安徽省淮北市18学年高二数学上学期期中试题文180105016

2017-2018学年度第一学期期中考试
高二数学文科试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.．
1.在△ABC 中，“o
60=A ”是“2
1
cos =
A ”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，
则z ＝2x ＋y 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3.在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝( )
A. 2 B ．2 2 C ．2 D. 3
4.等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )
A ． 0
B ．－24
C ．12
D ．24
5.已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
6.等差数列{a n }满足，
92742
724=++a a a a 则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15
7.已知2x ＋8
y
＝1(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
8.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为
( )
A ．3
B ．3-
C ．24-
D ．8
9.在△ABC 中，已知sin 2
B －sin 2
C －sin 2
A ＝3sin A sin C ，则角
B 的大小为( )
A ．120°
B ．30°
C ．150°
D ．60°
10.已知点A (2，1)和点B (－2，3)，若直线3x －2y ＋a ＝0与线段AB 有交点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－4)∪(12，＋∞)
B ．(－∞，－4]∪[12，＋∞)
C ．(－4，12)
D ．[－4，12]
11.已知命题p ：关于x 的方程042
=+-ax x 有实根；命题q ：关于x 的函数4
22++=ax x y 在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)
B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)
C ．(－∞，－12)∪(－4,4)
D ．[－12，＋∞)
12.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足
1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A ．bc (b ＋c )>8 B ．ab (a ＋b )>162 C ．6≤abc ≤12 D ．12≤abc ≤24
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题．．纸相应位置上．．．．．．.．
13.在ABC ∆中,三内角,,A B C 依次成等差数列,且AC =,则ABC ∆外接圆面积为
▲ .
14.由命题“022,2
≤++∈m x x R x 存在”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，
则实数a 的值是 ▲ .
15.已知关于x 的不等式240x x t -+<的解集为(1,)m ，则实数m = ▲ ．
16.在数列{}n a 中，11a =，23a =，且21n n n a a a ++=-（*
∈N n ），则=2017a ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题纸指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知不等式
1x －1
<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2
＋(a －1)x －a >0的解集记为q .若⌝q 是⌝p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
在ABC ∆中， 2
2
2
a c
b +=+.
（Ⅰ）求B ∠的大小；
cos A C + 的最大值.
19.（本小题满分12分）
已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且满足3a n ＝2S n ＋n (n ∈N *
)． (Ⅰ)求证：数列}2
1{a n +为等比数列； (Ⅱ)记T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，求T n 的表达式．
20.（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.
(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
21.（本小题满分12分）
若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，
（Ⅰ）求
x
x
y +的最大值； （Ⅱ）求22y x +的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令()()
1
12n n n n n a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
参考答案
一、选择题 1．C 2．B 3．A
4．B 5．B 6． D 7．D 8．A 9．C 10．D 11．C 12．A
由sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋1
2，得sin 2A ＋sin(A －B ＋C )－sin(C －A －B )
＝12
， 即sin 2A ＋sin[A ＋(C －B )]＋sin[A ＋(B －C )]＝1
2，即2sin A cos A ＋2sin A cos(B －C )
＝12
， 即sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝14，即sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝1
4.
化简，得 sin A sin B sin C ＝1
8
.
设△ABC 外切圆的半径为R ，由1≤S ≤2，得1≤12ab sin C ≤2，得1≤1
2
×2R sin A ×2R sin
B sin
C ≤2，故1≤R 2
4
≤2.因为R >0，所以2≤R ≤2 2.故abc ＝2R sin A ×2R sin B ×2R sin C
＝R 3
∈[8，162]，即8≤abc ≤162，从而可以排除选项C 和D.对于选项A ：bc (b ＋c )>abc ≥8，即bc (b ＋c )>8，故A 正确；对于选项B ：ab (a ＋b )>abc ≥8，即ab (a ＋b )>8，故B 错误．故选A.
二、填空题
13．π 14．
1
2
15．3 16．1 三、解答题
17．解：⌝q 是⌝p 的充分不必要条件等价于p 是q 的充分不必要条件，等价于不等式
1x －1
<1的解集是不等式x 2
＋(a －1)x －a >0解集的真子集．
不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1
>0，解得x >2或x <1.不等式x 2
＋(a －1)x －a >0
可以化为(x －1)(x ＋a )>0.当－a ≤1时，不等式的解集是x >1或x <－a ，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是x <1或x >－a ，所以－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.
18．解：（Ⅰ） ∵222a c b +=
∴222a c b +-=
∴222cos 2a c b B ac +-===
∴π4
B ∠=
(Ⅱ)∵πA B C ++=
∴3π4
A C +=
cos A C +
()A A A =++
A A =
+πsin()4A =+
∵3
π4
A C +=
∴3
(0,π)4
A ∈
∴ππ
(,π)44
A +
∈ ∴π
sin()4
A +最大值为1
上式最大值为1
19.解：解(Ⅰ)证明：n ＝1时，3a 1＝2S 1＋1＝2a 1＋1， 所以a 1＝1.
当n ≥2时，由3a n ＝2S n ＋n ，① 得3a n －1＝2S n －1＋n －1，②
①－②得3a n －3a n －1＝2S n ＋n －2S n －1－n ＋1＝2(S n －S n －1)＋1＝2a n ＋1， 即a n ＝3a n －1＋1，所以a n ＋12＝3a n －1＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋12， 又a 1＋12＝3
2
≠0，
所以⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为3
2，公比为3的等比数列．
(Ⅱ)由(1)得a n ＋12＝32×3n －1
，
即a n ＝32×3n －1
－12
，将其代入①得
S n ＝34×3n －14
(2n ＋3)，
所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n
＝34(3＋32＋33＋ (3)
)－14(5＋7＋…＋2n ＋3)＝34×3（1－3n
）1－3－n （n ＋4）4 ＝98(3n －1)－n （n ＋4）4.
20．解:（Ⅰ）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2
303060A C A C A C C
A A A A A ︒
︒︒︒
⇔=++⇔-=⇔-=
⇔-=⇔=
（Ⅱ）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 222
2cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=
2==∴c b
21．解：（Ⅰ）因为
1+=+x y x x y ，且,3max =）（x y 故4max =+）（x
x
y . （Ⅱ）]10,2[22∈+y x
.
22．(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=， 所以111=a ，当2≥n 时，
56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，
又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．
又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21． 当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722， 解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132
+=-=
n d
a b n n ． (Ⅱ)由11
12)33()
33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n n
n n n n n n n n n b a c ， 于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ， 两边同乘以２，得
21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，
两式相减，得
214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T
222
2)33(2
1)
21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n
222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．。