初中数学二次函数技术试题答案超级全

I.概念与概念表达式一样地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）那么称y为x 的二次函数。

二次函数表达式的右边一样为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一样式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）极点式：
y=a(x-h)^2;+k [抛物线的极点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的相互转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，能够看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的极点P。

专门地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个极点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，那么抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a一起决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程专门地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 现在，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。

列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时必然要用滑腻曲线连接，并注意转变趋势。

二次函数解析式的几种形式
(1)一样式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)极点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程
ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都能够化为极点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的极点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的极点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的极点在x轴上；当h ＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的极点在原点若是图像通过原点，而且对称轴是y轴，那么设y=ax^ 2；若是对称轴是y轴，但只是原点，那么设y=ax^2+k 概念与概念表达式一样地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。

）那么称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边一样为二次三项式。

x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
①一样式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②极点式[抛物线的极点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一样式和极点式的关系关于二次函数y=ax^2+bx+c，其极点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a
②一样式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
2021中考数学精选例题解析：一次函数（1）
知识考点：
把握二次函数的图像和性质和抛物线的平移规律；会确信抛物线的极点坐标、对称轴及最值等。

精典例题：
【例1】二次函数c bx ax y ++=2
的图像如下图，那么abc 、ac b 42
-、b a +2、c b a +-24这四个代
数式中，值为正的有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
解析：∵a
b
x 2=
＜1 ∴b a +2＞0
答案：A
定b 的符号，由抛物
评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判
线与y 轴交点位置判定c 的符号。

由抛物线与x 轴的交点个数判定ac b 42
-的符号，假设x 轴标出了1和－1，那么结合函数值可判定b a +2、c b a ++、c b a +-的符号。

【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2
向下平移1个单位，再向左平移5个单位所取得的新抛物线的极点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像通过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为2
)2(+=x a y ，那么原抛物线的解析式为1)52(2
+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）
∴1)521(02
+-+=a ，解得4
1-=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(4
1
2+--
=x y 评注：解这种题的关键是深刻明白得平移前后两抛物线间的关系，和所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的极点发生了如何的移动，常见的几种变更方式有：①开口反向（或旋转1800），现在极点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，现在极点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，现在极点关于y 轴对称； 探讨与创新：
【问题】已知，抛物线2
2
)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的极点是A ，如下图，抛物线
122+-=x x y 的极点是B 。

（1）判定点A 是不是在抛物线122
+-=x x y 上，什么缘故？
（2）若是抛物线22
)1(t t x a y +--=通过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的极点A 可否组成直角三角形？假设能，求出它的值；假设不能，请说明理由。

2t ），而1+=t x 那时，
解析：（1）抛物线2
2
)1(t t x a y +--=的极点A （1+t ，
222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，因此点A 在抛
物线1
22
+-=x x y 上。

（2）①极点B （1，0），0)11(2
2
=+--t t a ，∵0≠t ，
∴1-=a ；②设抛物线
22)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A 作AD ⊥x 轴于D ，那么AD ＝BD 。

当点C 在点B 的左侧时，)1(12
+-=t t ，解得1
-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B 的右边时，1)1(2
-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。

故1±=t 。

评注：假设抛物线的极点与x 轴两交点组成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，经常使用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。

跟踪训练： 一、选择题：
一、二次函数c bx ax y ++=2
的图像如下图，OA ＝OC ，那么以下结论： ①abc ＜0； ②2
4b ac <； ③1-=-b ac ； ④02<+b a ；
⑤a
c
OB OA -=⋅；
⑥024<+-c b a 。

其中正确的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
二、二次函数c bx x y ++=2
的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，取得函数图像的解析式为
122+-=x x y ，那么b 与c 别离等于（ ）
A 、六、4
B 、－八、14
C 、4、6
D 、－八、－14
3、如图，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高4=h ，D 为BC 上一点，EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F （EF 只是A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，
那么y 关于x 的函数图像大致是（ ）
问题图
第3题图
F
E
D C
B A
3题图
3题图 A B C D
4、假设抛物线2ax y =与四条直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，那么
a 的取值范围是（ ）
A 、
41≤a ≤1 B 、21≤a ≤2 C 、21≤a ≤1 D 、4
1
≤a ≤2 五、如图，一次函数b kx y +=与二次函数c bx ax y ++=2
的大致图像是（ ）
3题图
3题图
3题图
A B C D 二、填空题：
一、假设抛物线232)1(2
-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，那么m 的值为 。

