高一数学解方程与数系的扩充试题

高一数学解方程与数系的扩充试题
1.（2013•赤坎区模拟）已知集合M={x|﹣1≤x≤1，x∈R}，i为虚数单位，a=i2．则正确的是（）A．a∈M B．{a}∈M C．{a}⊄M D．A∉M
【答案】A
【解析】由虚数单位i的运算性质求得a，再由元素与集合间的关系得答案．
解：∵a=i2=﹣1，
且集合M={x|﹣1≤x≤1，x∈R}，
∴a∈M．
故选：A．
点评：本题考查了元素与集合间的关系，考查了虚数单位i的性质，是基础题．
2.（2011•福建）i是虚数单位1+i3等于（）
A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i
【答案】D
【解析】由复数单位的定义，我们易得i2=﹣1，代入即可得到1+i3的值．
解：∵i是虚数单位
∴i2=﹣1
1+i3=1﹣i
故选D
点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=﹣1是解答本类问题的关键．
3.（2011•潍坊二模）i2011等于（）
A．1B．﹣1C．i D．﹣i
【答案】D
【解析】要求的式子即 i4×502+3，根据虚数单位i的幂运算性质化为 i3，从而求得结果．
解：i2011=i4×502+3=i3=﹣i，
故选D．
点评：本题主要考查虚数单位i的幂运算性质的应用，属于基础题．
4.（2011•揭阳一模）已知集合A={﹣1，0，1}，则（）
A．1+i∈A B．1+i2∈A C．1+i3∈A D．1+i4∈A
【答案】B
【解析】根据虚数的单位的性质，知虚数的单位的平方是﹣1，得到两个数字之和属于集合，得到结果
解：∵i2=﹣1，
∴1+i2=0，
∵0∈A，
∴1+i2∈A，
故选B．
点评：本题考查虚数的单位的性质以及元素与集合关系的判断，本题解题的关键是求出要判断的元素的结果，本题是一个基础题．
5. （2009•安徽）i 是虚数单位，i （1+i ）等于（ ）
A ．1+i
B ．﹣1﹣i
C ．1﹣i
D ．﹣1+i
【答案】D
【解析】两个复数相乘，类似于单项式乘以多项式的乘法法则，用i 去乘以1+i 的每一项，得到积，把虚数单位的乘法再算出结果．
解：i （1+i ）=i+i 2=﹣1+i ．
故选D ．
点评：本题考查复数的乘法运算，考查复数的乘方运算，是一个基础题，复数的这种问题通常出现在大型考试的前几个选择和填空中．
6. （2009•广东）下列n 的取值中，使i n =1（i 是虚数单位）的是（ ）
A ．n=2
B ．n=3
C ．n=4
D ．n=5
【答案】C
【解析】要使的虚数单位的n 次方等于1，则n 只能是4的整数倍，在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．
解：∵要使i n ；=1，
则n 必须是4的整数倍，
在下列的选项中只有C 符合题意，
故选C
点评：本题考查虚数单位及性质，是一个基础题，题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答．
7. （2009•聊城一模）已知M={y|y=i 2n ，n ∈N *}（其中i 为虚数单位），
，P={x|x 2＞1，x ∈R}，则以下关系中正确的是（ ）
A ．M ∪N=P
B ．∁R M=P ∪N
C ．P∩N=M
D ．∁R （P∩N ）=∅
【答案】B
【解析】根据虚数单位i 的幂运算性质求得M ，解分式不等式求得N ，解一元二次不等式求得P ，可得集合M 、N 、
P 间的关系．
解：由于已知M={y|y=i 2n ，n ∈N *}={y|y=（﹣1）n }={1，﹣1}，
={x|＞0}={x|﹣1＜x ＜1}， P={x|x 2＞1，x ∈R}={x|x ＞1，或x ＜﹣1}，故有∁R M=P ∪N ，
故选B ．
点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．
8. （2009•天河区一模）等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣i
D ．i
【答案】C
【解析】欲求原式的值，即须化去分母，利用虚数单位i 及其性质分子分母同乘以i 即可． 解：∵=
．
故选C ．
点评：本题主要考查了虚数单位i及其性质、复数的运算，属于基础题．
9.（2009•大连二模）已知复数z=（1+i）2+i2009，则复数z的虚部是（）
A．1B．2i C．﹣1D．3
【答案】D
【解析】利用复数的运算的法则和周期性i4=1即可得出．
解：∵i4=1，∴i2009=（i4）502•i=i，
∴复数z=（1+i）2+i2009=1+2i+i2+i=3i，
故复数z的虚部是3．
故选D．
点评：熟练掌握复数的运算的法则和周期性i4=1是解题的关键．
10.（2005•温州一模）用i表示虚数单位，则1+i+i2+…+i2005=（）
A．0B．1C．i D．1+i
【答案】D
【解析】根据所给的复数的形式，看根据虚数单位的性质看出复数式中每四项之和等于0，则用2015除以4看出余数是1，在复数等于第一项，得到结果．
解：∵i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0
∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2005=1+i
故选D
点评：本题考查复数单位的乘方的意义，本题解题的关键是看出这些数字的和具有周期性，看出周期得到结果，本题是一个基础题．。