八年级期末试卷易错题(Word版 含答案)

八年级期末试卷易错题（Word版含答案）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，
且∠EAF＝1
2
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且
∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．
【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】
试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得
EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作
∠CAD=∠BAM，截取AD=A M，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．
解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．
证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，
在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
又∵∠EAF＝1
2
∠BAD，
∴∠F AG＝∠F AD＋∠DAG＝∠F AD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－1
2
∠BAD＝
1
2
∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．
又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．
∴EF＝BE＋FD．
（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝1
2
∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋FB成立．
∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.
答：此时两舰艇之间的距离为210海里；
（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，
在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，
则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，
∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，
∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，
又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，
∴对于四边形AMCD符合探索延伸，
则ND=MN，
∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，
∴MN=ND=10．
2．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）
.求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明
△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.
试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，
则△ADF为等边三角形
∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，
∠DEC+∠EDB=60°，
∠DCB+∠DCF=60°，
∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，
在△DEB和△CDF中，
120
EBD DFC
EDB DCF
DE CD
，
，
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DEB≌△CDF，
∴BD=DF ，
∴BE=AD .
(2). EB=AD 成立；
理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：
同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴△DBE ≌△CFD （AAS ），
∴EB=DF ，
∴EB=AD.
点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
3．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．
（1）填空：ABC ∆的面积等于 ；
（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；
（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．
【答案】（1）212；（2）证明见解析；（3）32 【解析】
【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=
1()2
AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．
【详解】
解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==， ∴112137222
ABC S AC BC =
⨯=⨯⨯=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE 是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM 与△DEN 中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE
∴△AEM ≌△DEN （AAS ）
∴ME=NE
∴点E 在∠ACB 的平分线上，
即CE 是ACB ∠的平分线
（3）由（2）可知，点E 在∠ACB 的平分线上，
∴当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线， ∵△AEM ≌△DEN
∴AM=DN ，
即AC-CM=CN-CD
在Rt △CME 与Rt △CNE 中，CE=CE ，ME=NE ，
∴Rt △CME ≌Rt △CNE （HL ）
∴CM=CN
∴CN=1()2
AC CD +， 又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°， ∴CE=22()CN AC CD =
+， 当AC=3，CD=CO=1时，
CE=2(31)222
+= 当AC=3，CD=CB=7时， CE=
2(37)522+= ∴点E 的运动路程为：522232-=，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
4．综合实践
如图①，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为点D E 、，2.5, 1.7AD cm DE cm ==．
（1）求BE 的长；
（2）将CE 所在直线旋转到ABC ∆的外部，如图②，猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）如图③，将图①中的条件改为：在ABC ∆中，,AC BC D C E =、、三点在同一直线上，并且BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角．猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)0.8cm;
(2)DE=AD+BE;
(3)DE=AD+BE ，证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)本小题只要先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，再根据
2.5, 1.7AD cm DE cm ==，CD CE DE =-，易求出BE 的值；
(2)先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，由图②ED=EC+CD ，等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系；
（３）本题先证明EBC DCA ∠=∠，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅，从而得到,BE CD EC AD ==，再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系．
【详解】
解：(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥
∴90ADC E ︒∠=∠=
∴90ACD DAC ︒∠+∠=
∵90ACB ︒∠=
∴90ACD BCE ︒∠+∠=
∴ACD BCE ∠=∠
在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE
AC BC ︒
⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACD CBE ≅
∴,AD CE CD BE ==
又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==， 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =
(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥
∴90ADC E ︒∠=∠=
∴90ACD DAC ︒∠+∠=
∴90ACB ︒∠=
∴90ACD BCE ︒∠+∠=
∴ACD BCE ∠=∠
在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE AC BC ︒
⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACD CBE ≅
∴,AD CE CD BE ==
又∵ED EC CD =+
∴ED AD BE =+
(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠=
∴180BCE ACD a ︒∠+∠=-
180BCE BCE a ︒∠+∠=-