二、二次函数542
+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。

那么当1-=x 时，y 的值是 。

3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，那么此二次函数的解析式为 。

4、已知抛物线n mx x m y +--=4)2(2
2
的对称轴是2=x ，且它的最高点在直线12
1
+=x y 上，那么它的极点为 ，n ＝ 。

三、解答题：
一、已知函数m x m x y +--=)2(2的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、B ，点C 在图像上，且1=∆ABC S ，求点C 的坐标。

二、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的进程。

下面的二次函数图象（部份）刻画了该公司年初以来积存利润S （万元）与销售时刻t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。

依照图象提供的信息，解答以下问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求积存利润S （万元）与时刻t （月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司积存利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
O O
3、抛物线2
x y =，2
2
1x y -=和直线a x =（a ＞0）别离交于A 、B 两点，已知∠AOB ＝900。

（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线b x y +=
2与线段AB 相交，那么b 值应是如何的范围才适合？
4、如图，抛物线t ax ax y ++=42
与x 轴的一个交点为A （－1，0）。

（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，若是点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。

问：在抛物线的对称轴上是不是存在点P ，使△APE 的周长最小？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题：BCDDC 二、填空题：
一、2；二、－7；3、1)2(2
1
2+-=x y ；4、
（2，2），2-=n ； 三、解答题：
一、C （23+，1）或（23-，1）、（3，－1）
二、（1）t t S 22
12
-=
；
（2）10月；（3）5.5万元 3、（1）x y 4
2=
；（2）－3≤b ≤0 4、（1）B （－3，0）；（2）342
++=x x y 或342
---=x x y ； （3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小。

2021中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程
知识考点：
一、明白得二次函数与一元二次方程之间的关系；
二、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情形； 3、会利用韦达定明白得决有关二次函数的问题。

精典例题：
【例1】已抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y （m 为实数）。

（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？
（2）若是抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与x 轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应知足的条件。

略解：（1）由已知有⎩⎨
⎧>=∆≠-0
012
m m ，解得0≠m 且1≠m
（2）由0=x 得C （0，－1）
又∵1
-=∆=
m m
a AB
∴211
2121=⋅-⋅=⋅⋅=∆m m OC AB S ABC ∴34=
m 或54=m ∴132312--=x x y 或15
6
512---=x x y
【例2】已知抛物线)6(2)8(2
2
2
+++-=m x m x y 。

（1）求证：不论m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x 轴的正半轴上；
（2）设抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，当△ABC 的面积为48平方单位时，求m 的值。

（3）在（2）的条件下，以BC 为直径作⊙M ，问⊙M 是不是通过抛物线的极点P ？ 解析：（1）0)4(2
2
>+=∆m ，由082
21>+=+m x x ，0)6(22
21>+=m x x 可得证。

（2）)6(8)8(4)(2222122121+-+=-+=-=m m x x x x x x BC
＝42
+m )6(22+=m OA 又∵48=∆ABC S ∴
48)6(2)4(2
1
22=+⋅+⋅m m 解得22
=m 或122
-=m （舍去） ∴2±=m
（3）16102
+-=x x y ，极点（5，－9），6=BC ∵69>-
∴⊙M 不通过抛物线的极点P 。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，擅长促成二次函数问题与二次方程问题的彼此转化，是解相关问题的经常使用技术。

探讨与创新：
【问题】如图，抛物线4
)(2
2
c x b a x y ++-=，其中a 、b 、
c 别离是△ABC 的∠
A 、∠
B 、∠
C 的对边。

（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；
（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y
于点M ，抛物线与y
轴交于点N ，假设抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△MNF 面积之比为5∶1，求
证：△ABC 是等边三角形；
（2）当3=∆ABC S 时，设抛物线与x 轴交于点P 、Q ，问是不是存在过P 、Q 两点且与y 轴相切的圆？假设存在如此的圆，求出圆心的坐标；假设不存在，请说明理由。

解析：（1）))(()(2
2
c b a c b a c b a -+++=-+=∆ ∵0>++c b a ，0>-+c b a ∴0>∆ （2）由
a b
a =+2
得b a = 由⎪⎩
⎪⎨⎧-=+
+-=bc
ax y c x b a x y 4)(22
得：0432=++-ac c ax x 设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），那么：a x x 321=+，ac c x x +=4
2
21 由MNE S ∆∶MNF S ∆＝5∶1得：215x x = ∴215x x =或215x x -=
由021>⋅x x 知215x x -=应舍去。

