＜2．
所以a的取值范围是[1，2 ）．…
19. 在2013年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．
(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；
(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．
参考答案：略
20. 在平面直角坐标系中中，点为动点，已知点,直线与
的斜率之积为定值
（1）求动点的轨迹E的方程；
（2）若F，过点F的直线交轨迹E于M,N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程
参考答案：
解（1）由题意=，
整理得，所以所求轨迹E的方程为.
(2)当直线与轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；
当直线与轴垂直时，：，此时M(),N,以MN为对角线的正方形的另外两个顶点，不合题意；
当直线：，M，N
MN的中点Q
由消得
所以Q，
则线段MN的中垂线m的方程为即为
，则直线m与轴的交点R为(0，)
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴当且仅当时，即即
由，代入上式得
综上所求直线方程为或
21. （本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分）
，，，平面⊥平面，是线段上一点，，．
（Ⅰ）证明：⊥平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
22. （本小题满分12分）
已知数列中，.
（Ⅰ）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设，记其前项和为，若不等式对一切
恒成
立，求的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）由知，…………… 3分
又，所以是以为首项，为公比的等比数列…… 4分
所以故…… 6分
（Ⅱ）……………………………… 7分
所以
……………… 8分
两式相减得
所以…………………………………………………… 9分
由对一切恒成立，即对一切恒成立，
所以对一切恒成立……………………………… 10分
设，易知是递增函数………………………………11分
所以，即. ………………………………12 分。