∴ACD BCE ∠=∠
在ACD 与CBE △中， ADC E a ACD BCE AC BC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACD CBE ≅
∴,AD CE CD BE ==
又∵ED EC CD =+
∴ED AD BE =+
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．
5．如图1，已知CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，D 为CF 上一点，且DA ＝DB ．
（1）求证：∠ACB ＝∠ADB ；
（2）求证：AC +BC ＜2BD ；
（3）如图2，若∠ECF ＝60°，证明：AC ＝BC +CD ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ，得出∠DAM=∠DBN ，则结论得证；
（2）证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ，可得CM=CN ，得出AC+BC=2BN ，又BN ＜BD ，则结论得证；
（3）在AC 上取一点P ，使CP=CD ，连接DP ，可证明△ADP ≌△BDC ，得出AP=BC ，则结论可得出．
【详解】
（1）证明：过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，
∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，
∴DM ＝DN ，
在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，
DA DB DM DN =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），
∴∠DAM ＝∠DBN ，
∴∠ACB ＝∠ADB ；
（2）证明：由（1）知DM ＝DN ，
在Rt △DMC 和Rt △DNC 中，
DC DC DM DN =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △DMC ≌Rt △DNC （HL ），
∴CM ＝CN ，
∴AC +BC ＝AM +CM +BC ＝AM +CN +BC ＝AM +BN ，
又∵AM ＝BN ，
∴AC +BC ＝2BN ，
∵BN ＜BD ，
∴AC +BC ＜2BD ．
（3）由（1）知∠CAD ＝∠CBD ，在AC 上取一点P ，使CP ＝CD ，
连接DP ，
∵∠ECF ＝60°，∠ACF ＝60°，
∴△CDP 为等边三角形，
∴DP ＝DC ，∠DPC ＝60°，
∴∠APD ＝120°，
∵∠ECF ＝60°，
∴∠BCD ＝120°，
在△ADP 和△BDC 中，
APD BCD PAD CBD DA DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADP ≌△BDC （AAS ），
∴AP ＝BC ，
∵AC ＝AP +CP ，
∴AC ＝BC +CP ，
∴AC ＝BC +CD ．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1）．
（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长；
（2）若Rt △ABC 中，点C 在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在点P ，使PA =PB 且PA +PB 最小？若存在，就求出点P 的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．
【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．
【解析】
【分析】
（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；
（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；
（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，
由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5
（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．
②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．
③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．
（3）不存在这样的点P．
作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，
作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，
由图可以看出两线交于第一象限．
∴不存在这样的点P．
【点睛】
本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．
7．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.
（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；
（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.
图1. 图2. 图3.
【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；
（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；
（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得
Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.
【详解】
解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =
AB AC ∴=
BAD CAD ∴∠=∠；
图1
（2）解：在图2中，连接CE
ED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形
60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=
由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠
BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=
图2
（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N
'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==
AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=
在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=
令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-
同理12
FN EF m ==，2124CF FG m ==- 在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆ BM CN ∴=
BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+
解得1m = 8CF ∴=
图3
故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =.
【点睛】
本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.
8．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.
问题：如图1，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，以AD 为腰作等腰ADE ，且满足90DAE ∠=︒，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，试探究BC 与CF 之间的数量关系.
图1
发现：（1）BC 与CF 之间的数量关系为 .
探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点（除B 、C 外）时，其他条件不变，试猜想BC 与CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
图2
拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.
备用图
【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；
（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；
（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．
【详解】
解：（1）BC CF =.
∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B F ∴∠+∠=︒，
45F ∴∠=︒，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（2）BC CF =. 证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒， 90B F ∴∠+∠=︒，
45F ∴∠=︒，
B F ∴∠=∠，
BC CF ∴=.
（3）BCF 是等腰直角三角形.
提示：如图，
ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，
AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.
90DAE ∠=︒，
DAE BAC ∴=∠∠，
DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，
BAD CAE ∴∠=∠.
ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，
AD AE ∴=.
在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴≌，
45ACE B ∴∠=∠=︒.