由⎩⎨⎧==+2
12153x x a x x 解得22a
x =
∴ac c a +=⎪⎭
⎫
⎝⎛42522
，即04522=--c ac a
∴ c a =或05=+c a （舍去）
∴ c b a ==
∴△ABC 是等边三角形。

（3）3=∆ABC S ，即
34
32
=a ∴2=a 或2-=a （舍去）
∴2===c b a ，现在抛物线142
+-=x x y 的对称轴是2=x ，与x 轴的两交点坐标为P （32-，
0），Q （32+，0）
设过P 、Q 两点的圆与y 轴的切点坐标为（0，t ），由切割线定理有：OQ OP t ⋅=2
∴1±=t
故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1） 评注：此题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时万万要认真分析前因后果。

同时，若是后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

跟踪训练：
一、选择题：
一、已知抛物线m x m x y +-+=)1(52
与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于25
49
，那么m 的值为（ ）
A 、－2
B 、12
C 、24
D 、－2或24
二、已知二次函数c bx ax y ++=21（a ≠0）与一次函数m kx y +=2（k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B （8，2），如下图，那么能使21y y >成立的x 的取值范围是（ ）
A 、2-<x
B 、8>x
C 、82<<-x
D 、2-<x 或8>x
第2题图
第4题图
3、如图，抛物线c bx ax y ++=2
与两坐标轴的交点别离是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，那么以下关系：①0=+c a ；②0=b ；③1-=ac ；④2
c S ABE =∆其中正确的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个
4、设函数1)1(22
++-+-=m x m x y 的图像如下图，它与x 轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，那么m 的值为（ ） A 、
31或2 B 、3
1
C 、1
D 、2 二、填空题：
一、已知抛物线23)1(2
----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且172
2
=+βα，那么k
＝ 。

二、抛物线m x m x y 2)12(2
---=与x 轴的两交点坐标别离是A （1x ，0），B （2x ，0），且12
1
=x x ，那么m 的值为 。

3、假设抛物线12
12
-++-
=m mx x y 交x 轴于A 、
B 两点，交y 轴于点
C ，且∠ACB ＝900，那么m ＝ 。

4、已知二次函数1)12(2
--+=x k kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x )(21x x <，那么关于以下结论：①当
2-=x 时，1=y ；②当2x x >时，0>y ；③方程1)12(2--+x k kx ＝0有两个不相等的实数根1x 、2x ；
④11-<x ，12->x ；⑤k
k x x 2
1241+=-，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。

三、解答题：
一、已知二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）的图像过点E （2，3），对称轴为1=x ，它的图像与x
轴交于两点A （1x ，0），B （2x ，0），且21x x <，102221=+x x 。

（1）求那个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是不是存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由。

二、已知抛物线42)4(2++-+-=m x m x y 与x 轴交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴交于点C ，且21x x <，0221=+x x ，假设点A 关于y 轴的对称点是点D 。

（1）求过点C 、B 、D 的抛物线解析式；
（2）假设P 是（1）中所求抛物线的极点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式；
3、已知抛物线m mx x y 22
3212--=交x 轴于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，交y 轴于点C ，且210x x <<，112)(2+=+CO BO AO 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴的下方是不是存在着抛物线上的点，使∠APB 为锐角、钝角，假设存在，求出P 点的横坐标的范围；假设不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题：CDBD
二、填空题：
一、2；二、
21；3、3；4、①③④ 三、解答题：
一、（1）322++-=x x y ；（2）存在，P （131+，－9）或（131-，－9）
二、（1）862+-=x x y ；（2）103-=x y
3、（1）22
3212--=
x x y ；（2）当30<<P x 时∠APB 为锐角，当01<<-P x 或43<<P x 时∠APB 为钝角。

中考数学知识点速记口诀(一)
1.有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加"大"减"小"，符号随着大的跑;绝对值相等"零"正好。

【注】"大"减"小"是指绝对值的大小。

2.归并同类项：归并同类项，法那么不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。

3.去、添括号法那么：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。

4.一元一次方程:已知未知要分离，分离方式确实是移，加减移项要变号，乘除移了要倒置。

5.恒等变换：两个数字来相减，互换位置最多见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。

(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n
6.平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

7.完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

8.因式分解：一提(公因式)二套(公式)三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项认真看清楚，假设有三个平方数(项)，就用一三来分组，不然二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上假设都行不通，拆项、添项看清楚。

