高中数学论文：二项式定理中的数学思想方法全国通用

二项式定理中的数学思想方法
现代化的教育教学理念，要求学生能“综合与灵活的应用所学数学知识、思想方法，进行独立的思考、探索和研究问题，提出解决问题的思路，创造性地把问题解决好”；因此我们学习每一部分知识时，要善于回味、归纳、总结规律，从而提炼出精华的数学思想方法，将知识转化为能力，使所学知识得以升华．笔者仅就二项式定理中数学思想方法的感悟，写给读者，希望能够起抛砖引玉的作用．归纳如下：
一、函数与方程思想
例1 已知22012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++ ，
若12129n a a a n -+++=- ，求n ．
解析：0111a n =+++= ，1n a =．令1x =，
则230122222n n a a a a ++++=++++ ，
112102(12)2(21)12312
n n n n n a a a a a n n +--+++=--=---=--- ∴， 12329n n n +--=-∴，4n =∴．
点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作x 的函数()f x ，其系数问题与函数值(1)f 的展开式相联系．
二、转化与化归思想
例2 设a ，b 是两个整数，若存在整数d ，使得b ad =，称“a 整除b ”，记作|a b ．给出命题：①22|(1)n n ++；②10100|(991)-；③45|(21)()n n *-∈N ，其中正确命题的题号是 ．
解析：对于①，2(1)n n n n +=+∵必为偶数，
21n n ++∴为奇数，即22|(1)n n ++不正确．
对于②，1010010199101010(991)(1001)1100100100C C C -=--=-+- ···，∴②正确．
对于③，4101112(151)1151515n n n n n n n n C C C ---=+-=+++ ···，
∴③正确，故填②③．
点评：利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，转化成便于操作的二项式的结构，这是解决问题的关键，然后再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了．
例3 （上海高考题改编）求和：
2
3
4
1012311111(1)11111n n n n n n n n a a a a a C C C C C a a a a a
+------+-++------ ．
分析：这是一个与组合数有关的式子求和问题，通常进行合理变形，利用组合数的性质，转化为二项式的结构，再逆用二项式定理，将式子的值求出．
解：原式
01230122331[(1)][(1)]11n n n n n n n n n n n n n n n a C C C C C C aC a C a C a C a a
-+-++---+-++--- 1(1)(11)(1)111
n
n n a a a a a a a -=---=---． 点评：本例体现了分组求和，创设二项式定理的结构形式，逆用、活用二项式定理的思想；其中第二组的和可以推广为：若数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则：
0123123411(1)(1)n n n n n n n n n a C a C a C a C a C a q +-+-++-=- ．
0123123411(1)n n n n n n n n a C a C a C a C a C a q ++++++=+ ．
例4 求证：132(2)(2)n n n n n -*>+∈N ，≥．
证明：01122113(21)222222(2)n n n n n n n n n n n n n C C C C n n ----=+=++++>+=+ ·．
点评：本题是一个与自然数有关的不等式问题，当然可以考虑用数学归纳法证明，但是与(1)n x +的展开式进行对照，只要令2x =，所证不等式的左边就化为二项式展开式的结构，再进行合理的取舍，问题获证，这不失为一个快捷方法．
三、整体思想
例5 在38
12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，哪一项的二项式系数最大？哪一项的系数最大？ 解析：解决这类问题应注意二项式系数与项的系数的区别，令1r r A A +，分别为展开式的
第r 项和第1r +项的系数，仿照研究二项式系数的变化规律的方法，我们来研究本展开式各项系数的变化规律．
1812r r
r A C +⎛⎫= ⎪⎝⎭∵·，11812r r r A C --⎛⎫= ⎪⎝⎭·，
8111818!192!(8)!28!21(1)!(81)!2r
r r r r r C A r r r A r C r r +--⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⎛⎫ ⎪--+⎝⎭··∵·． ∵当13r ≤≤时，11r r A A +≥，即1r r A A +≥，当38r <≤时，11r r
A A +<，即1r r A A +<， {}n A ∴的变化规律是先单调递增，后单调递减．注意到3r =时，34A A =，故展开式的
第三、四项的系数最大．
点评：二项式的通项公式是求某些特定项或二项式系数最大的项的有利工具，此处用整体思想考虑问题，观察{}n A的变化规律，做到胸中有全局，方向明确，脉络清楚，正确得结果．。