45ACB =︒∠，
90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
90B BFC ∴∠+∠=︒，
45BFC ∴∠=︒，
B BF
C ∴∠=∠，
BCF
∴是等腰三角形，
∠=︒，
90
BCF
∴是等腰直角三角形.
BCF
【点睛】
本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数
（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.
（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.
【解析】
【分析】
（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质
及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】
（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，
如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，
∴∠C=90°-23°=67°，
∵MN垂直平分AB，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠BAD=∠ABC=23°，
∴∠ADC=2∠ABC=46°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，
∴∠DAC=∠C，
∴△DAC是等腰三角形，
同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，
图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.
（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，
∵点O是三角形垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴∠BAD=∠CAD=22.5°，
∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，
∴∠OBC=∠OCB=45°.
（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，
∴∠ABP=∠A=30°，
∴∠APB=120°，
∵PB=PQ，PQ=CQ，
∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，
∴∠PBQ=2∠C，
∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，
解得：∠C=40°.
②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，
∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，
∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，
∴180°-4∠C+∠C=120°，
解得：∠C=20°，
③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，
∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=1
2
（180°-∠C），
∴∠PBQ=1
4
（180°-∠C），
∴1
4
（180°-∠C）+∠C=120°，
解得：∠C=100°.
④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,
又∵∠C+∠PBQ=120°，
∴∠C=80°；
⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，
∴∠APB=1
2
（180°-30°）=75°，
∵BP=BQ，PQ=CQ，
∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，
∴∠BQP=2∠C，
∴∠PBQ=180°-4∠C，
∴∠C+180°-4∠C=75°，
解得：∠C=35°.
⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，
∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=1
2
（180°-∠C），
∴∠PBC=1
4
（180°-∠C），
∴1
4
（180°-∠C）+∠C=75°，
解得：∠C=40°.
⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；
⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，
∵AB=BP，∠A=30°，
∴∠ABP=∠APB=75°，
又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，
且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，
∴3∠C=75°，
∴∠C=25°；
⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，
∵AB=BP，
∴∠BPA=∠A=30°，
∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，
∴2∠C+∠C=30°，
解得：∠C=10°.
⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，
∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，
∴1
2
∠C+∠C=30°，
解得：∠C=20°.
综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】
本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.
10．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得
∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．
试题解析：
（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
又∵∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEB=∠EAC ，
∴AC ∥BE ．
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE ≌△ADC 是解决本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2
(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：
22222
111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题： （1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________；
（2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；
（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．
①正数②非负数 ③ 0
【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①
【解析】
【分析】
（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】
解：（1）281x x +-
=2816116x x ++--
2(4)17x +-.
（2）原式=22118x x -+--
=2(1)9x --
=(13)(13)x x -+--
=(2)(4)x x +-．
（3）222416x y x y +--+
=()()
22214411x x y y -++-++
=()()221211x y -+-+
＞11
故答案为①.
【点睛】
本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
12．（阅读材料）
因式分解：()()221x y x y ++++．
解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．
再将“A ”还原，原式()21x y =++．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
（问题解决）
（1）因式分解：()()2154x y x y +-+-；
（2）因式分解：()()44a b a b ++-+；
（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()
21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．
【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()2
2a b +-；（3）见解析. 【解析】
【分析】
（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为()()
223231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】
（1）()()[][]21541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2244()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-； （3）原式()()
223231n n n n =++++
()()2223231n n n n =++++ ()2
231n n =++． ∵n 为正整数，
∴231n n ++为正整数．
∴代数()()()
21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方． 【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
13．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
14．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如：
()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.
22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.
试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=
（2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除.
【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．
（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案.
【详解】
（1）原式=()()222a ab b
ac bc ++++
=()()2a b c a b +++
=()()a b a b c +++
（2）22(5)(1)n n +--
=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--
=()624n +
=()122n +
∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.
【点睛】
本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.
15．观察以下等式：
（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1
（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27
（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216
．．．．．． ．．．．．．
(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.