9."代入"口决：挖去字母换上数(式)，数字、字母都保留;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出(现)括弧，逐级向下变括弧(小-中-大)
10.单项式运算：加、减、乘、除、乘(开)方，三级运算分得清，系数进行同级(运)算，指数运算降级(进)行。

11.一元一次不等式解题的一样步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、归并好，再把系数来除掉，两边除(以)负数时，不等号改向别忘了。

12.一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。

13.一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。

14.分式混合运算法那么：分式四那么运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘);乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;加减分母需同，分母化积关键;找出最简公分母，通分不是很难;变号必需两处，结果要求最简。

15.分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原(根)留、增(根)舍别含糊。

16.最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指(数)根指(数)要互质，幂指比根指小一点。

17.特殊点坐标特点:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;X轴上y为0,x 为0在Y轴。

18.象限角的平分线:象限角的平分线,坐标特点有特点，一、三横纵都相等,二、四横纵确相反。

19.平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X轴,纵坐标相等横不同;直线平行于Y轴,点的横坐标仍照旧。

20.对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号;原点对称最好记,横纵坐标变符号。

21.自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。

2021中考数学知识点速记(三)
22.函数图像的移动规律:假设把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，那么用下面后的口诀"左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了"。

23.一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像通过仨象限;正比例函数更简单,通过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,转变规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远。

24.二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、极点和交点,它们确信图象现;开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较专门，符号与a相关联;极点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;极点坐标最重要,一样式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。

假设求对称轴位置,符号反,一样、极点、交点式，不同表达能互换。

25.反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在
二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支别离减。

图在二、四正相反,两个分支别离添;线越长越近轴,永久与轴不沾边。

26.巧记三角函数概念：所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，能够把两个字用/隔开，再用下面的一句话记概念：一名不精湛的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:正对鱼磷(余邻)直刀切。

正：正弦或正切，对：对边即正是对;余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻;切是直角边。

27.三角函数的增减性：正增余减
28.特殊三角函数值经历:第一记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是二、正切、余切的分母都是3，分子记口诀"123，321，三九二十七"既可。

29.平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也能够，必需相等且平行。

对角线，是个宝，相互平分"跑不了"，对角相等也有效，"两组对角"才能成。

30.梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线;平行移动一条腰，两腰同在"△"现;延长两腰交一点，"△"中有平行线;作出梯形两高线，矩形显示在眼前;已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

31.添加辅助线歌：辅助线，怎么添?找出规律是关键，题中假设有角(平)分线，可向两边作垂线;线段垂直平分线，引向两头把线连，三角形边两中点，连接那么成中位线;三角形中有中线，延长中线翻一番。

2021中考数学知识点(四)
32.圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它假设垂直平分弦，垂径、射阻碍耳边;还有与圆有关角，勿忘彼此有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。

同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中假设有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;假设是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;若是碰到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

33.圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似;不相似，别动气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两头各自找联系。

34.正多边形窍门歌:份相等分割圆，n值必需大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前.
35.通过度点做切线，切线相交n个点.n个交点做极点，外切正n边形便显现.正n边形很美观，它有内接，外切圆，内接、外切都唯一，两圆仍是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，若是n值为偶数，中心对称很方便.正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径别离换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单.
36.函数学习口决：正比例函数是直线，图象必然过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k通过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引取得一次线，向上加b向下减，图象通过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。

37.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可互换。

38.二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，
a、b同号轴左侧抛物线平移a不变，极点牵着图象转，三种形式可变换，配方式作用最关键。

2021中考数学：几何知识146条
2021临近，初三生已经进入到最后的备考冲刺时期。

那么，如安在冲刺时期查漏补缺、夯实基础呢?为方便考生温习中考数学，整理出几何146条有效知识，希望考生能够及时查看。

1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7平行公理通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8若是两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行9同位角相等，两直线平行
10内错角相等，两直线平行
11同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13两直线平行，内错角相等
14两直线平行，同旁内角互补
15定理三角形两边的和大于第三边
16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18推论1直角三角形的两个锐角互余
19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等
26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27定理1在角的平分线上的点到那个角的两边的距离相等
28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在那个角的平分线上
29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等
31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边而且垂直于底边
32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高相互重合
33推论3等边三角形的各角都相等，而且每一个角都等于60°
34等腰三角形的判定定理若是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形
36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37在直角三角形中，若是一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41线段的垂直平分线可看做和线段两头点距离相等的所有点的集合
42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形
43定理2若是两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3两个图形关于某直线对称，若是它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理若是两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c
47勾股定理的逆定理若是三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么那个三角形是直角三角形。