(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）
【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．
【解析】
【分析】
（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）利用多项式与多项
式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．
【详解】
（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；
（2）（a+b）（a2-ab+b2）
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3+b3；
（3）（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）
=x3+y3-（x3-y3）
=2y3．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？
（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．
【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32台，购买乙种空调18台
【解析】
【分析】
（1）可设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可；（2）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（50﹣n）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，求出n的范围，即可确定出购买方案；
（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．
【详解】
解：（1）设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有
20x ＝400.3x ×2， 解得x ＝0.1，
x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．
答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；
（2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，依题意有
0.10.4(50)1031s
n n n +-⎧⎨⎩， 解得31≤n≤33
13
， ∵n 为整数， ∴n 取31，32，33，
∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；
（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，
（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520
＝7720﹣2520
＝5200（元），
不符合题意，舍去；
②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，
（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520
＝7520﹣2520
＝5000（元），
符合题意；
③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，
（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520
＝7320﹣2520
＝4800（元），
不符合题意，舍去．
综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
17．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。

（1）甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？（用字母m 、n 表示）
（2）谁的购买方式比较合算?
【答案】（1）
2m n +元/千克；2mn m n +元/千克；（2）乙的购货方式合算． 【解析】
【分析】
（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；
（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算．
【详解】
（1）根据题意列得：甲采购员两次购买饲料的平均单价为800()16002
m n m n ++=元/千克； 乙采购员两次购买饲料的平均单价为16002800800mn m n m n
=++元/千克； （2）22
2()4()22()2()
m n mn m n mn m n m n m n m n ++---==+++， ∵（m-n ）2≥0，2（m+n ）＞0， ∴202m n mn m n +-+，即22m n mn m n
++， 则乙的购货方式合算．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
18．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x 小时，乙单独完成需要y 小时，丙单独完成需要z 小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a 倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b 倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c 倍，求
111111
a b c +++++的值．
【答案】（1）甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的xy xz
yz
+倍；（2）1 【解析】
分析：（1）先求出乙丙合作完成时间，再用甲单独完成的时间除以乙丙合作完成时间即可求解；
（2）根据“甲单独作完成的天数为乙丙合作完成天数的a 倍”，可得x =1
1a
y
z
+
，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得11
a +=yz xy yz xz ++；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的
b 倍”，可得11
b +=xz xy yz xz ++；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的
c 倍”，可得11
c +=xy xy yz xz ++，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果．
详解：（1）x ÷[1÷（1y +1
z ）]
=x ÷[1÷y z
yz +]
=x ÷yz
y z
+
=
xy xz
yz
+． 答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的
xy xz
yz
+倍； （2）由题意得x =1
1a
y
z +
①，y =11b
x z
+
②，z =11c
x y +③．
由①得a =x y +x z ，∴a +1=x y +x z +1，∴1
1
a +=1
1x x y z
++=yz xy yz xz ++； 同理，由②得11b +=xz xy yz xz
++； 由③得11
c +=xy xy yz xz ++； ∴
111111
a b c +++++=yz xy yz xz +++xz xy yz xz +++
xy xy yz xz ++=xy yz xz xy yz xz ++++=1． 点睛：本题主要考查分式方程在工程问题中的应用及代数式求值．工程问题的基本关系式
为：工作总量=工作效率×工作时间．注意两人合作的工作效率等于两人单独作的工作效率之和．本题难点在于将列出的方程变形，用含有x 、y 、z 的代数式分别表示
11
a +、11
b +、11
c +的值．
19．探索：（1）如果32311
x m
x x -=+++，则m=_______； （2）如果
53522
x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果
ax b m
a x c x c
+=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式
43
1
x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2 【解析】 试题解析：
()
323(1)55133.1111
x x m
x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-
()
535(2)1313255.2222x x m
x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-
总结：
().ax b a x c b ac b ac m
a a x c x c x c x c
+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-
()
434(1)11
34.111
x x x x x --+==+--- 又∵代数式
43
1
x x --的值为整数， 1
1
x ∴
-为整数， 11x ∴-=或11x -=- 2x ∴=或 0.
20．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场定价有两种方案：方案①将该商品提价20%；方案②将该商品提价1元。

某顾。